曲线积分与曲面积分习题课

1、1目录 下页 返回 结束 例题选讲例题选讲基本内容基本内容2一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1.1.基本方法基本方法曲线积分曲线积分第一类第一类 ( (对弧长对弧长) )第二类第二类 ( (对坐标对坐标) )(1) 统一积分变量统一积分变量转化转化定积分定积分用参数方程用参数方程用直角坐标方程用直角坐标方程用极坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限确定积分上下限第一类第一类: :下小上大下小上大第二类第二类: :下始上终下始上终首页 上页 下页 返回 结束 322( ),( ) ()d( )( ) dxtyttsttt(1) 写出曲线写出曲线L方程及相应弧微分公式方程及相应弧微分公

2、式ds L为参数方程为参数方程: L为直角坐标方程：为直角坐标方程：2( ) ()d1( ) dyg xaxbsg xx L为极坐标方程：为极坐标方程：1222( ) d() drrsrr 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分解题步骤：解题步骤：首页 上页 下页 返回 结束 4(2) 将将L的表达式及弧微分公式直接代入曲线积分式的表达式及弧微分公式直接代入曲线积分式, 化为定积分化为定积分, 定出积分限定出积分限.(注注:下限小于上限下限小于上限)22( , )d( ( ),( ) ( )( ) dLf x ysfttttt 2( , )d( , ( ) 1( ) dbLaf x ysf x g

3、xg xx 2122( , )d( cos , sin )( ) dLf x ysf rrrr L为参数方程为参数方程L为直角坐标方程为直角坐标方程L为极坐标方程为极坐标方程首页 上页 下页 返回 结束 5(1) 直接化为对参变量的定积分直接化为对参变量的定积分:( ),( )L xtytdd ( ),( )( ) ( ),( )( )dLP xQ yPtttQtttt 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分计算方法：计算方法：()B t ()A t 注注: 下限对起点下限对起点, 上限对终点上限对终点首页 上页 下页 返回 结束 6(2) 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件 若若 ,

4、 则积分只与则积分只与L的起点与终点有关的起点与终点有关,故可选取便于计算的路径故可选取便于计算的路径,如折线段、圆弧段、直如折线段、圆弧段、直线段线段(结合结合P、Q考虑考虑).QPxy (3) 利用格林公式利用格林公式(适用于封闭曲线适用于封闭曲线)化为定积分化为定积分.注注: 若曲线若曲线L不是封闭的不是封闭的,直接计算又困难直接计算又困难, 可考虑添加可考虑添加 辅助曲线辅助曲线C, 使使L+C为封闭曲线为封闭曲线, 再利用格林公式再利用格林公式.()d dddDLQPx yP xQ yxy首页 上页 下页 返回 结束 7(4) 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式(适用空间封闭曲线积分适

5、用空间封闭曲线积分).()d d()d d()d ddddRQPRQPy zz xx yyzzxxyP xQ yR z d dd dd ddddy zz xx yP xQ yR zxyzPQR利用行列式记号可记为：利用行列式记号可记为：首页 上页 下页 返回 结束 8coscoscosddddsP xQ yR zxyzPQR或：或：注注: 格林公式格林公式(斯托克斯公式斯托克斯公式)反映的是平面闭区域反映的是平面闭区域 D(空间曲面空间曲面)上重积分上重积分(曲面积分曲面积分)与边界曲线与边界曲线 上曲线积分之关系上曲线积分之关系.首页 上页 下页 返回 结束 9(1) 利用对称性简化计算利用

6、对称性简化计算;(2) 利用积分与路径无关的等价条件利用积分与路径无关的等价条件;2. 基本技巧基本技巧对于曲线积分对于曲线积分 ,下面四个条件等价下面四个条件等价:ddLP xQ y 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关. 被积表达式是某个函数的全微分被积表达式是某个函数的全微分. 沿任何闭路线的曲线积分为零沿任何闭路线的曲线积分为零.PQyx 首页 上页 下页 返回 结束 10(5) 利用两类曲线积分的联系公式利用两类曲线积分的联系公式.ddcoscosdLLP xQ yPQs其中其中,为有向曲线为有向曲线L上点上点(x, y)处的切向量的方向角处的切向量的方向角.(4) 利用斯托克斯公式

