点、直线和平面的投影

1、21 点的投影点的投影22 直线的投影直线的投影23 平面的投影平面的投影24 直线和平面、平面和平面相交直线和平面、平面和平面相交第二章第二章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影HB2B1Aba点的单面投影：点的单面投影：不能唯一确定空间点不能唯一确定空间点 分分 析析21 点的投影点的投影两面投影体系的建立两面投影体系的建立OXH HV VH与与V 相交相交OX投影投影轴轴水平投影面水平投影面 H 正立投影面正立投影面 V垂垂直直相相交交2 21 1 点的投影点的投影点的两面投影点的两面投影VHOAaa X正面投影正面投影水平投影水平投影aX特性特性：1. a a 的连线的连线 OX

2、轴轴2.a aX =Aa a aX =Aa 2 21 1 点的投影点的投影 aoXaX a 用两面投影是否均能用两面投影是否均能唯一确定唯一确定空间形体？空间形体？ 不能不能OXHVXO2 21 1 点的投影点的投影OXAaa aX三面投影体系的建立三面投影体系的建立WYZa侧面投影侧面投影水平投影面水平投影面 H 正立投影面正立投影面 V侧立投影面侧立投影面W垂垂直直相相交交H与V 相交OX投影轴H与W相交OY投影轴V与W相交OZ投影轴aYaZ2 21 1 点的投影点的投影 aa a 点的三面投影点的三面投影oXZ45 垂直关系垂直关系 相等关系相等关系axaz空间特性空间特性aYaYAa

3、= a aX = a aYAa = a aX = a aZAa = a aY = a aZ投影特性：投影特性：a aX = aaZa a OXa a OZYWYH2 21 1 点的投影点的投影 点的各投点的各投影的连线均影的连线均垂直于相应垂直于相应的投影轴。的投影轴。注注: 这是这是二补三二补三问题的基础。问题的基础。【例例1 1】已知点已知点A A、B B、C C的两面投影的两面投影, ,求其第三面投影。求其第三面投影。XZOY WY Haabbccabc投影面投影面坐标面坐标面投影轴投影轴坐标轴坐标轴轴的交点轴的交点O坐标原点坐标原点 Aa =Xa Aa =Ya Aa =Za距离的关系：

4、距离的关系：投影投影坐标坐标立体图立体图2 21 点的投影点的投影XZOAaaYaxzy点的投影和直角坐标的关系点的投影和直角坐标的关系2 21 1 点的投影点的投影a (x, z)H HX XyV VY YxOzA(x,y,z)W WZ Z直观图直观图a (y, z)aXa (x, y)aZaYX XY YH HO Ow wY YZ Z投影图投影图a (x, z)a (y, z)a (x, y)OAaaXYZa aZaXaY（a a） 直观图直观图投影图投影图（b b）aYHXaOYWZaaXaZaYaY【例例2 2】已知已知A A点的立体图点的立体图，作出其三面投影图。作出其三面投影图。a

5、10mm351025aa注注:一个投影点反映两个坐标。一个投影点反映两个坐标。两个投影点确定一个空间点。两个投影点确定一个空间点。ZXoYHYW【例例3 3】已知已知 A（35，10，25），作出其三面投影图。作出其三面投影图。ZYXO空间空间H面面V面面abcYWYHZXA 位于位于B位于位于C位于位于acbacbbbbaaaBAC ccc【例例4 4】已知已知A A、B B、C C 三点的投影图，作出其立体图，并判别三点的投影图，作出其立体图，并判别 各点的空间位置。各点的空间位置。XYZacaaccAX轴Y轴aac cYWYHZXaA 位于位于C 位于位于cC【例例5 5】已知已知A A

