第三讲： 第七章 拉伸与压缩-变形刚度条件

1、 赠赠 言言虑必先事而申之以敬，慎终如始，始终如一，夫是之谓虑必先事而申之以敬，慎终如始，始终如一，夫是之谓大吉。凡百事之成也，必在敬之，其败也，必在慢之。大吉。凡百事之成也，必在敬之，其败也，必在慢之。 孟子孟子议兵篇议兵篇申：申述申：申述理解：思虑必须先于做事，而且敬重地申述，谨慎到理解：思虑必须先于做事，而且敬重地申述，谨慎到终结象开始时一样，终结与开始保持如一，这称为大终结象开始时一样，终结与开始保持如一，这称为大吉利。凡是各种事情成功，必然在于敬重，所以失败，吉利。凡是各种事情成功，必然在于敬重，所以失败，必然在于怠慢。必然在于怠慢。 学习与研究也是这个道理学习与研究也是这个道理第七

2、章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩第二节第二节 拉压杆的变形、拉压杆的变形、 简单超静定问题简单超静定问题一、变形、应变、胡克定律、泊松比一、变形、应变、胡克定律、泊松比Tensile or Compressive Deformation 线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“ 正正应变应变” (Normal Strain) 和和“切应变切应变” (Shearing Strain), 分别分别用用和和表示。表示。 微元的伸长量微元的伸长量dudu与微元与微元dxdx的比值就是的比值就是x x方向的正应变方向的正应变x x ，而切应变，而切应变

3、则就是直角改变量，在图中即为则就是直角改变量，在图中即为+。1 1、应变的定义应变的定义纵向线应变：纵向线应变： 纵向线应变纵向线应变lll 1ll 符号：伸长为符号：伸长为 + +，缩短为，缩短为 l纵向伸长：纵向伸长：Flll 1F横向线应变：横向线应变：横向缩短：横向缩短：符号：拉杆为符号：拉杆为 ，压杆为，压杆为 + +bbb 1bb bbb 2b 21 横向线应变横向线应变Flll 1F 2 2、泊松比、泊松比实验表明：当载荷小于某一数值时实验表明：当载荷小于某一数值时式中式中 泊松比泊松比，为，为无量纲量，无量纲量，为材料常为材料常数数( (Poisson, Poisson, 法国

4、科学家法国科学家) )即即 bbb 2b 21Flll 1F 体积应变体积应变体积应变：体积应变：V VV 体积的改变：体积的改变：bbb 2b 21Flll 1F3 3、胡克定律、胡克定律( (英国科学家英国科学家 HookeHooke) )a a. . 第一种形式第一种形式实验表明：当载荷小于某一数值时实验表明：当载荷小于某一数值时引入比例常数引入比例常数E，因，因F=N，有有AFll EANll Flll 1F式中式中 EA杆的抗拉杆的抗拉( (压压) )刚度刚度表明杆抵抗纵向弹性变形的能力表明杆抵抗纵向弹性变形的能力b b. .第二种形式第二种形式 将第一种形式改写成将第一种形式改写成

5、即即llEAN E 称为应力称为应力应变应变关系关系式中式中 E E材料的弹性模量（杨氏模量）材料的弹性模量（杨氏模量） 反映材料抵抗弹性变形的能力反映材料抵抗弹性变形的能力单位：单位：GPaFlll 1F4 4、剪切胡克定律、剪切胡克定律实验表明：当载荷小于某一数值时实验表明：当载荷小于某一数值时式中式中GG材料的切变模量材料的切变模量反映了材料抵抗剪切弹性变形的能力反映了材料抵抗剪切弹性变形的能力 G 单位：单位：GPaGPa5 5、三个材料常数之间的关系、三个材料常数之间的关系即：三个弹性常数中只有两个是独立的即：三个弹性常数中只有两个是独立的可以证明：可以证明： )1(2 EG 对于各

6、向同性材料，有对于各向同性材料，有1LuB解：变形图如图解：变形图如图2 2， B B点位移至点位移至BB点，由图点，由图sinctg21LLvBABCL1L21L2LBuBvB怎样计算小变形节点位移？怎样计算小变形节点位移？ 目前目前几何学几何学 以后以后计算机程序计算机程序 例例 写出图中写出图中B B点点 位移与两杆变位移与两杆变 形间的关系形间的关系例例 4 4 已知已知: : l=2m, d=25mm, P=100kN, =30, E=210GPa, 解：解：1 1. .求内力求内力求求 A A。求得求得取节点取节点A A为研究对象为研究对象0sinsin :012NNFx0cosc

7、os :021PNNFycos221PNN APFFN2N1yx l21ACBPd例例 4 4 已知已知: l=2m, d=25mm, P=100kN, =30, E=210GPa, 解：解：2 2. .求求 l l1 1和和 l l2 23 3. .求求 AACBAAA21l 1cos2121EAPlEAlNllmm 3 . 1cos42cos221 dEPllAAA l21ACBPd 求求 A A。二、超静定问题的概念二、超静定问题的概念平面力系：平面力系： 共线力系共线力系 汇交力汇交力 平行力系平行力系平衡方程数：平衡方程数： 未知力数：未知力数： FFFA12211 2 21 2 2

