第十章分子动理论

1、气体动理论是热学的微观理论个别分子运动服从什么规律？微观量如何导出宏观量？u宏观量同微观量之间的联系是什么？宏观量同微观量之间的联系是什么？ 宏观量决定于微观量的统计平均值。宏观量决定于微观量的统计平均值。统计规律统计规律:大量偶然事件整体遵从的规律大量偶然事件整体遵从的规律如抛硬币如抛硬币: 抛大量次数，出现正反面次数抛大量次数，出现正反面次数约各约各1/2，呈现规律性。，呈现规律性。u对热学系统的两种描述对热学系统的两种描述以系统整体为研究对象，表征其整体特征。以系统整体为研究对象，表征其整体特征。 例如：例如：温度温度、压强压强以系统内子系（分子）为研究对象，表征子系的特征。以系统内子系

2、（分子）为研究对象，表征子系的特征。 例如例如: : 分子直径分子直径、分子质量分子质量、速率速率一一、分布函数与平均值分布函数与平均值10-1 麦克斯韦速麦克斯韦速率分布率分布例：例：某个大学某个班级男同学身高分布某个大学某个班级男同学身高分布160165 170 175 180 185 190h/cmiNNh全国大学男同学身高分布全国大学男同学身高分布iNNh160165 170 175 180 185 190h/cmh h很小记为很小记为dhdh，h-h+dhh-h+dh区间内人数为区间内人数为dNdNdNNdhf (h)hh+dhd( )dNf hN h ( )f h dh1、归一化分

3、布函数归一化分布函数21( )hhf h dh maxmin( )1hhf h dh h/cmf (h) 身高在身高在h附近单位间附近单位间隔内人数占的比例隔内人数占的比例 身高在身高在h-h+dh内人数内人数占的比例占的比例 身高在身高在h1-h2内人数内人数占的比例占的比例( )Nf h dh21( )hhNf h dh h1h2d( )dNf hN h 1、归一化分布函数归一化分布函数2、平均值、平均值hh+dhh/cmf (h)身高在身高在h-h+dh内的人数为：内的人数为：d( )dNNf hh 该该dN个人的身高之和为：个人的身高之和为：hd( )dNNhf hh 所有人身高总和为

4、：所有人身高总和为：maxmaxminminhd( )dhhhhNNhf hh 所有人平均身高：所有人平均身高：maxmaxminmin( )d( )dhhhhNhf hhhhf hhN maxmin( )dhhhhf hh ( )AA h 设任意与身高的量为：设任意与身高的量为：其平均值为：其平均值为：maxmin( )dhhA hNAN maxmin( )( )dhhhA h Nf hN maxmin( ) ( )dhhhA h f h 二二、麦克斯韦分子速率麦克斯韦分子速率分布函数分布函数vvv0vddNNNNflim)( 1859年麦克斯韦从理论上得到速率分年麦克斯韦从理论上得到速率分

5、布定律。布定律。22232)2(4)(vkTvfkTv e 分子的质量分子的质量231A1.38 10 J KRkNf(v) vO 理想气体在温度为理想气体在温度为T的平衡态下，无外力的平衡态下，无外力场作用时，其分子速场作用时，其分子速率分布函数：率分布函数： 意义：意义： v附近单位速率区间内的分子数占附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。总分子数的百分比。或或分子速率在分子速率在v附近附近单位速率区间内的概率；单位速率区间内的概率； 速率分布函数：速率分布函数：麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线其中其中: T开氏温度开氏温度 k 玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数麦克斯韦速率分布函数

6、：麦克斯韦速率分布函数：速率分布曲线分析：速率分布曲线分析：( )df vv ：速率在区间（：速率在区间（v1-v2）分子）分子占总分子数的比例。占总分子数的比例。21( )df vvvvf(v) vOv+dvvv1v222232)2(4)(vkTvfkTv e ：平均速率：平均速率 若若f(v)表示麦克斯韦速率分布函数，下表示麦克斯韦速率分布函数，下列各式的物理意义为：列各式的物理意义为：( )dNf vv : 速率在区间（速率在区间（v-v+dv）内的分）内的分子数占的比例。子数占的比例。0( )dvf vv201( )d2mv f vv201( )d2Nmv f vv( )df vv21