6、、C C 两点的投影图，作出其立体图，并两点的投影图，作出其立体图，并 判别各点的空间位置。判别各点的空间位置。YZOXVWH两点的相对位置关系两点的相对位置关系前前后后左左右右上上下下AXZOY WYH左左右右上上下下后后前前上上下下左左右右后后前前投影图投影图2 21 1 点的投影点的投影两点的相对位置关系两点的相对位置关系判别判别 A、B 两点的相对位置两点的相对位置2 21 1 点的投影点的投影YWYHZXaaabbb由图可知：由图可知：A点在点在B点的点的右方、后方、上方右方、后方、上方xyzZYXObbbaaaBAC cccb 10mm OXZYWYHaaab bccc【例例6 6

7、】已知点已知点A A的投影，若点的投影，若点B B在点在点A A的正前方的正前方1010mmmm，点点C C在点在点A A之之 左左1010mmmm、之后之后1010mmmm、之下之下1010mm,mm,作出点作出点B B、C C的三面投影图。的三面投影图。XO重影点的概念重影点的概念重影点的可见性判定规则：重影点的可见性判定规则：远离投影轴的点可见。远离投影轴的点可见。在重影点中不可见的投影在重影点中不可见的投影 加括号加括号Hb aaAXOaa(b)Bbba( )( )2 21 1 点的投影点的投影bab概念：所表达的空间形体与投影轴无关时，可省略投影轴。概念：所表达的空间形体与投影轴无关

8、时，可省略投影轴。2 21 1 点的点的投影投影abaabb无轴投影图无轴投影图abaabb【例例7 7】已知点已知点A A、B B的两面投影的两面投影, ,求其第三面投影。求其第三面投影。22 2 直线的投影直线的投影直线的投影特性直线的投影特性显实显实积聚积聚类似类似1.1.直线平行于投影面，其投影反映实长。直线平行于投影面，其投影反映实长。2.2.直线垂直于投影面，其投影积聚成点。直线垂直于投影面，其投影积聚成点。3.3.直线倾斜于投影面，其投影长度缩短。直线倾斜于投影面，其投影长度缩短。 直线的投影图直线的投影图作图：1.1. 作出直线上两作出直线上两点的投影点的投影2.2. 用直线分

9、别连用直线分别连接其各同名投接其各同名投影。影。22 2 直线的投影直线的投影aa a bb b X XZ ZOY YW WY YH H直线与投影面的相对位置直线与投影面的相对位置1.1. 特殊位置直线特殊位置直线投影面的平行线：平行于一个投影面但倾斜于另外两个投影面投影面的平行线：平行于一个投影面但倾斜于另外两个投影面投影面的垂直线：垂直于某一个投影面投影面的垂直线：垂直于某一个投影面2.2. 一般位置直线一般位置直线与各个投影面均倾斜：其投影均小于实长。与各个投影面均倾斜：其投影均小于实长。22 直线的投影直线的投影 直线与直线与H、V、W的夹角称为直线与的夹角称为直线与投影面的倾角，分别

10、用投影面的倾角，分别用 、 、 表示。表示。说明：说明：VX XY YZ Z 22 直线的投影直线的投影投影面的平行线投影面的平行线1.1. 水平线：水平线： a b a b ab a b baa b 平行于一个投影面但倾斜于另外两个投影面平行于一个投影面但倾斜于另外两个投影面 H ：水平线：水平线 V ：正平线：正平线 W：侧平线：侧平线 ABYWYHZXOVX XY YZ Z2.2. 正平线：正平线： YWYHc d cdd c OXZc d 投影面的平行线投影面的平行线 22 直线的投影直线的投影c d cdCDVX XY YZ Z3. 侧平线：侧平线：YWYHXZeefef fe f

