讲稿多重网格算法及平均现象的解释教学文稿

1、讲稿多重网格算法及平均现象的解释 对于所以的CFD问题最后都归结为求解线性方程组 AX=d 求解线性方程组的方法一般有： 直接方法直接方法 迭代法迭代法 都比较慢，尤其是在网格数较多时，即使是用松弛因子加速，速度仍较慢。 一、简介一、简介 是求解线性方程组的一种加速收敛的手段多重网格方法的实质多重网格方法的实质与其他名词的区别与其他名词的区别 结构化网格、 非结构化网格 同位网格 交错网格 自适应网格 组合对接、搭接网格、重叠网格 这些术语都是用来定义不同网格特性网格特性的术语多重网格方法的思想基础是来自用Fourier方法对误差的分析。以一维扩散方程为例来分析，其通用差分格式：二、多重网格算

2、法的原理二、多重网格算法的原理0)1 (11njxxnjxxnjnjTLTLtTT可知：误差 也满足方程：TT 0)1 (11njxxnjxxnjnjLLt由Fourier稳定性分析方法可得误差的放大因子G2sin412sin)1 (41221ssGnjnj其中： xkm由 式可知，放大因子G 在0，随递减。由此可知不同频率的误差分量在同一网格下的收敛速度不一样，同一频率误差分量在不同网格下的收敛速度也不一样。如 Kmx=2，网格加密一倍 Kmx= 所以G 减小如 Kmx=/2，网格放大一倍 Kmx=所以G 减小所以通过这样不断的加密或稀疏网格，可以达到提高收敛速度的目的。但但x的改变必须满足

3、稳定性条件 G1三、多重网格方法的计算步骤三、多重网格方法的计算步骤多层多层“V”循环循环多重网格方法多重网格方法两层两层“V”循环循环多重网格方法多重网格方法MM-1M-2M-3M-4完全多重网完全多重网格方法格方法两层两层“V”循环多重网格方法的计算步骤循环多重网格方法的计算步骤设网格步长分布为H和h 且 H=2h求解的方程为： Lhuh=fh Hh1、设定初值、设定初值对Lhuh=fh作12次迭代迭代，得近似解：)(nhu)(nhu2、粗网格修正、粗网格修正 Lhuh=fh 两层两层“V”循环循环多重网格方法多重网格方法hHnhHhnHdIdb.从细网格到粗网格转移亏损量：c.在粗网格上

4、精确求解修正量：nHnHHdVLnHhHnhVIVd.由粗网格到细网格转移修正量：e.计算细网格修正后的量：nhnhnhVuu多次重复1、2过程直至结果收敛。nhhhnhuLfda.计算细网格上的亏损量：hhnhhhVLuuL)(多层多层“V”循环循环多重网格方法多重网格方法两层两层“V”循环循环多重网格方法多重网格方法MM-1M-2M-3M-4完全多重网完全多重网格方法格方法数值模拟中特殊现象的解数值模拟中特殊现象的解释及应用释及应用 )(2111nininiuuu1 、一维波动方程 众所周知他的FTCS差分格式差分格式是不稳定的， 一、平均值现象一、平均值现象但当用平均值来代替时， 则变成

5、LAX格式格式时，该格式却是稳定的。0 xtauu02111xuuatuuninininii-1i-1i+1i+1n+1n+1n-1n-1)(211nininiuuu2 、类似地一维扩散方程 我们熟知的Richardson格式格式也不稳定， 同样用算术平均值来代替时，则变成Duford-franke格格式式，该格式是稳定的。xxtkuu 02221111xuuuktuunininininii-1i-1i+1i+1n+1n+1n-1n-1二、数学解释二、数学解释 由泰勒展开可得与差分方程等价的偏微分方程，称之为修正的偏微分方程（MPDE） 设原微分方程为 差分方程为 由泰勒展开可得： 所以修正的

6、偏微分方程为： 数值耗散余项 数值色散余项修正的偏微分方程修正的偏微分方程：0)()(psaRRuLuLpsRRuL)(0)(uLa0)(uLsRpR结论结论1、若数值耗散余项的主项大于零，则该差分格式为正耗散格式，而且格式稳定；反之，为逆耗散格式，且格式不稳定。 结论结论2、若数值色散余项的主项大于零，则该差分格式为正色散格式；反之，为逆色散格式。 因此对一维波动方程FTCSFTCS差分格式差分格式进行分析： 02111xuuatuunininininittnitniniuttuuu221njttnitniniututuu21由泰勒展开： 所以： 因此可得与差分格式等价的偏微分方程: 因此其

7、耗散余项的主项小于零，主项小于零，所以离散格式为逆逆耗散格式耗散格式，不稳定不稳定nixxnjxtuxacauu2)(nixxnixniniuxxuuu221nixxnixniniuxxuuu221nixxxnixniniuxuxuu62211同样的方法可得与LAX格式等价的偏微分方程： 由于其耗散主项大于零大于零，所以格式稳定。所以实质上实质上平均值改变了差分格式的数值耗散余项： nixxnjxtuxccaauu2)1 ()(2nixxnininiutxuuut)(2)(21(1211用同样的方法可以解释一维扩散方程的Duford-franke格式对Richardson格式的改造。L-W 刚才我们已经解释FTCS格式通过平均值的替换，就能将逆耗散格式改变为正耗散格式，从而达到稳定，这种做法有时能奏效，但存在很大的盲目性。 从FTCS格式的修正的偏微分方程可以看出。其不稳定的根本原因是MPDE被修正过被修正过，具有反扩散性，nixxnjxtuxacauu2)(所以我们最简单的办法就是纠正它的反扩散性，在FTCS格式右端补加一项右端补加