7、( )df vvvv0( )dvf vv三、三个统计速率三、三个统计速率1. 平均速率平均速率NN0d vvNNf0)(vvvd 0)(vvvd f 8kTMRT8MRT60. 12. 方均根速率方均根速率022d)( vvvvfkT3MRTMRTkT73. 1332 vMRT60. 1vMRT73. 12v麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数：1. 2. 22232)2(4)(vkTvfkTv e212 v132kT 32kT 3. 最概然速率最概然速率 (最可几最可几速率速率)f(v) vpvOMRTMRTkT41. 122p vMRT41. 1pv麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率

8、分布函数：22232)2(4)(vkTvfkTv ed ( )df vv223 222224()e2e)22vvkTkTvvvkTkT （d ( )0df vv2kT v即最概然速率即最概然速率得得物理意义物理意义：最概然速率：最概然速率所在的单位速率间隔内所在的单位速率间隔内的分子数最多。的分子数最多。f(v)极大值所对极大值所对应的速率为最概应的速率为最概然速率然速率f(v)取极大值时取极大值时 图为同一种气体，处于不同温度状态下图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问的速率分布曲线，试问: 哪一条曲线对应哪一条曲线对应的温度高？的温度高？f(v) vT1T2O1pv2pv

9、T1 T2由图中知：由图中知：四、速率分布与温度的四、速率分布与温度的关系关系MRTkT22p vp1p2 vv 则可得：则可得：22232)2(4)(vkTvfkTv e23 222()4()e2pvkTppf vvkT 3 2124()e2kTkT 1 214()e2 kT p2kT v意义意义：温度越低，在最：温度越低，在最概然速率附近单位速率概然速率附近单位速率间隔内分子占的比例越间隔内分子占的比例越高高例例10-1: 理想气体分子速率分布的统计理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子方法可用于金属中自由电子( “电子气电子气”模型模型 ) 。设导体中自由电子数为。设导体中自

10、由电子数为 N0,电子电子速率最大值为费米速率速率最大值为费米速率vF ，且已知电子，且已知电子速率在速率在 v v + dv 区间概率为：区间概率为：0NNd) ( Fvv 0)02 ( dFvvvvA（A 为常数）为常数）(1)画出电子气速率分布曲线画出电子气速率分布曲线(2)由由 vF定出常数定出常数 A(3) 求求 , , 2pvvv解：解： (1) vvdd)(0NNf) 0 ( F2vvvA) ( 0Fvv Ovf(v) Fv(2) 根据归一化条件根据归一化条件 133FvA33FvA(3)Fpvv 0d)(vvvvfF75. 0vF023Fd3vvvvv2F20226 . 03F

11、vvvvvvvd3FFF20.770.6v vvF020)(vvvvvddAf10-3 理想气体压强公式理想气体压强公式一、理想气体的微观模型一、理想气体的微观模型1. 分子线度与分子间距相比较分子线度与分子间距相比较可忽略。可忽略。2. 除碰撞外，分子间及分子与除碰撞外，分子间及分子与容器壁之间均无相互作用。容器壁之间均无相互作用。 3. 碰撞为完全弹性碰撞。碰撞为完全弹性碰撞。动量守恒动量守恒 机械能守恒机械能守恒自由地无规则运动的弹性质点群自由地无规则运动的弹性质点群二、平衡态理想气体的统计假设二、平衡态理想气体的统计假设1. 分子数密度处处相等分子数密度处处相等(均匀分均匀分布布).

12、2. 分子沿各个方向运动的概率分子沿各个方向运动的概率相同相同. 任一时刻向各方向运动的分子数任一时刻向各方向运动的分子数相同相同.分子速度在各个方向分量的平方分子速度在各个方向分量的平方的平均值相等的平均值相等.质点质点自由质点自由质点 弹性自由质点弹性自由质点2222zyxvvvv222231vvvvzyx三、平衡态理想气三、平衡态理想气体的压强公式体的压强公式推导压强公式的要点推导压强公式的要点* 气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果；果；* 压强等于单位时间内器壁上单位面积所受压强等于单位时间内器壁上单位面积所受的平均冲量；的平均冲量；* 个别分子

13、服从经典力学定律；个别分子服从经典力学定律；* 大量分子整体服从统计规律。大量分子整体服从统计规律。压强公式的推导：压强公式的推导：如图：设每个分子的如图：设每个分子的质量为质量为，单位体积内，单位体积内的分子数为的分子数为n，分子沿，分子沿x方向的速率为方向的速率为 。 弹性碰撞弹性碰撞每个分子与右壁碰撞后每个分子与右壁碰撞后,动量改变了动量改变了xvI2xvSxvS 每个分子与右壁每个分子与右壁碰撞后碰撞后,动量改变了动量改变了 从从0到到t这段时间内，共有这段时间内，共有 个个分子与右壁碰撞，因而，总动量改变了分子与右壁碰撞，因而，总动量改变了 。也即冲量为。也即冲量为2xvntStF压