11、平行线的投影特性：平行线的投影特性：1 直线在直线在其所平行的投影面上的投影反映实长，该投影与投其所平行的投影面上的投影反映实长，该投影与投 影轴的夹角反映了空间直线与其它两个投影面的倾角；影轴的夹角反映了空间直线与其它两个投影面的倾角；2 其它两投影其它两投影长度缩短，且分别平行于相应的投影轴长度缩短，且分别平行于相应的投影轴。efEF 22 直线的投影直线的投影 f eY YVX XZ Z投影面的垂直线1.1. 铅垂线铅垂线：b a b a OXZYWYH垂直于某一个投影面的直线垂直于某一个投影面的直线H: 铅垂线铅垂线V: 正垂线正垂线W: 侧垂线侧垂线abb a aAB(b) 22 直

12、线的投影直线的投影a(b)3 3. 侧垂线侧垂线：2 2. 正垂线正垂线：ZYWYHXe e f f efOYWYHc d cdd c OXZ投影面的垂直线投影面的垂直线投影面垂直线的投影面垂直线的投影特性投影特性：1直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点；直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点；2直线在其它两投影面上的投影反映实长且垂直于相应的投影轴。直线在其它两投影面上的投影反映实长且垂直于相应的投影轴。 22 直线的投影直线的投影【例例8】试判断下列试判断下列直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置。侧平线b a abXOXOZOc d cde f ef侧垂线正垂线【例例9】试判

13、断下列试判断下列直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置。正平线a b abXOXOZOc d cde e f f 水平线铅垂线XZOYHYWb a b a baVX XY YZ ZaAbBa b b a 22 2 直线的投影直线的投影1.从属性：若点在直线上，则点的投影在直线的各同名投影上。从属性：若点在直线上，则点的投影在直线的各同名投影上。直线上的点直线上的点c Ccc c c cE点点在在AB直线上直线上F点不点不在在AB直线上直线上【例例10】判断判断 E、F点是否在直线点是否在直线AB上。上。a b f YWYHZF点不点不在在AB直线上直线上a b abff XOb aefb

14、a e f XOXZOYHYWb a b a baVX XY YZ ZaAbBa b b a 2.定比性：一直线上两线段长度之比，等于它们的投影长度之比。定比性：一直线上两线段长度之比，等于它们的投影长度之比。直线上的点直线上的点2 22 2 直线的投影直线的投影c Ccc c c cAC:CB=ac:cb= a c : c b = a c : c b VX XY YZ Z【例例11】试判断试判断K点是否在直线点是否在直线EF上上。直接判断：直接判断：f e efkkXOK点不在直线点不在直线EF上上f e f e efEFKk kk OX1k2k12k【例例12】判断判断K点是否在直线上。点

15、是否在直线上。用定比性作图：用定比性作图：K点不点不在直线上在直线上ababXOk【例例13】已知已知K点在直线点在直线AB上，试求作上，试求作K点的点的H面投影。面投影。kXOV两直线的相对位置平行、相交、交叉1. 平行：若空间两直线平行，则它们的各同名投影平行。平行：若空间两直线平行，则它们的各同名投影平行。b a c d ABDCa b c d 22 直线的投影直线的投影abcdb a d c bacd判断空间两直线是否平行。判断空间两直线是否平行。不平行不平行（方向不同）平行平行d c cde f efb a d c bacdXO【例例14】22 直线的投影直线的投影XOYZVfef

16、eefCDdccddcEF【例例15】判断空间两直线是否平行。判断空间两直线是否平行。AB与与CD不平行不平行bcXdd b aa YHd a YWZb c c 两直线的相对位置两直线的相对位置2.相交：若空间两直线相交，则它们的各同名投影相交，相交：若空间两直线相交，则它们的各同名投影相交， 且交点的连线必垂直相应的投影轴。且交点的连线必垂直相应的投影轴。b a d c bacdXOabdcKkkk ABCD22 直线的投影直线的投影【例例16】判断两直线是否相交？判断两直线是否相交？不相交不相交 相交相交a ad b c cdbOXe h f g gfheOXbcddcaabXOkk 相交

