数字信号处理第一章(1).

1、数字信号处理数字信号处理Digital Signal ProcessingDigital Signal Processing绪论绪论 为何要上数字信号处理为何要上数字信号处理? ? 在当今科学技术迅速发展的时代在当今科学技术迅速发展的时代, ,大量大量数据和信息需要传递和处理数据和信息需要传递和处理, ,数字信号处理数字信号处理就是研究用数就是研究用数学学的的手段手段, ,正确快速地处理正确快速地处理数数字字信号信号, ,提取各类信息的一门学科提取各类信息的一门学科. . 一、数字信号处理一、数字信号处理1 1、信号、信号 数字信号处理的研究对象为数字信号处理的研究对象为信号。信号。 所谓所谓

2、信号信号就是信息传递的载体。就是信息传递的载体。 信号是随时间、空间或其它独立变量变化的物理量，为了便信号是随时间、空间或其它独立变量变化的物理量，为了便于处理，通常都使用传感器把这些真实世界的物理信号于处理，通常都使用传感器把这些真实世界的物理信号-电信号，经处理的电信号电信号，经处理的电信号-传感器传感器-真实世界的物理真实世界的物理信号。信号。 例如：例如：现实生活中最常见的传感器是话筒、扬声器现实生活中最常见的传感器是话筒、扬声器 话筒话筒( (将声压变化将声压变化)-)-电压信号电压信号-空气压力信号空气压力信号( (扬声器扬声器) ) 数学上，我们用一个一元或多元函数来表示信号，如

3、数学上，我们用一个一元或多元函数来表示信号，如 这是一个时间轴上的一维信号。这是一个时间轴上的一维信号。1( )5s tt 2 2、信号分类、信号分类 连续信号和离散信号（连续信号和离散信号（按时间是否连续按时间是否连续） 连续信号：连续信号：时间上连续，幅值上可以是连续也可以是离散时间上连续，幅值上可以是连续也可以是离散值的信号。例如：值的信号。例如： ，t t的取值是连续的。的取值是连续的。 离散时间信号：离散时间信号：时间上离散，即仅在某些离散的时间点上时间上离散，即仅在某些离散的时间点上取值，幅值上可以是连续也以是离散值，即可以取任意值取值，幅值上可以是连续也以是离散值，即可以取任意值

4、的信号。例如：的信号。例如： ,t,t仅在仅在nTnT， 上取值是不连续的。上取值是不连续的。 离散时间信号的产生：离散时间信号的产生：对连续时间信号进行采样，也可以对连续时间信号进行采样，也可以累积在一段时间内的变量，比如对某条马路上每小时经过累积在一段时间内的变量，比如对某条马路上每小时经过的车辆计数，或者记录每个月的工资。的车辆计数，或者记录每个月的工资。1( )5s tt2( )()ns ttnTn 模拟信号和数字信号模拟信号和数字信号( (按时间和幅度上是否连续按时间和幅度上是否连续) ) 模拟信号：模拟信号：时间和幅度上都是连续的信号。时间和幅度上都是连续的信号。 数字信号：数字信

5、号：时间上幅度上均离散化的信号，亦即幅值上经时间上幅度上均离散化的信号，亦即幅值上经过量化，只能在有限集合内取值。过量化，只能在有限集合内取值。 x(t)tx(tn)tnx(n)n采样模数保持转换模拟信号经采样、量化、编码转换为数字信号。完成数字信模拟信号经采样、量化、编码转换为数字信号。完成数字信号与模拟信号之间转换的设备称为号与模拟信号之间转换的设备称为A/D,D/AA/D,D/A。 确定性信号和随机信号确定性信号和随机信号 确定性信号：确定性信号：具有唯一的、明确的数学表达形式，可以是函具有唯一的、明确的数学表达形式，可以是函数、数据链表等，即确定性信号的过去、当前和未来的值都数、数据链

6、表等，即确定性信号的过去、当前和未来的值都是确知的。是确知的。 随机信号：随机信号：随时间做不可预测的变化，如噪声、语音信号等，随时间做不可预测的变化，如噪声、语音信号等，用统计方法进行描述和分析，概率论、随机过程等。用统计方法进行描述和分析，概率论、随机过程等。 一维信号和多维信号一维信号和多维信号 一维信号：一维信号：信号被描述为单个独立变量的函数。信号被描述为单个独立变量的函数。 多维信号：多维信号：信号被描述为多个独立变量的函数。信号被描述为多个独立变量的函数。例如例如：单词单词AwayAway256Hz 256Hz 音叉信号音叉信号注意声音与频率的关系注意声音与频率的关系虎鲸的声音虎

7、鲸的声音图像信号：图像信号：黑白图像：二维信号黑白图像：二维信号黑白视频信号：三维信号黑白视频信号：三维信号彩色视频信号：三维三通道信号彩色视频信号：三维三通道信号彩色图像：三通道二维彩色图像：三通道二维信号信号3 3、信号处理、信号处理 所谓所谓信号处理：信号处理：是指对信号进行表示、分析、变换、是指对信号进行表示、分析、变换、综合等加工处理，以达到提取信息或便于利用的目综合等加工处理，以达到提取信息或便于利用的目的。的。 信号处理的内容广泛，应用广泛信号处理的内容广泛，应用广泛。 例如例如：将两个或多个混合在一起的信号进行分离或：将两个或多个混合在一起的信号进行分离或者增强某一个信号分量；