8、二、超静定问题的概念二、超静定问题的概念BFFFA1221334平面力系：平面力系： 共线力系共线力系 汇交力汇交力 平行力系平行力系平衡方程数：平衡方程数： 未知力数：未知力数： 1 2 22 3 4静静 定定 问问 题题约束反力或内力可以仅由平衡方程求得的问题约束反力或内力可以仅由平衡方程求得的问题即：即：静定静定 问问 题题未知力数等于平衡方程数未知力数等于平衡方程数超静定次数超静定次数未知力数减平衡方程数未知力数减平衡方程数( (即多余约束数即多余约束数) )超静定问题超静定问题约束反力或内力不能仅由平衡方程求得的问题约束反力或内力不能仅由平衡方程求得的问题超静定问题超静定问题未知力数

9、多于平衡方程数未知力数多于平衡方程数1 1、超静定问题的一般解法、超静定问题的一般解法 ( (1 1) ) 列出平衡方程；列出平衡方程； ( (3 3) ) 列出物理方程列出物理方程（即胡克定律即胡克定律）；）；( (2 2) ) 根据杆或杆系的变形几何关系，根据杆或杆系的变形几何关系，建立变形几何方程建立变形几何方程（变形协调方程、变形协调条件）；（变形协调方程、变形协调条件）； ( (4 4) ) 联立求解。联立求解。1、问题的提出、问题的提出 两杆桁架变成两杆桁架变成三杆桁架，缺一个三杆桁架，缺一个方程，无法求解方程，无法求解一、超静定问题及其处理方法CPABD123CPAB120sin

10、sin21NNX0coscos321PNNNY 三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为 拉压杆截面上有无穷个应力，单凭静力平衡方程静不定（ Static indeterminate ）静力不能确定超静定问题（Hyperstatic ）超出了静力范围其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题补充变形协调方程不能求解 超静定问题：建立本构（或物理）方程予以沟通结合平衡方程联立求解个性：杆件，桁架（杆件组合）个性：杆件，桁架（杆件组合）2、超静定的处理方法、超静定的处理方法 平衡方程平衡方程 变形协调方程变形协调方程 本构方程本构方程共性：共性：超静定问题超静定问题单凭静平衡方程不能确定出单凭静平衡方程不能

11、确定出全部未知力（全部未知力（外力、内力、应力外力、内力、应力）例：求三杆桁架内力 杆长 L1=L2， L3 =L 面积 A1=A2=A，A3 弹性模量 E1=E2=E，E3CPABD123解 (1)静力平衡方程力学0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N211111AELNL 33333AELNL (3) (3) 本构方程本构方程物理物理 （4 4）联立求解）联立求解代数代数解法一解法一力法：力法：a a、由几何和物理方程消除位移由几何和物理方程消除位移b、此方程于平衡方程是3个方程（含3个力未知量），解得cos31LLcos33331111AELNAELN333

12、113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L(2)(2)变形协调方程变形协调方程几何几何解法二解法二混合法：混合法：a a、由几何和物理方程消除由几何和物理方程消除N1 1和和N2 2； b b、解解3 3个方程（含个方程（含1 1个力未知量，个力未知量，2 2个位移未知量）个位移未知量）例例 5 5 图示两端固定直杆，已知：图示两端固定直杆，已知：F， l1，E1，A1，l2， 解：一次超静定问题解：一次超静定问题1 1静力平衡方程静力平衡方程 E2， A2，求：FAy，FBy。 2 2变形几何方程变形几何方程0

13、:0 FFFFByAyy21ll (1)(2)3 3物理方程物理方程(3)FAyFN1ABlll12CFFAyBy1F2FByFN2 ,1111111N1AElFAElFlAy 2222222N2AElFAElFlBy 4 4联立求解，得到联立求解，得到讨论：讨论：当当E1=E2，A1=A2时时超静定问题的特点： 未知力不仅与载荷的大小有关，还与载荷的作用位置以及杆的材料和几何尺未知力不仅与载荷的大小有关，还与载荷的作用位置以及杆的材料和几何尺寸有关。寸有关。FllFlllFFllFlllFByAy12112212 , 1222112111221 ,1lAElAEFFlAElAEFFByAy 2 2、装配应力、装配应力a a. . 装配应力的概念装配应力的概念装配后为：装配后为： 静定结构静定结构 超静定结构超静定结构装配应力装配应力由于装配后所产生的应力由于装配后所产生的应力b b计算方法计算方法 按超静定问题求解按超静定问题求解3 3、温度应力、温度应力a a. . 温度应力的概念温度应力的概念FF