17、相交两直线的相对位置3.交叉：空间既不平行也不相交的直线。交叉：空间既不平行也不相交的直线。cbdaadbcXOXVOcdcdCDababAB1(2)3(4)1(2)1(2)3 34 43 3(4(4) )2 21 1判别可见性判别可见性22 直线的投影直线的投影立体图立体图m (n )n m 判断两直线的空间位置，并判别重影点的可见性。判断两直线的空间位置，并判别重影点的可见性。交叉交叉b c d c d b a a ZOa ad b c cdbOX交叉交叉e (f )g h efg(h)【例例17】判断空间两直线的相对位置。判断空间两直线的相对位置。【例例18】交叉交叉（方向不同）badc

18、bacdX平行平行相交相交badcbacdOcdcdghhg【例例19】已知已知ABAB与与CDCD相交，完成直线相交，完成直线ABAB的的H H面投影面投影abab。 在解题在解题过程中，注过程中，注意定比性的意定比性的应用。应用。adc a b d k ckbXOXOa ac d cd【例例20】如图所示，过如图所示，过A点作一条正平线点作一条正平线AB与已知直线与已知直线CD相相 交，交，AB40mm40mm。b bk k40mm过点过点A A作一条直线作一条直线ABAB与已知直线与已知直线CDCD相交，交点距相交，交点距V V面面20mm20mm。【例例21】XOa ac d cdb

19、bk k 23 平面的投影平面的投影平面的表示方法平面的表示方法*b aa c cbb aa c cbd db aa c cbd dXO不在同一直不在同一直线上的三点线上的三点一直线和一直线和线外一点线外一点两相交两相交直线直线两平行两平行直线直线任意平任意平面图形面图形b aa c cbb aa c bc平面的投影图平面的投影图作图：1. 1. 作出平面上三点的投影。作出平面上三点的投影。 2. 2. 用直线分别连接其各同名投影。用直线分别连接其各同名投影。XZOYWYHbb aa c cb a c 三个投影均为类似形三个投影均为类似形p p pP 23 平面的投影平面的投影平面的投影特性平

20、面的投影特性显实显实积聚积聚类似类似1.1.平面平行于投影面，其投影反映实形。平面平行于投影面，其投影反映实形。2.2.平面垂直于投影面，其投影积聚成直线。平面垂直于投影面，其投影积聚成直线。3.3.平面倾斜于投影面，其投影为其类似形。平面倾斜于投影面，其投影为其类似形。 23 平面的投影平面的投影平面与投影面的相对位置平面与投影面的相对位置1. 特殊位置平面特殊位置平面投影面的平行面：平行于某一个投影面投影面的平行面：平行于某一个投影面投影面的垂直面投影面的垂直面 ；垂直于一个投影面但倾斜于另外两个投影面；垂直于一个投影面但倾斜于另外两个投影面2. 一般位置平面一般位置平面 与各个投影面均倾

21、斜的平面为一般位置平面：与各个投影面均倾斜的平面为一般位置平面：其投影均小于实形，为平面的类似形。其投影均小于实形，为平面的类似形。 23 平面的投影平面的投影VXYZ投影面的垂直面投影面的垂直面1. 铅垂面铅垂面：pp p ZYWXp pYHOp 垂直于一个投影面但倾斜于另外两个投影面面垂直于一个投影面但倾斜于另外两个投影面面H: : 铅垂面铅垂面V : :正垂面正垂面W: :侧垂面侧垂面 23 平面的投影平面的投影P投影特性：投影特性：1.1.平面平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线 与投影轴的夹角反映空间平面与相应投影面的倾角与投影

22、轴的夹角反映空间平面与相应投影面的倾角 ； 2. 2.其余两投影均为平面的类似形，面积缩小。其余两投影均为平面的类似形，面积缩小。2. 正垂面正垂面3. 侧垂面侧垂面投影面的垂直面投影面的垂直面ZYWYHXrrO rYWYHqqOXZ q23 平面的投影平面的投影VXYZ23 平面的投影平面的投影投影面的平行面投影面的平行面1. 水平面：水平面：ppYHYWZXOpPpp平行于某一个投影面的平面平行于某一个投影面的平面 H ：水平面：水平面 V ：正平面：正平面 W：侧平面：侧平面p2. 正平面：正平面： YWYHOZXq q q投影面的平行面投影面的平行面3. 侧平面：侧平面：YWXZr r