8、对于给定信号估计信号模者增强某一个信号分量；对于给定信号估计信号模型中的参数；在通信系统中，要传输信息就必须对型中的参数；在通信系统中，要传输信息就必须对其作预处理，如信源编码其作预处理，如信源编码( (压缩压缩) )、信道编码、信道编码( (差错控差错控制制) )、调制、调制( (调制到一定频段的载波上调制到一定频段的载波上) )等，待信号到等，待信号到达接收端，要进行一系列相反的处理，以提取出信达接收端，要进行一系列相反的处理，以提取出信息，这一过程中的步骤都属于信号处理的范畴。息，这一过程中的步骤都属于信号处理的范畴。 4 4、数字信号处理、数字信号处理利用利用计算机或者专用硬件计算机或

9、者专用硬件，以，以数值计算数值计算的方法，的方法，对信号进行处理。对信号进行处理。数字信号处理的对象是具有有限精度的数据序数字信号处理的对象是具有有限精度的数据序列，即列，即数字信号数字信号。例如：滤波、检测、变换、增强、估计、识别、例如：滤波、检测、变换、增强、估计、识别、参数提取、频谱分析等。参数提取、频谱分析等。 对于图像（二维信号），低频部分时指图像中对于图像（二维信号），低频部分时指图像中变化缓慢的部分，高频部分对于边缘或突变部分。变化缓慢的部分，高频部分对于边缘或突变部分。 数字滤波器是由一系列滤波器系数定义的，数字滤波器是由一系列滤波器系数定义的，只需要简单改变滤波器系数就可以完

10、成滤波器特只需要简单改变滤波器系数就可以完成滤波器特性的修改。性的修改。高频噪声滤除：高频噪声滤除：二、数字信号处理的历史和现状二、数字信号处理的历史和现状 数字信号处理技术的发展具有相当长的历史，回顾其数字信号处理技术的发展具有相当长的历史，回顾其前进的历史将有助于我们更好的预测前景，展望未来。前进的历史将有助于我们更好的预测前景，展望未来。 早在早在1717世纪世纪，科学家和工程师们就已经开始使用数学，科学家和工程师们就已经开始使用数学模型模型( (包括连续变量的函数和微分方程包括连续变量的函数和微分方程) )来表示物理现象，来表示物理现象，当这些方程无法获得闭合形式的解析解时，相应的数值

11、方当这些方程无法获得闭合形式的解析解时，相应的数值方法就应运而生。法就应运而生。牛顿牛顿(Newton)(Newton)提出的有限差分方法提出的有限差分方法就可以就可以视为数字信号处理的雏形。视为数字信号处理的雏形。 到了到了1818世纪世纪，欧拉欧拉(Euler)(Euler)、贝努力、贝努力(Bernoulli)(Bernoulli)、拉、拉格朗日格朗日(Lagrange)(Lagrange)等数学家发展了数值积分和连续函数插等数学家发展了数值积分和连续函数插值的方法，代表了数字信号处理理论的进一步发展。值的方法，代表了数字信号处理理论的进一步发展。 而最早提出把数字硬件技术用于信号处理是

12、在而最早提出把数字硬件技术用于信号处理是在19481948年贝尔实验室的几位科学家年贝尔实验室的几位科学家(Shannon)(Shannon)香农和香农和(Boole)(Boole)博往博往在一次会晤中讨论了用数字元件构成滤在一次会晤中讨论了用数字元件构成滤波器的可能性，结论认为这样做是不可行的。因为波器的可能性，结论认为这样做是不可行的。因为当时无论是理论上、技术上或是器件上均不具备条当时无论是理论上、技术上或是器件上均不具备条件。件。 六十年代中期六十年代中期出现了较为定型的数字信号处理出现了较为定型的数字信号处理理论，这就是数字滤波器的设计和综合理论，对此理论，这就是数字滤波器的设计和综

13、合理论，对此贡献较大的是贝尔实验室的贡献较大的是贝尔实验室的(Kaiser)(Kaiser)凯泽凯泽；与此同；与此同时，时，( (Couley-TukeyCouley-Tukey) )库利图基库利图基提出了关于计算离提出了关于计算离散傅利叶变换的快速算法，从而给与数字信号处理散傅利叶变换的快速算法，从而给与数字信号处理技术以巨大的生命力，这一算法就是技术以巨大的生命力，这一算法就是FFTFFT，其价值在，其价值在于把计算离散傅利叶变换于把计算离散傅利叶变换(DFT)(DFT)的时间减少了一到两的时间减少了一到两个数量级，使得实时谱分析成为可能，也就是说，个数量级，使得实时谱分析成为可能，也就是

14、说，六十年代数字信号处理在理论上日趋成熟，但在硬六十年代数字信号处理在理论上日趋成熟，但在硬件技术和器材上却无能为力。件技术和器材上却无能为力。七十年代以后七十年代以后，由于计算机的广泛应用和大，由于计算机的广泛应用和大规模集成技术的高速发展，数字信号处理技术得规模集成技术的高速发展，数字信号处理技术得到了广泛的应用，与此同时，出现了一门新的学到了广泛的应用，与此同时，出现了一门新的学科科数字信号处理。但由于受到器件的限制，数字信号处理。但由于受到器件的限制，相应的硬件技术仍旧不能满足实时处理的要求。相应的硬件技术仍旧不能满足实时处理的要求。八十年代以后八十年代以后，特别是九十年代以来，随着，