14、强为压强为SFP xvI2xv2/xntSv2/2xxntSvv222231vvvvzyx由于由于2xvn三、平衡态理想气体三、平衡态理想气体的压强公式的压强公式2xvnSF2222zyxvvvv222231vvvvzyx222231vvvvzyx2xvnSFP2231vnvnPxktnvn3221322其中其中221vkt称为气体分子的平均平动动能。称为气体分子的平均平动动能。 上式是气体动理论的理想气体压强上式是气体动理论的理想气体压强公式，它把宏观量公式，它把宏观量p与微观量与微观量 的统的统计平均值计平均值 联系了起来。联系了起来。221vkt 上述压强公式不是一个力学规律，而上述压强

15、公式不是一个力学规律，而是统计规律。是统计规律。三、平衡态理想气体三、平衡态理想气体的压强公式的压强公式ktnp32宏观量宏观量微观量微观量10-4 温度的微观温度的微观本质本质由理想气体状态方程由理想气体状态方程nkTp 和压强公式和压强公式ktnp32kTkt23 理想气体温度理想气体温度 T 是分子是分子平均平动动能平均平动动能的的量度，是分子热运动剧烈程度的标志。量度，是分子热运动剧烈程度的标志。 温度温度是大量分子热运动的是大量分子热运动的集体表现集体表现，是，是统计性概念，对个别分子无温度可言。统计性概念，对个别分子无温度可言。与气体种类无关与气体种类无关,kTt热运动停止热运动停

16、止，意味着，意味着0, 0ktT 绝对零度只能逼近，不能达到。绝对零度只能逼近，不能达到。n为单位体积内的分子数为单位体积内的分子数kTkt23例例10-4: 解：解： 依题意依题意21ktkt而而kTkt23所以所以21TT 然而然而nkTp 2121,TTnn21pp 例例10-5: 试求氮气分子的平均平动动能和均方根速率。试求氮气分子的平均平动动能和均方根速率。设设 (1) 在温度在温度 t = 1000 时；时； (2) t = 0 时；时； (3) t = -150 时。时。解：解：依题意依题意123kTkt1 12731038. 12323(J)201063. 2MRT1213v1

17、311941028127331. 83sm(1)(2)223kTkt2 J211065. 5MRT2223v1sm493 (3) 323kTkt3 J211055. 2MRT3233v1320sm10-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能一、自由度（一、自由度（i） 确定一个物体在空确定一个物体在空间的位置所必需的独立间的位置所必需的独立坐标数目。坐标数目。上面刚体的自由度是多少呢？上面刚体的自由度是多少呢？理想气体分子热运动的能量：理想气体分子热运动的能量：= 平动平动+转动转动+振动的能量总和振动的能量总和在平衡状态下，分子的平均能量为多少？在平衡状态下，分子的平均能

18、量为多少？一、自由度（一、自由度（i） 确定一个物体在确定一个物体在空间的位置所必需的空间的位置所必需的独立坐标数目。独立坐标数目。质点质点（x，y，z）3个自由度个自由度自由刚体自由刚体i=3Oxyz 首先用三个坐标首先用三个坐标P( (x, y, z) )来决定质心位置。来决定质心位置。其次刚体的方位其次刚体的方位由其轴的取向决由其轴的取向决定，采用定，采用 、 ，最后，刚体绕最后，刚体绕定轴转动时，定轴转动时，需要一个坐标需要一个坐标来描述，用来描述，用 表表示。示。（x，y，z， ， ， ）6个自由度个自由度i=6P单原子分子：一个原子构成一个分子单原子分子：一个原子构成一个分子氦、氩

19、等氦、氩等双原子分子：两个原子构成一个分子双原子分子：两个原子构成一个分子氢、氧、氮等氢、氧、氮等i=5多原子分子：三个以上原子构成一个分子多原子分子：三个以上原子构成一个分子水蒸汽、甲烷等水蒸汽、甲烷等刚性分子刚性分子i=3i=6一、自由度（一、自由度（i） 确定一个物体在空确定一个物体在空间的位置所必需的独立间的位置所必需的独立坐标数目。坐标数目。 分析单原子：只有平动分析单原子：只有平动 i=3，分子的分子的平均平动动能为平均平动动能为kTkt23 每一个自由度上的平均能量为：每一个自由度上的平均能量为：kT21推广为能量按自由度均分原理推广为能量按自由度均分原理 单原子分子单原子分子