23、 rYHo投影特性：投影特性：1. 1. 平面在它所平行的投影面上的投影，反映实形平面在它所平行的投影面上的投影，反映实形； 2. 2. 平面在其它两投影面上的投影均积聚成直线，且平面在其它两投影面上的投影均积聚成直线，且 平行于相应的投影轴。平行于相应的投影轴。23 平面的投影平面的投影基本概念：基本概念：迹线迹线平面与投影面的交线。平面与投影面的交线。 23 平面的投影平面的投影XOZPVPHPWYHYWVXYZPHPVPW垂直面的表示方法垂直面的表示方法平面的迹线平面的迹线垂直面的表示方法垂直面的表示方法 当不管平面的形状和大小，而只想知道它在空间的位置当不管平面的形状和大小，而只想知道

24、它在空间的位置时，可用其有积聚性的投影来表示，并标注相应的符号时，可用其有积聚性的投影来表示，并标注相应的符号PH、 PV等表示。等表示。XOXORH PVQHPV投影面的平行面投影面的平行面正平面正平面23 平面的投影平面的投影【例例22】过直线过直线ABAB作一铅垂面。作一铅垂面。aba XOb PHaba X XO Ob QVcc aba b OX23 平面的投影平面的投影平面上的直线平面上的直线规则一：规则一：若直线上的两点在平面上，若直线上的两点在平面上，则直线在平面上。则直线在平面上。k kh hABCKHcaba b c XO规则二：规则二：若直线上的一点在平面上，若直线上的一点

25、在平面上，且平行于平面上的一条直线，且平行于平面上的一条直线，则直线在平面上。则直线在平面上。ACBEF平面上的直线平面上的直线fee f 2 23 平面的投影平面的投影特性：特性：若点在平面内的一条直线若点在平面内的一条直线上上，则该点在平面上。则该点在平面上。平面上的点平面上的点k kss aba b c cOX23 平面的投影平面的投影ABCKS【例例23】判断各点是否在平面上。判断各点是否在平面上。不在不在EABC上上SABC上上不在不在I 平面平面P上上II 平面平面P上上在在不在不在kPH122 1 P XOc caba b ss ee XOk 已知点已知点S在所示平面上，求其未知

26、投影在所示平面上，求其未知投影。k ks注：注：先取线，再取点先取线，再取点注：注：利用积聚性利用积聚性ss s caba b c 【例例24】s PHP P 【例例25】已知直线已知直线EF在平面在平面ABC上，求其上，求其V面投影。面投影。k ss e kf efcaba c b OXabcdabcOX【例例26】已知平面四边形已知平面四边形ABCD的的V面投影和面投影和ABC的的H面投面投影，试求全其影，试求全其H面投影。面投影。da b c d acdOX思考：下图该如何求点B B已知正平线已知正平线EF在平面在平面ABC上，距上，距V面面25cm，求求EF的两的两面投影。面投影。ca

27、ba b ec fe f 25cmOX【例例27】dabcabcOX【例例28】在在A、B、C三点构成的平面内，过三点构成的平面内，过C点作一水平线。点作一水平线。ddabcabcOX【例例29】在在A、B、C三点构成的平面内，过三点构成的平面内，过C点作一水平线。点作一水平线。d11直线与平面相交直线与平面相交求交点求交点平面与平面相交平面与平面相交求交线求交线求解方法：求解方法：1. 积聚投影法积聚投影法 2. 辅助平面法辅助平面法判别可见性判别可见性关键关键：求直线与平面的交点求直线与平面的交点2 24 4 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交ppbabaPHOX直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交平面有