15、特别是九十年代以来，随着超大规模集成电路以及微处理机、微处理器的惊超大规模集成电路以及微处理机、微处理器的惊人发展，数字信号处理的理论和技术得到充分的人发展，数字信号处理的理论和技术得到充分的推广应用，处理实时性问题也正在逐步得以解决。推广应用，处理实时性问题也正在逐步得以解决。例如目前被广泛应用的各种体积很小的数字信号例如目前被广泛应用的各种体积很小的数字信号处理器处理器(TM320(TM320系列系列) )，FFTFFT芯片和数字滤波器等。芯片和数字滤波器等。三、数字信号处理学科内容三、数字信号处理学科内容 信号的采集信号的采集：包括包括A/D,D/AA/D,D/A技术技术、抽样定理、抽样

16、定理、量化噪声理量化噪声理论等论等 离散信号分析离散信号分析：离散时间信号时域及频域分析、离散付里：离散时间信号时域及频域分析、离散付里叶变换（叶变换（DFTDFT）理论理论 离散系统分析离散系统分析 信号处理的快速算法信号处理的快速算法 : :谱分析与快速付里叶变换（谱分析与快速付里叶变换（FFTFFT），），快速卷积与相关算法。快速卷积与相关算法。 滤波技术滤波技术 信号的估计信号的估计: :各种估值理论、相关函数与功率谱估计各种估值理论、相关函数与功率谱估计 信号的压缩信号的压缩: :包括语音信号与图象信号的压缩包括语音信号与图象信号的压缩 信号的建模信号的建模: :包括包括ARAR，M

17、AMA，ARMAARMA等各种模型。等各种模型。 其他特殊算法其他特殊算法: :同态处理、抽取与内插、信号重建等同态处理、抽取与内插、信号重建等 数字信号处理的实现。数字信号处理的实现。 数字信号处理的应用。数字信号处理的应用。四、数字信号处理实现方法四、数字信号处理实现方法 1.1.采用大、中小型计算机和微机采用大、中小型计算机和微机: :工作站和微机上各厂家工作站和微机上各厂家的数字信号软件，如有各种图象压缩和解压软件。的数字信号软件，如有各种图象压缩和解压软件。 2.2.用单片机用单片机: :可根据不同环境配不同单片机，其能达实时可根据不同环境配不同单片机，其能达实时控制，但数据运算量不

18、能太大。控制，但数据运算量不能太大。 3.3.利用通用利用通用DSPDSP芯片芯片: : DSPDSP芯片较之单片机有着更为突出优芯片较之单片机有着更为突出优点。如内部带有乘法器，累加器，采用流水线工作方式及点。如内部带有乘法器，累加器，采用流水线工作方式及并行结构，多总线速度快。配有适于信号处理的指令并行结构，多总线速度快。配有适于信号处理的指令( (如如FFTFFT指令指令) )等。等。 美国德州仪器公司美国德州仪器公司Texas Texas InstrumentInstrument（ITIT），）， Analog DevicesAnalog Devices ，Lucent Lucent

19、， Motorola Motorola ，AT&TAT&T等等公司都有生产。公司都有生产。 4.4.利用特殊用途的利用特殊用途的DSPDSP芯片芯片: :市场上推出专门用于市场上推出专门用于FFT,FIRFFT,FIR滤波器，卷积、相关等专用数字芯片。其软件算法已在芯滤波器，卷积、相关等专用数字芯片。其软件算法已在芯片内部用硬件电路实现，使用者只需给出输入数据，可在片内部用硬件电路实现，使用者只需给出输入数据，可在输出端直接得到数据。输出端直接得到数据。 用通用的可编程的数字信号处理器实现法用通用的可编程的数字信号处理器实现法是目前是目前重要的数字信号处理实现方法，它即有硬件实

20、现法重要的数字信号处理实现方法，它即有硬件实现法实时的优点，又具有软件实现的灵活性优点。实时的优点，又具有软件实现的灵活性优点。五五、本课程教学内容、本课程教学内容作为本课程，因受到各种条件的制约，只能向大家介作为本课程，因受到各种条件的制约，只能向大家介绍数字信号处理的基础理论和基本知识。具体内容见绍数字信号处理的基础理论和基本知识。具体内容见课本的第一章第课本的第一章第三三章。章。第一章：我们主要介绍第一章：我们主要介绍离散时间信号离散时间信号和和系统系统的基本概念以及的基本概念以及 傅利叶变换傅利叶变换Z Z变换变换，它们是分析离散信号与系统的，它们是分析离散信号与系统的 基本数学工具。

21、基本数学工具。第二章：我们讲解信号的第二章：我们讲解信号的离散傅利叶变换离散傅利叶变换(DFT)(DFT)和和DFTDFT的快速的快速 算法算法(FFT)(FFT)，内容涉及课本第二章的，内容涉及课本第二章的1 15 5节节。第三章：介绍第三章：介绍无限冲激响应无限冲激响应(IIR)(IIR)数字滤波器和数字滤波器和有限冲激响有限冲激响 应应(FIR)(FIR)的设计方法，其中我们只介绍通过变换公的设计方法，其中我们只介绍通过变换公 式逼近的式逼近的经典设计经典设计方法方法。六、学习方法六、学习方法 课上学习课上学习+ +课后练习课后练习 考核方式：平时成绩考核方式：平时成绩3030，期末考试

