解线性方程组的迭代法PPT课件

1、解线性方程组的迭代法123(1)( )(1)1(1)( )11 (1)() (kkkkiiiinkkkiiijjijjjj iiixxxxxxxxba xa xai 松弛法是将乘上一个参数因子作为修正项而得到新的近似解，具体公式为即1,2, ) 111nAxbGaussSeidelL按上式计算的近似解序列的方法称为松弛法，称为松弛因子。当时称为低松弛；是迭代；时称为超松弛法。45 松弛法迭代公式的矩阵表示：6 松弛因子的选取对收敛速度影响极大，但目前尚无可供实用的计算最佳松弛因子的方法。通常是根据系数矩阵的性质及实际经验，通过试算来确定松弛因子。7(0)1212323(1)(1)1(1)( )

2、11(11 1.4,(1,1,1) ,21 2021.8 +() (1)()Tkkkkiiiiinkkkiiijjijjjj iiikxxxxxxxxxxxxxba xa xax 例：取用超松弛法解方程组解：由)( )( )12(1)( )(1)( )2213(1)( )(1)332(0)(9)0.40.7(1)0.40.7()(0,1,2,)0.40.7(1.8)(1,1,1)(1.200,1.3996,1.6001) (1.2,1.4,1.6)kkkkkkkkkTTTxxxxxxkxxxxxx L将代入上式开始迭代，精确解8松弛法计算过程如下：1(0)(0)(0)(0)12(0)(0)11

3、111121(0)(0)111.()(,)(,)2.13. (1)() / (1)() / ijnnnjjjiniiiijjijjiijjiAabbbnxxxxNkxxba xaxxba xa xa LL输入，维数 ， ，参数，最大容许迭代次数。置。计算，1(0)1(0)(0) (2,1) (1)() /4.55.1(1,2, )3nnnnnjjnnjiiinxxba xaxxxkNkkxxinLL，。若，输出 ，停机；否则转 。若，置，转 ；否则，输出失败信息，停机。910例：111213145 迭代法的收敛条件一、矩阵的谱半径11212 (1,2, ) ( )max(,) (,)(1,2,

4、), ()iii nnkkkkknAninAAAAAAAAkA LLLLL迭代法的收敛与迭代矩阵的特征值有关。定义：设 为 阶方阵，为 的特征值，称特征值的最大值为矩阵 的谱半径，记为称为矩阵 的谱。由特征值的定义知，矩阵的谱是因而22( ()( )kAuuA uA AuAuAuAuL）15二、迭代法的收敛条件(0)(1)( )( )(0)(1)( )( ) (0,1,2,)()11 1 (0,1,2,) kkkkkkxgxMxgkxMxgMxMxgkxLL定理：对任意初始向量和右端项 ，由迭代格式产生的向量序列收敛的充要条件是。 推论对任意初始向量和右端项 ，若，由迭代格式产生的向量序列收敛

5、。2 02推论松弛法收敛的必要条件是。16 021 121,1,1 BM上例说明了确实只是松弛法收敛的必要条件，而非充要条件，因为Gauss-Seidel迭代即为的情形。判断定理虽然给出了判别迭代收敛的充要条件，但要求逆矩阵和特征值。推论 与 仅分别给出了收敛的充分与必要条件，许多情形下不能起作用。如上例，两个方法均有由推论 无法判别收敛性。对一些特殊的系数矩阵可给出几个常用的判别收敛条件。1711112112222 ()(1,2, ) ,0110 11nijiiijjj inAaaainiAiAAAAAAAAAAL定义：若 阶方阵满足且至少有一个 值，使上式中不等号严格成立，则称 为弱对角占

6、优阵。若对所有，上式不等号均严格成立，则称为严格对角占优阵。定义：如果矩阵 不能通过行的互换和相应的列互换成为形式其中，为方阵，则称 为不可约。 例：132100011012011P ITP AP 18 ,1.JacobiGauss-Seidel2.01,3.021012210 1102121115012AxbAAAABA设有线性方程组下列结论成立：若 为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则迭代法和迭代法均收敛。若 为严格对角占优阵，则松弛法收敛。若 为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为。上两例中：为严格对角占优B阵，故Jacobi与Gauss-Seidel迭代均收敛。为非严格对角占优阵，

7、但为对称正定阵，=1.4故松弛法收敛。19-11112211,122111223(02)11102211 -02211022Axb AAAABID A 例：讨论用三种迭代法求解的收敛性。解：因 为对称且其各阶主子式皆大于零，故 为对称正定矩阵。由判别条件 ，Gauss-Seidel迭代法与松弛法均收敛。 不是弱对角占优阵，故不能用条件 判断。Jacobi迭代法的迭代矩阵为203212311221131 224411221 () (1)021,1, ()12 IBBJa co b i 其 特 征 方 程得因 而迭 代 法 不 收 敛 。21 310 , 9410100033 , 91500423

8、015( ),()22AxbAJacobiGaussSeidelBMBM改变方程组中方程的次序，即将系数矩阵作行交换，会改变迭代法的收敛性。例：与迭代的迭代矩阵分别为谱半径分别是。均不收敛。22 ,31094 94310AxbA xbAAAA xbJacobiGaussSeidel若交换方程的次序，得的同解方程组为严格对角占优阵，因而对方程组用与迭代求解均收敛。23三、误差估计(1)()()*()*(1)(0 ) 1 1kkkkkxM xgMxxMxxxxM定 理 ： 设 有 迭 代 格 式， 若， 收 敛 于， 则 有 误 差 估 计 式。24(1)(0)(0)(1)4(1)(0)(1)ln ln00.10.207.20.100.2 ,0 ,8.30.20.2008.410 0.4 8.4 12.932kMxxkMMxxMxxk 根据事先给定的精度 ，可估计出迭代的次数 ：例：若，则有，即需要迭13代次才能满足精度。25(1)( )( )*( )*( )(1)( )(1) 1 11kkkkkk