20、双原子分子双原子分子 多原子分子多原子分子kTk23 kTk25 kTk26 二二、能量按自由度均分、能量按自由度均分原理原理分子的平均总动能分子的平均总动能kTik2 在温度为在温度为 T 的平衡的平衡态下，物质分子的每一态下，物质分子的每一个自由度都具有相同的个自由度都具有相同的平均动能平均动能,等于等于 .kT21三、理想气体的内能三、理想气体的内能 理想气体模型：分子间无相互作用，理想气体模型：分子间无相互作用，无相互作用势能；刚性分子，无振动自无相互作用势能；刚性分子，无振动自由度。由度。刚性分子理想气体内能刚性分子理想气体内能1 mol理想气体内能理想气体内能kTiNEA2molR

21、Ti2m / M mol理想气体内能理想气体内能molEMmE RTiMm2内能的改变量内能的改变量TRiMmE2结论：结论：从而，从而，RiTQCVV2m,dd理想气体内能理想气体内能是温度的单值函数。是温度的单值函数。例例10-6: 摩尔数相同的氧气和二摩尔数相同的氧气和二氧化碳气体氧化碳气体(视为理想气体视为理想气体) ，如，如果它们的温度相同，则两气体果它们的温度相同，则两气体 （A） 内能相等；内能相等；（B） 分子的平均动能相同；分子的平均动能相同；（C） 分子的平均平动动能相同；分子的平均平动动能相同；（D） 分子的平均转动动能相同。分子的平均转动动能相同。答：分子的平均平动动能

22、相同答：分子的平均平动动能相同例例10-7: 指出下列各式所表示的指出下列各式所表示的物理意义。物理意义。kT21 (1) kT23 (2) kTi2(3) RTi2(4) RTMm23(5) 分子在每个自由分子在每个自由度上的平均动能。度上的平均动能。 分子的平均平动分子的平均平动动能。动能。 1 mol 气体的内能。气体的内能。 质量为质量为m 的气体内所有分子的气体内所有分子的平均平动动能之和。的平均平动动能之和。 质量为质量为m 的气体的气体 的内能。的内能。RTiMm2(6) 分子的平均动能。分子的平均动能。作业：作业：教材：教材：P92 10-17；指导：指导：P195 3，4。

23、10-6 真实气体真实气体一、二氧化碳气体的等一、二氧化碳气体的等温线分析温线分析48.1时时二氧二氧化碳气体化碳气体等温等温线相似于理想线相似于理想气体的等轴双气体的等轴双曲线。而曲线。而13、21和和31.1时明显偏离。时明显偏离。二、对理想气体状态二、对理想气体状态方程的修正方程的修正范德瓦范德瓦尔斯方程尔斯方程RTMmpV 理想气体状态方程理想气体状态方程RTMmbMmVVaMmp222对体积和压强作出修正，可得对体积和压强作出修正，可得范德范德瓦尔斯方程。瓦尔斯方程。获得获得1910年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖10-7 气体分子的气体分子的平均自由程和碰撞平均自由程和碰撞频率频率

24、平衡态宏观性质的维持平衡态宏观性质的维持非平衡态向平衡态过渡非平衡态向平衡态过渡依靠依靠分子间的分子间的频繁碰撞频繁碰撞实现实现 不可以像讨论压强那样将不可以像讨论压强那样将分子看成质点分子看成质点 不需像讨论内能那样考虑不需像讨论内能那样考虑分子内部结构分子内部结构 分子的有效直径分子的有效直径 d 约为约为10 -10 m刚性球刚性球模型模型一、平均碰撞频率一、平均碰撞频率平均碰撞频率平均碰撞频率:单位时间内一个分子与其单位时间内一个分子与其它分子发生碰撞的平均次数。它分子发生碰撞的平均次数。z 设分子的设分子的有效直径为有效直径为d，A分子以平均速分子以平均速率率 运动，其它分子都不动。运动，其它分子都不动。 以以A分子运动路径（折线）为轴线，作分子运动路径（折线）为轴线，作一半径为一半径为d ，总长度，总长度 的圆管。的圆管。 凡是分子中心位凡是分子中心位于管内的分子都将于管内的