22、成绩，期末考试成绩70%70%。七、本课程的教材和参考书七、本课程的教材和参考书: : 数字信号处理（第二版），数字信号处理（第二版），俞卞章著俞卞章著, ,西北工业大学出版西北工业大学出版社社. . 数字信号处理教程数字信号处理教程( (第二版），数字信号处理习题解答第二版），数字信号处理习题解答，程佩青，清华大学出版社程佩青，清华大学出版社 离散时间信号处理离散时间信号处理， 美美A.V.A.V.奥本海姆，科学出版社奥本海姆，科学出版社. . Signal Processing Signal Processing 信号处理导论信号处理导论, , Sophocles Sophocles J.

23、OrfanidsJ.Orfanids, ,清华大学出版社清华大学出版社. . 数字信号处理使用数字信号处理使用MATLABMATLAB, , 维纳维纳.K.K.恩格尔恩格尔 约翰约翰.G.G.普罗普罗克斯克斯 , ,刘树棠译，西安交通大学出版社刘树棠译，西安交通大学出版社. . 基于基于MATLABMATLAB的系统分析和设计的系统分析和设计- -信号处理信号处理，楼顺天等编著，楼顺天等编著，西安电子科技出版社西安电子科技出版社. .1-1 引言引言其中采样要满足其中采样要满足采样定理采样定理数字滤波模块完成数字滤波模块完成数字信号处理数字信号处理的功能的功能信号处理框图的输入和输出都是信号处

24、理框图的输入和输出都是模拟信号模拟信号, ,因此中间因此中间六个处理模块所构成的系统可以看成一个六个处理模块所构成的系统可以看成一个模拟信号处模拟信号处理器理器, ,即数字信号处理实际上提供了处理模拟信号的即数字信号处理实际上提供了处理模拟信号的另一种解决方案另一种解决方案. .第一章第一章 离散时间信号、系统和离散时间信号、系统和Z Z变换变换一一. .序列序列 离散时间信号又称作离散时间信号又称作序列序列。通常，离散时间信号的间隔。通常，离散时间信号的间隔为为T T，且是均匀的，故应该用且是均匀的，故应该用x x(nT(nT）表示在表示在nTnT的值的值, ,由于由于x x(nT(nT)

25、)存在存储器中存在存储器中, ,加之非实时处理加之非实时处理, ,可以用可以用x x(n(n) )表示表示x x(nT(nT),), 即序列：即序列： x x(n(n) )。 为了方便，通常为了方便，通常用用x(nx(n) )表示序列表示序列x x(n(n) )。 其中其中n n为整数为整数, ,它表它表示示序列序列x(nx(n) )中对应中对应位置的符号位置的符号, , 而当而当n n不为整数时并不为整数时并不意味着不意味着x x(n(n) )为零为零, ,而而只是对只是对x(nx(n) )不作不作定义定义. .nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-1012 1- 1-

26、2 2 离散时间信号离散时间信号- -序列序列二二. .几种常用序列几种常用序列1.1.单位取样序列单位取样序列)(n0, 00, 1)(nnn1-2-1012 nnmnmnmn, 0, 1)(1-2 -1 01mmnn作用类似于连续时间信号中的作用类似于连续时间信号中的冲激冲激函数函数，不同之处是单位取样序列是，不同之处是单位取样序列是可以实现的，而冲激函数却是物理可以实现的，而冲激函数却是物理上无法实现的（上无法实现的（时间无限窄，幅度时间无限窄，幅度无限高无限高）2.2.单位阶跃序列单位阶跃序列u u（n n）0) 2() 1()()()() 1()()()(mnnnmnnunununu

27、n.0 123-1nu(n)0, 00, 1)(nnnu3.3.矩形序列矩形序列.0 12N-1-1nu(n)nNnnRN其他, 010, 1)(10) 1() 1()()()()()()(NmNNNnnnmnnRNnununR4.4.实指数序列实指数序列nanxn)(注意：当注意：当 时序列的不同形状。时序列的不同形状。当当 ，即为复数时，即为复数时，为复数序列，用图示法表示分别画出其实部和虚部为复数序列，用图示法表示分别画出其实部和虚部(n(n的函数的函数) )： 和和 1 10 1 aaa jare( )= (cossin)njnnx nr ernjn( )cosnRxnrn( )sin

28、nIx nrn10 a其中5.5.正弦序列及周期性正弦序列及周期性 nwnAnxsin)(正弦序列不一定是周期序列：若正弦序列不一定是周期序列：若 ， p ， q为整为整数，即数，即p/q为有理数时，正弦序列为周期序列，周期为为有理数时，正弦序列为周期序列，周期为q，p为任意的整数。为任意的整数。2p q例例: :( )Sin2x nn( )Sin38x nn( )Sin2x nn( )(Sin34)( )x nnu n其中其中 为数字角频率，单位：弧度，本课程中模拟角频率表为数字角频率，单位：弧度，本课程中模拟角频率表示为示为 ，单位：弧度秒。两者的关系为，单位：弧度秒。两者的关系为， 为采