7、利用斯托克斯公式;(3) 利用格林公式利用格林公式 (注意注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧); 首页 上页 下页 返回 结束 11二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法基本方法曲面积分曲面积分第一类第一类( 对面积对面积 )第二类第二类( 对坐标对坐标 )转化转化二重积分二重积分(1) 统一积分变量统一积分变量 代入曲面方程代入曲面方程(2) 积分元素投影积分元素投影第一类第一类: 始终非负始终非负第二类第二类: 有向投影有向投影(3) 确定积分区域确定积分区域 把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面首页 上页 下页 返回 结束 1222( , , )d( ,

8、 , ( , ) 1d dxyxyDxyf x y zSf x y z x yzzx yDxoy 是是在在面面上上的的投投影影. .计算方法计算方法( , ),zz x y若若曲曲面面 ：则则第一类第一类( 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 ) ( , )( , ),.yy z xxx y z 如如果果积积分分曲曲面面 由由方方程程或或给给出出 可可类类似似地地把把对对面面积积的的曲曲面面积积分分化化为为相相应应的的二二重重积积分分首页 上页 下页 返回 结束 13( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y 1) (

9、 , ),zz x y若若曲曲面面 ：则则上侧取正号上侧取正号, 下侧取负号下侧取负号.第二类第二类( 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 )( , , )d d( , , ( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y ( , , )d d( ( , ), , )d dyzDP x y zy zP x y zy zy z 前侧取正号，后侧取负号前侧取正号，后侧取负号.2) ( , ),xx y z若若曲曲面面 ：则则首页 上页 下页 返回 结束 14( , , )d d( , ( , ), )d dzxDQ x y zz xQ x y z x zz x 3) ( , )

10、,yy z x若若曲曲面面 ：则则右侧取正号，左侧取负号右侧取正号，左侧取负号.注：注：对于封闭曲面对于封闭曲面, 可考虑用高斯公式可考虑用高斯公式.首页 上页 下页 返回 结束 152. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性简化计算利用对称性简化计算(2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用条件注意公式使用条件添加辅助面的技巧添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面辅助面一般取平行坐标面的平面)dd dd dd dPQRvP y zQ z xR x yxyz（高斯公式反映的是空间闭区域高斯公式反映的是空间闭区域上三重积分与其上三重积分与其边界曲面边界曲面上的曲面积分之间的关系上的曲面积

11、分之间的关系.首页 上页 下页 返回 结束 16(3) 两类曲面积分的转化两类曲面积分的转化d dd dd dcoscoscos dP y zQ z xR x yPQRS其中其中,为有向曲面为有向曲面上点上点(x, y, z)处的法向量的方处的法向量的方向角向角.首页 上页 下页 返回 结束 17三、例题选讲三、例题选讲解解 利用极坐标利用极坐标, ,:cos()22L ra22ddsrr 原式原式= =dLaxs 2222cosdaa 22a da 2222 d ,1.LxysLxya x 计计算算其其中中 为为圆圆周周例例xaoyrt说明说明: :若用参数方程计算若用参数方程计算, ,则则

12、(1cos )2: (02)sin2axtLtayt 22d()() dsxytd2at 首页 上页 下页 返回 结束 18222222 22 d , .Iyzsxyzaxy 计计算算 例 例曲曲分分其其中中为为球球面面与与平平面面相相交交的的圆圆周周xozy: 2222Lyza解解 因因在在 上上有有, ,所所以以cos2cos (02 )2sinaxtayttzat 230dat 所所以以原原式式32 a 首页 上页 下页 返回 结束 19解解220sin datt t 所所以以原原式式 220cossinattt 22 a (1cos )(1cos )datatt(sin )sin da

