确定二次函数的表达式

1、九年级数学(下)第二章 二次函数 确定二次函数的表达式 一、一、教学教学目标：目标： 1.经历确定二次函数表达式的过程经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函体会求二次函数表达式的思想方法数表达式的思想方法,培养数学应用意识培养数学应用意识.2.会利用待定系数法求二次函数的表达式会利用待定系数法求二次函数的表达式.3.灵活应用二次函数的三种形式灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，一般式，顶点式，交点式交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。式时减少未知数的个数，简化运算过程。二、重点和难点：二、重点和难点：根据

2、问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，既是重点又是难点。既是重点又是难点。复习提问：复习提问：1.二次函数表达式的一般形式是什么二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数若二次函数y=ax+bx+c(a0)与与x轴两交点为轴两交点为(x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形则其函数表达式可以表示成什么形式式?y=ax+bx+c(a,b,c为常数为常数,a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)例例1.若二次函数图象过若二次函数图象过A(2,-

3、4),B(0,2),C(-1,2)三点三点求此函数的解析式。求此函数的解析式。解解：设二次函数表达式为：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c图象过图象过B(0,2)c=2y=ax2+bx+2图象过图象过A(2,-4),C(-1,2)两点两点-4=4a+2b+22=a-b+2解得解得a=-1,b=-1函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2-x+2解法2：（利用顶点式）（利用顶点式）图像过B(0,2),C(-1,2)两点，两点，可知其对称轴为可知其对称轴为X=-1/2可设解析式为可设解析式为y=a(x+1/2)2+kA(2,-4),B(0,2)在图像上，在图像上，-4=a(2+1/2)2+k

4、2=a(0+1/2)2+ka=-1,k=9/4y=-(x+1/2)2+9/4即即y=-x2-x+2例例2.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这个二次，试确定这个二次函数的解析式。函数的解析式。解法解法1：（利用一般式）（利用一般式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a0)由题意知由题意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程组得：解方程组得：a=-7b=42c=-59二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59 解法解法2：（利用顶

5、点式）（利用顶点式）当当x=3时，有最大值时，有最大值4顶点坐标为顶点坐标为(3,4)设二次函数解析式为：设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4函数图象过点（函数图象过点（4，-3）a(4-3)2+4=-3a=-7二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7(x-3)2+4例例3.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象过点的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。求这个二次函数的解析式。解解:二次函数的对称轴为直线二次函数的对称轴为直线x=3设二次函数表达式为设二次函数表达式为y=a(x-3)2+k图象过点图象

6、过点A(0,5),B(5,0)两点两点5=a(0-3)2+k0=a(5-3)2+k解得：解得：a=1k=-4二次函数的二次函数的表达式表达式:y=(x-3)2-4即即y=x2-6x+5小结小结:已知顶点坐标已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程或对称轴方程x=h时时优先选用顶点式。优先选用顶点式。 解：（解：（交点式交点式）二次函数图象经过点二次函数图象经过点(3,0),(-1,0)设二次函数表达式为设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)函数图象过点函数图象过点(1,4)4=a(1-3)(1+1)得得a=-1函数的表达式为：函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3例已知

7、二次函数图象经过点例已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)三点，求二次函数的表达式。三点，求二次函数的表达式。知道抛物线与知道抛物线与x轴的两个交点的坐轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便标，选用交点式比较简便其它解法其它解法：（：（一般式一般式）设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+bx+c二次函数图象过点二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)a+b+c=4a-b+c=0 9a+3b+c=0解得：解得：a=-1b=2c=3函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2+2x+3（顶点式）（顶点式）解：解：抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-

8、1,0)和和(3,0)，(-1+3)/2=1点点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点可设二次函数解析式为：可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4抛物线过点抛物线过点(-1,0)0=a(-1-1)2+4得得a=-1函数的解析式为：函数的解析式为：y=-(x-1)2+4 归纳：归纳：在确定二次函数表达式时在确定二次函数表达式时（1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式；（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式点式较为简便；较为简便；（3）若已知二次函数与）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交轴的两个交点

9、，常设交点式较为简单。点式较为简单。请选择最优解法，求下列二次函数表达式。请选择最优解法，求下列二次函数表达式。展示自我：展示自我：(1)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点轴，且经过点（-2，2），求此抛物线的表达式？），求此抛物线的表达式？(4)已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点），它的顶点坐标是（坐标是（8，9），求这个二次函数的表达式？），求这个二次函数的表达式？(3)已知抛物线的顶点在已知抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线轴上，对称轴是直线x=1，且经，且经过（过（2，3），求此抛物线的表达式？），求此

10、抛物线的表达式？(2)已知抛物线的顶点在已知抛物线的顶点在y轴上轴上,且经过（且经过（-1，-3）和（和（2，6),求此抛物线的表达式？求此抛物线的表达式？(5)已知一个二次函数的图象经过原点，且过（已知一个二次函数的图象经过原点，且过（2，5），），（-1，3）求这个二次函数的表达式？）求这个二次函数的表达式？做一做做一做 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲（曲 线线AOB） 的薄壳屋顶它的拱宽的薄壳屋顶它的拱宽AB为为6m，拱高，拱高CO为为 0.9m试建立适当的直角坐标系试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二并写出这段抛物线所对

11、应的二次函数表达式次函数表达式? 图26.2.6 解解:以线段以线段AB的中垂线为的中垂线为y轴轴,以过点以过点o且且与与y轴垂直的直线为轴垂直的直线为x轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系)33(1 . 01 . 039 . 0,)9 . 0, 3(9 . 0, 326222xxyaaaxyBOCABCBAB函数表示式为二次因此这段抛物线对应的中代入设它的函数表达式为设它的函数表达式为:y=ax(a0)议一议议一议 通过上述问题的解决通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么表达式采用的一般方法是什么? （待定系数法）（待定系数法）你能否总结出上述解

12、题的一般步骤你能否总结出上述解题的一般步骤?1.若无坐标系若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系首先应建立适当的直角坐标系;2.设抛物线的表达式设抛物线的表达式;3.写出相关点的坐标写出相关点的坐标;4.列方程列方程(或方程组或方程组);5.解方程或方程组解方程或方程组,求待定系数求待定系数;6.写出函数的表达式写出函数的表达式;224) 1(2x 二次函数二次函数y=x2+px+q的图像与的图像与X轴正半轴交于轴正半轴交于M,N两点，与两点，与Y轴正向交于轴正向交于R,且且OM MN OR=1 2 3(O为坐标原点为坐标原点),求二次函求二次函数表达式数表达式.oRMNYX 求点求点C的坐标的坐标若一个二次函数的图像经过若一个二次函数的图像经过A，B，C三点，三点，求这个二次函数表达式。求这个二次函数表达式。1.已已知平面直角坐标系两点知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点）点C在在X轴上，其横坐标