29、样周期，为采样周期， 为采样频率为采样频率 ssTf wsfsT 问题：问题：现有一个连续时间正弦信号现有一个连续时间正弦信号 ，对其等间隔采样产生正弦序列，对其等间隔采样产生正弦序列 ，采样周，采样周期为多少时，期为多少时， 序列是周期性的？序列是周期性的？( )sin()x tt)(nx)(nx)(nxqp,qpw/2/ 是周期性要满足是周期性要满足 ， 为整数，为整数，由数字角频率和模拟角频率的关系，可得由数字角频率和模拟角频率的关系，可得qpqpTs2.2三三. . 序列的运算序列的运算1.1.移位移位 当当m m为正时，为正时，x(n-mx(n-m) )表示依次右移表示依次右移m m

30、位；位； x(n+mx(n+m) )表示依次左移表示依次左移m m位。位。11, 011,)21(21) 1(1, 01,)21(21)(1nnnxnnnxnn-1 012x(n)11/21/41/8.-2n2, 02,)21(41) 1(nnnxn即1/21/41/81x(n+1)n0-1-21例例: : 2. 2.反转反转 如果有如果有x(nx(n),),则则x(-nx(-n) )是以是以n=0n=0为对称轴将为对称轴将x(nx(n) )加以反转的加以反转的序列。序列。1, 01,)21(21)(1, 01,)21(21)(nnnxnnnxnn例：.-2-10121/81/41/21x(-

31、n)n1, 01,)21(21)(1, 01,)21(21)(nnnxnnnxnn例：1, 01,)21(21)(1, 01,)21(21)(nnnxnnnxnn例：例：-1 012x(n)11/21/41/8.-2n3.3.相加相加 两序列的和是指两序列的和是指同序号同序号( (n)n)的序列值的序列值逐项对应相加得逐项对应相加得一新序列。一新序列。z(nz(n)=)=x(n)+y(nx(n)+y(n)= )= x(n)+y(nx(n)+y(n)y(n)1231/21/4-2-1 012n例例: :-2-10121/43/2 3/29/425/8Z(n).-1 012x(n)11/21/41

32、/8.-2n4. 4. 相乘相乘 是指同序号是指同序号x(nx(n) )的序列值的序列值逐项对应逐项对应相乘。相乘。 5. 5. 累加累加 设某一序列为设某一序列为x x(n(n),),则则x x(n(n) )的累加序列的累加序列y y( (n)n)定义为定义为 即表示即表示n n以前的所有以前的所有x(nx(n) )的和。的和。nkkxny)()()()()()(nynxnynx6.6.卷积卷积 设序列设序列x(n),h(nx(n),h(n),),它们的卷积它们的卷积y y( (n)n)定义为定义为 卷积和计算分四步：卷积和计算分四步：反转反转, ,移位移位, ,相乘相乘, ,相加相加。mm

33、nhnxmnxmhmnhmxny)()()()()()()(例：例：nnnhnnnnx其他其他,020, 1)(,031,21)(31)()()()()(mmnhmxnhnxny求：求：0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得得y(0)y(0) 得得y(1)y(1)x(m)反转反转位移位移1 1对应相乘，逐个相加对应相乘，逐个相加01231/213/2m解：解： 1. 1. 反转反转 . .以以m=0m=0为对称轴，折迭为对称轴，折迭h(mh(m) )得到得到h(-mh(-m) )，对应对应 序号相乘，相加得序号相乘，相加得y(0)y(0)；

34、 2. 2. 位移位移一个单元，对应序号相乘，相加得一个单元，对应序号相乘，相加得y(1)y(1)； 3. 3. 重复步骤重复步骤2 2，得，得y(2)y(2)，y(3)y(3)，y(4),y(5)y(4),y(5)。 23123)5(251012311021)4(312311121)3(2311121)2(21121)1(0)0(yyyyyy-1012345y(n)n1/23/235/23/2最后卷积的结果为最后卷积的结果为: :注意注意: :( )( )( )x nnx n00( )()()x nnnx nn线性卷积的结果与卷积线性卷积的结果与卷积的两序列先后次序无关的两序列先后次序无关。

35、四四. . 用单位抽样序列表示任意序列用单位抽样序列表示任意序列 1.1.任意序列可表示成单位取样序列的位移加权和任意序列可表示成单位取样序列的位移加权和mmnmxnx)()()(mnmnxmnmx其他, 0),()()( 例例:-3 -2 -10 1 2 3 453a2a6ax(n)n3an0n02an06a2.2.序列的能量序列的能量 x x(n(n) )的能量定义为的能量定义为 nnxE2)(3.3.用矩形序列用矩形序列 和乘法运算和乘法运算 ，可以截取任意序列可以截取任意序列 从从 到到 中的中的 N N 个值。这一结果可以形象的视为通过一个矩形窗个值。这一结果可以形象的视为通过一个矩

36、形窗口观测序列口观测序列 ，因此，因此 又称为又称为矩形窗函数矩形窗函数。 ( )( )( )NNxnx n Rn( )NRn( )NRn( )x n( )x n1nN0n 1-1-3 3 离散时间系统离散时间系统 时域离散系统实际上表示对输入信号的一种运算，即时域离散系统实际上表示对输入信号的一种运算，即 , ,其中其中TT* * 表示某种表示某种变换或算法变换或算法. .它的输入是一它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。序列的一个运算。 加上不同的约束条件后加上不同的约束条件后, ,可以定义出