13、 ttatt (2)ddayxxy2sin da ttt (2)dd ,(sin ) , (1cos )0.32LayxxyLxa ttyatt 计计算算其其中中 为为摆摆线线 上上 对对应应 从从 到到的的例例一一段段弧弧 首页 上页 下页 返回 结束 20zoyx1解解 因在因在 上有上有2221 ,xy故故: 原式原式 = 22201cossind2 2ttt 2201sin 2 d8 2tt 216 cos1sin (02 )21sin 2xtyttzt 2224 d ,1,.xyz zyzxyzz 计计算算其其中中 由由平平面面截截球球面面所所得得 从从 轴轴正正向向看看沿沿逆逆时时

14、 例例针针方方向向 2011cos4d28 2tt 首页 上页 下页 返回 结束 21CoyxABL解法解法1 令令22,PxyQyx则则1QPxy 这说明积分与路径无关这说明积分与路径无关, 故故22()d()dABIxyxyxy 2daaxx 323a 22 ()d()d ,.5LIxyxyxyLa 计计算算其其中中 是是沿沿逆逆时时针针方方向向以以原原点点为为中中心心为为半半径径的的上上半半圆圆周周例例首页 上页 下页 返回 结束 22解法解法2 ,BA它与它与L所围区域为所围区域为D,CoyxABL0 d dDx y 22()d()dBAxyxyxy 2daaxx D(利用格林公式利用

15、格林公式)323a 22()d()dL BAIxyxyxy 则则添加辅助线段添加辅助线段首页 上页 下页 返回 结束 23(1cos ):sin xatLyat DyaLxo提示提示:sind(cos2)dxxLIeyxeyy 2dLy x 2dLy x BA0ddDxy 200dax 2202sindatt :0t 2a L ABAB 222 (sin2 )d(cos2)d ,(),0,.6xxLIeyyxeyyLxayay 计计算算其其中中 为为上上半半圆圆周周沿沿逆逆时时 针针方方向向例例首页 上页 下页 返回 结束 24提示提示: BAzyxCodddWyxzyxz 3dddAByxz

16、yx z 3dABxz 103(1)dzz 32 方法方法1利用对称性利用对称性 ( ,), 1,7 . Fy z xxyzz 求求力力沿沿有有向向闭闭曲曲线线所所作作的的功功其其中中为为平平面面被被三三个个坐坐标标面面所所截截成成三三角角形形的的整整个个边边界界 从从 轴轴正正向向看看去去沿沿顺顺时时 例例针针方方向向 首页 上页 下页 返回 结束 25设三角形区域为设三角形区域为 , 方向方向向上向上, 则则dddWyxzyxz dS :11(1,1,1)3xyzn 1( 3)d3S 方法方法2nBAzyxCo32 33ddxyDxy 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式111333xyzyz

17、x首页 上页 下页 返回 结束 26 zyxo且取下侧且取下侧 , 提示提示: 以半球底面以半球底面0 原式原式 =3dddxyz 3233R 0 32R 0 0d dd dd dx y zy z xz x y 记半球域为记半球域为 ,高斯公式有高斯公式有为辅助面为辅助面, 利用利用222ddd ddd ,.8 xyzyzxzxyzRxy 计计算算其其中中 为为半半球球面面 例例的的上上侧侧 首页 上页 下页 返回 结束 27证证 设设(常向量常向量)则则 coscoscoscoscoscosd S 0 (cos)(cos)(cos)dvxyz cosd dcosd dcosd dy zz x

18、x y cos()dn,aS 0dn aS (cos, cos, cos )n 0(cos, cos, cos)a ,cos()d.90ann,aS 设设 为为简简单单闭闭曲曲面面, , 为为任任意意固固定定向向量量为为的的单单位位外外法法向向量量, ,证证明明: : 例例首页 上页 下页 返回 结束 281212I 解解 取足够小的正数取足够小的正数 , 作曲面作曲面取下侧取下侧 使其包在使其包在 内内, 为为 xoy 平面上夹于平面上夹于之间的部分之间的部分, 且取下侧且取下侧 ,1与与2 1 ozyx则则2221: zxy2 2232222(2)(110) 1(0),5169ddd dd d,.()zxyzxyzyzxz xyIxyz 设设 是是曲曲面面取取上上侧侧 计计算算 例例首页 上页 下页 返回 结束 29331( 2)I 1212I 131ddd dddxyzyzxzxy 2 第二项添加辅助面第二项添加辅助面, 再用