D87方向导数与梯1学习教案

1、会计学1D87方向方向(fngxing)导数与梯导数与梯1第一页，共20页。),(zyxPl则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数(do sh)存在 ,证明证明(zhngmng): 由函数由函数且有在点 P 可微 ,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 P故第1页/共20页第二页，共20页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 对于(duy)二元函数为, ) 的方向(fngxing)导数为Plxyo特别特别: : 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角第2页/共20页第三页，共20页。在点 P(1, 1, 1) 沿向量(xingling)3) 的方向(fngxing)导数 .

2、机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为第3页/共20页第四页，共20页。在点P(2, 3)沿曲线(qxin)朝 x 增大方向(fngxing)的方向(fngxing)导数.解解:将已知曲线用参数将已知曲线用参数(cnsh)方程表方程表示为示为它在点 P 的切向量为xoy2P机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共20页第五页，共20页。是曲面(qmin)在点 P(1, 1, 1 )处指向(zh xin)外侧的法向量,解解: 方向(fngxing)余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 nn第5页/共20页

3、第六页，共20页。方向导数(do sh)公式令向量(xingling)这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax第6页/共20页第七页，共20页。即同样(tngyng)可定义二元函数称为(chn wi)函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义第

4、7页/共20页第八页，共20页。函数在一点(y din)的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 称为(chn wi)函数 f 的等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 oyxP同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.第8页/共20页第九页，共20页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第9页/共20页第十页，共20页。证证:Pxozy试证机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 .)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模 ,r第10页/共20页第十一页，共20页。函数(

5、hnsh)(物理量的分布)数量数量(shling)场场 (数数性函数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场)(gradPf( 势 )如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共20页第十二页，共20页。已知位于(wiy)坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证证: 利用利用(lyng)例例4的的结果结果 这说明(shumng)场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024r

6、rqE0)()(gradrrfrf第12页/共20页第十三页，共20页。1. 方向方向(fngxing)导数导数 三元(sn yun)函数 在点),(zyxP沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 ),(yxf在点的方向导数为沿方向 l (方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共20页第十四页，共20页。2. 梯度梯度(t d) 三元(sn yun)函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度(t d)为 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影

7、.第14页/共20页第十五页，共20页。1. 设函数(hnsh)(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线(qxin)在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共20页第十六页，共20页。曲线(qxin) 12 32tztytx1. (1)在点机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量第16页/共20页第十七页，共20页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 ll第17页/共20页第十八页，共20页。函数(hnsh)在点处的梯度(t d)解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共20页第十九页，共20页。指向(zh xin) B