37、各种系统可以定义出各种系统线性、非线线性、非线性、时变、时不变性、时变、时不变. . 时变、时不变时变、时不变主要针对连续时间系统而言，主要针对连续时间系统而言，表征信号的表征信号的函数其变量是时间。而在离散时间系统中称为：函数其变量是时间。而在离散时间系统中称为：移变，移不变移变，移不变。 本课程研究的重点是离散线性移不变系统。本课程研究的重点是离散线性移不变系统。x(n)离散时间系统离散时间系统 TTx x(n(n)y(n)y(ny(n)=)=TTx x(n(n) 定义：定义： 若若 对任意常数对任意常数a,ba,b, ,都满足都满足 那么该系统就是线性系统，即那么该系统就是线性系统，即线

38、性系统具有比例性和迭加性线性系统具有比例性和迭加性。 )()(,)()(2211nxTnynxTny一一. .线性系统线性系统1212( )( )( )( )T axnbxna T xnb T xn例例: :设一系统的输入输出关系为设一系统的输入输出关系为ynyn=x=x2 2nn，试判断系统是否，试判断系统是否为线性？为线性？解：输入信号解：输入信号x x nn产生的输出信号产生的输出信号TxTx nn为为 TxTx n=xn=x2 2n n 输入信号输入信号axax nn产生的输出信号产生的输出信号TaxTax nn为为 TaxTax n= an= a2 2x x2 2n n 除了除了a=

39、a=0,10,1情况，情况，TaxTax nn aTxaTx nn。故系统不满足线性。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是系统的的定义，所以系统是非线性系统非线性系统。二二. .时（移）不变系统时（移）不变系统 如如 ，则，则 ，k k为任意整为任意整数，满足这样性质的系统称作数，满足这样性质的系统称作移不变系统移不变系统。即。即系统参数不随系统参数不随时间变化时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。的系统。 ( ) ( )y nT x n() ()y nkT x nk例：分析例：分析y(ny(n)=3x(n)+4)=3x(n

40、)+4是不是移不变系统是不是移不变系统. .解：因为解：因为 Tx(nTx(n)=)=y(ny(n)=3x(n)+4)=3x(n)+4 所以所以 Tx(n-mTx(n-m)=3x(n-m)+4)=3x(n-m)+4 又又 y(n-my(n-m)=3x(n-m)+4)=3x(n-m)+4 所以所以 Tx(n-mTx(n-m)=)=y(n-my(n-m) ) 因此，因此， y(ny(n)=3x(n)+4)=3x(n)+4是是移不变系统移不变系统. .考虑考虑: : y(ny(n)=nx(n)+4)=nx(n)+4是不是移不变系统是不是移不变系统)()()(),()(),()(212211nbxna

41、xnxnnxnynnxny令例：输入输出关系如下，问该系统是否为线性时不例：输入输出关系如下，问该系统是否为线性时不变系统？变系统？ 1 1、y(ny(n)=)=nx(nnx(n) 2) 2、y(ny(n)=)=ax(n)+bax(n)+b1、解：、解：a、线性、线性12121212( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )y nT x nT ax nbx nn ax nbx nanx nbnx nay nby n因此为线性系统因此为线性系统00000 ()() () ()()T x nnnx nnnn x nny nnb b、时不变性、时不变性因此为时变系统因此为

42、时变系统三三. .线性移不变系统线性移不变系统1 1、同时满足、同时满足线性和移不变线性和移不变特性的系统。特性的系统。2 2、单位取样响应、单位取样响应h(nh(n) ) 线性时不变系统可以用单位取样响应线性时不变系统可以用单位取样响应h(nh(n) )表示，当线性移不变系统的输入为表示，当线性移不变系统的输入为(n(n) )，其输出称为单位取样响应，即其输出称为单位取样响应，即h(nh(n)=)=T(nT(n)(n)y(n)T(nT(n)3.3.卷积和卷积和 ( )( )( )( )()( )()kky nx nh nx kh nkh kx nk( ) ( ) ( )() ( ) () (

43、 ) ()kkky nT x nTx knkx k Tnkx k h nk可以证明如下：可以证明如下：注：只有线性时不变系统才能由单位取样响应来表示注：只有线性时不变系统才能由单位取样响应来表示 线性时不变系统的输出序列线性时不变系统的输出序列y(ny(n) )是输入序列是输入序列x(nx(n) )同系统单位取样响应同系统单位取样响应h(nh(n) )的卷积的卷积. .四四. .离散卷积运算的规律离散卷积运算的规律1.1.交换律交换律 2.2.结合律结合律)()()()()()()()()()()()(21122121nhnhnxnhnhnxnhnhnxnhnhnx( )( )( )( )(

44、)()( )() kkx nh nh nx nx kh nkh kx nk物理意义：两个线性系统串联的等效物理意义：两个线性系统串联的等效 3.3.对加法的分配律对加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx物理意义：两个线性系统并联的等效。物理意义：两个线性系统并联的等效。 例例 ：已知两线性移不变系统级联，其单位取样响应分别为：已知两线性移不变系统级联，其单位取样响应分别为h h1 1(n)=(n)=(n(n)- (n-4); h)- (n-4); h2 2(n)=(n)=a an n

45、 u(n),u(n),| |a a|1,|1,当输入当输入x x(n(n)=)=u(nu(n) )时，求输出。时，求输出。 解解 ：h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)* h1(n)=x(m) h1(n-m)= u(m) h1(n-m) = u(m) (n-m)- (n-m-4)=u(n)-u(n-4) = (n)+(n-1)+(n-2)+ (n-3)y(n)= w(n)* h2(n)=(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3) * h2(n) = h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3) = an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2

46、u(n-2)+ an-3u(n-3)思考如下两个题目：思考如下两个题目：1 1、一个线性移不变系统的单位取样响应为、一个线性移不变系统的单位取样响应为 , ,求一个求一个 输入为输入为 信号经过这个系统后的响应。信号经过这个系统后的响应。)()(nuanhn)()(nubnxn2 2、一个线性移不变系统的输入序列为、一个线性移不变系统的输入序列为 ，其输出序列，其输出序列 为为 ，求该系统的单位取样响应。，求该系统的单位取样响应。)()(nunx)()(nny解：线性移不变系统的输出为输入与单位取样响应的卷积解：线性移不变系统的输出为输入与单位取样响应的卷积)()()()()()()(1100

47、nuabababmnuabmnhmxnhnxnynnnmmnmmmnmm) 1()()(nnnh1-4 1-4 系统的稳定性与因果性系统的稳定性与因果性 线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示的线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示的系统。系统。 稳定性和因果性稳定性和因果性是保证系统物理可实现的重要条件是保证系统物理可实现的重要条件。1.1.稳定系统稳定系统 定义：若一个系统，输入有界时，输出也一定有界，则定义：若一个系统，输入有界时，输出也一定有界，则该系统为稳定系统，即若：该系统为稳定系统，即若： npnh)( ) ( ) ( )x nMy nT x n 线性移不变稳

48、定系统的充要条件是单位取样响应绝对可和线性移不变稳定系统的充要条件是单位取样响应绝对可和2.2.因果系统因果系统 定义定义1 1：某时刻的输出只取决于某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入此刻以及以前时刻的输入的系的系统称作因果系统。统称作因果系统。定义定义2 2：当当n0n0时的序列值恒等于零的序列称之时的序列值恒等于零的序列称之因果系统因果系统。非因果系统：如果系统的输出非因果系统：如果系统的输出y y（n n）取决于）取决于x x（n+1n+1），），x x（n+2n+2），），即系统的，即系统的输出取决于未来的输入输出取决于未来的输入，则是非因，则是非因果系统，也即不现实的系统，（

49、不可实现）果系统，也即不现实的系统，（不可实现） * *实际系统一般是实际系统一般是因果系统因果系统； * * 考虑考虑y(ny(n)=)=x x(-n(-n) )？因因n 0n0n0的输入，故为非因果系统的输入，故为非因果系统,;,; 线性移不变因果系统的线性移不变因果系统的充要条件充要条件为为: : 当当n 0n 0时，其单位取样响应时，其单位取样响应 h(nh(n) )恒为零。恒为零。 （可从（可从y y（n n）=x=x（n n）* *h h（n n）导出）导出）3.3.稳定的因果系统：稳定的因果系统： 既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统

50、的单位取样响应既是单边的，又是绝对可和的，即单位取样响应既是单边的，又是绝对可和的，即 这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是最主要的系统。，这种系统是最主要的系统。nnhnnnhnh| )(|000)()( 实际中，如何用实验信号测定系统是否稳定是实际中，如何用实验信号测定系统是否稳定是一个重要问题，显然，不可能对所有有界输入都检一个重要问题，显然，不可能对所有有界输入都检查是否得到有界输出。可以证明，只要用查是否得到有界输出。可以证明，只要用单位阶跃单位阶跃序列序列作为输入信号，如果作为输入信号，如果输出趋于常数输出趋于常数（包括零

51、）（包括零），则系统一定稳定，否则系统不稳定，不必要对所，则系统一定稳定，否则系统不稳定，不必要对所有有界输入都进行实验。有有界输入都进行实验。例如：设系统的单位取样响应为例如：设系统的单位取样响应为 ，求对，求对于任意输入序列于任意输入序列 的输出的输出 ，并检验系统的因，并检验系统的因果性和稳定性。果性和稳定性。)()(nunh)(nx)(ny例：例： 分析单位取样响应为分析单位取样响应为h h（n n）= =a an nu u（n n）的线性时）的线性时 不变系统的因果性和稳定性。不变系统的因果性和稳定性。 既然，既然，n0n0时，时，h h（n n）=0=0，系统是因果的，系统是因果的

52、 如果如果 | |a a|1, |1, 则则 如如 | |a a|1 , |1 , 则则s s ，级数发散。，级数发散。 故系统仅故系统仅在在| |a a| |1 1时才是稳定的。时才是稳定的。0)(kkkakhsas11例例1 1：系统的输入输出关系如下，判定系统是否为：系统的输入输出关系如下，判定系统是否为稳定因果系统？稳定因果系统？( )( )y nnx n例例2 2：设线性时不变系统的单位取样响应分别如下：设线性时不变系统的单位取样响应分别如下：判别其稳定性和因果性。判别其稳定性和因果性。( )( )y nax nb1( )( )2nh nu n( )2()nh nun( )(5)h

53、nn1( )()2nh nun1-1-5 5 时域离散系统和信号的频域表示时域离散系统和信号的频域表示一一. .离散系统对复指数序列离散系统对复指数序列 的响应的响应 设输入序列设输入序列 ，则，则 jwnejwnenx)()()()()()()()(*)()()(jwjwnkjwkjwkjwkjwnknjwkeHenyekheHekheekhnxnhny如果令如果令则输出系统的频率响应系统的频率响应 输出序列仍是输入序列同频率的复指数序列，只是幅输出序列仍是输入序列同频率的复指数序列，只是幅值和相位发生变化值和相位发生变化例：求正弦信号例：求正弦信号 的稳态响应。的稳态响应。)cos()(w

54、nnx21)cos()(jwnjwneewnnx因为因为()(21)()(jwnwjjwnjweeHeeHny利用上面的结论可得利用上面的结论可得设设x(n)为实序列，则为实序列，则)(cos)()(wwneHnyjw 由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号的由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号的响应为同频正弦信号，其幅度放大响应为同频正弦信号，其幅度放大 倍，相移倍，相移增加增加 ，这就是频率响应函数的物理意义。，这就是频率响应函数的物理意义。)(jweH)(w二二. .离散系统频率响应离散系统频率响应 是一复数，它可以写成如下形式：是一复数，它可以写成如下形式： 其中系统频率响应的幅值和

55、相位分别是：其中系统频率响应的幅值和相位分别是：2)(argexp)()()()(jwjwjwIjwRjweHjeHejHeHeH)(/ )(arctan)(arg)()()(2122jwRjwIjwjwIjwRjweHeHeHeHeHeH)(jweH)(jweH系统频率响应系统频率响应 ，以及相应的幅频响应和相，以及相应的幅频响应和相频响应都是数字角频率频响应都是数字角频率W W的连续函数，而且的连续函数，而且是是以以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。nNnnRnhN其他0101)()(例例: :求矩形窗的频率响应求矩形窗的频率响应. .10222(1)22221()( )1sin2 s

56、in2j NNjj nj njnnNNNjjjNjjjjeH eh n eeeneeeeeee)2/sin()2/sin(arg(2/ ) 1()(arg)2/sin(/ )2/sin()(wwNNweHwwNeHjwjw由该式可得矩形窗的幅频响应和相频响应分别为由该式可得矩形窗的幅频响应和相频响应分别为:三三. .离散序列的傅氏变换离散序列的傅氏变换nnjnjnxenxexnxF)(,)()()(收敛条件为：deeXnxeXFnjjj)(21)()(11.1.正变换正变换: :2.2.反变换反变换: :.(0)(1)(截止频率其中cccjwwwwwweH例例: :一个理想低通滤波器的频率响应

57、如下一个理想低通滤波器的频率响应如下, ,试求该试求该系统的单位取样响应系统的单位取样响应. .sin11( )()22ccjj nj ncnh nH eededn理想低通滤波器频带有限，但为非因果且不稳定系理想低通滤波器频带有限，但为非因果且不稳定系统，是物理不可实现的。统，是物理不可实现的。例例: :若若x(nx(n) )为因果序列，且记为因果序列，且记 ，求求 ？ ( )()jx nX eF (2 )xnF0232022002 (2 )(2 ) (0)(2)(4)(6)1 ( )( 1)( )211 ( )( )( 1)221 (2j nnjjjjnnnjnjnnnnjxnxn exxe

58、xexex nx n ex n ex neX e F()20()221)( )211 ()()22jnnjjx n eX eX e()22()()jjX eXe注意注意: :四四. .离散信号通过系统的频域表示法离散信号通过系统的频域表示法)(jweX)(jweH)()()(nhnxnydeHeXeYwjjjw)()(21)()()()()(jwjwjweHeXeY)(jweY如果一个线性时不变稳定系统的单位取样响应是如果一个线性时不变稳定系统的单位取样响应是h(nh(n),),其频率其频率响应是响应是 ; ;该系统的输入序列是该系统的输入序列是x(nx(n),),频谱是频谱是 , ,则该系统

59、的输出序列则该系统的输出序列y(ny(n) )的频谱的频谱 是是输出信号的频谱是输入信号频谱和系统频率响应的乘积输出信号的频谱是输入信号频谱和系统频率响应的乘积.(.(时域卷积定理时域卷积定理) )1.2.2.频域卷积定理频域卷积定理如果两个序列的时域乘积为如果两个序列的时域乘积为 , ,则其频域表示为则其频域表示为: :两个相乘序列的傅氏变换是各自的傅氏变换的卷积两个相乘序列的傅氏变换是各自的傅氏变换的卷积0( )jnx ne00( )()jnjy neH e对于对于线性时不变线性时不变系统，若输入序列为系统，若输入序列为( (复指数序列复指数序列) )，则，则00000()( )( )(

60、)( )( ) ( ) () ( ) ( ) () kjn kkjnjkkjnjy nx nh nh nx nh k x nkh k eeh k eeH e1( ) *( )() *()2jjnx n ynX eYed221( )()2jnx nX ed帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理11( )( )(1)(2)22h nnnn()jH e( )5cos4nx n( )y n例：一个线性时不变系统，有例：一个线性时不变系统，有1 1、求、求2 2、当、当 时，求时，求解：解：1、2 2、445( )5cos42nnjjnx nee根据复指数序列通过线性时不变性质根据复指数序列通过线性时不变性质 ，有：，有：00( )