立体的投影13

1、 第第3 3章章 立体的投影立体的投影第第4章章 立体的表面交线立体的表面交线任务任务2 曲面立体的投影曲面立体的投影及其表面取点及其表面取点任务任务1 截交线截交线任务任务1 平面立体的投影及其表面取点平面立体的投影及其表面取点任务任务2 相贯线相贯线第第3章章 立体的投影立体的投影任务任务1 平面立体的投影及其表面取点平面立体的投影及其表面取点 平面立体的平面立体的投影实质投影实质是关于其表面上点、线、面投影是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，的集合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的轮廓线，对于可见的轮廓线，其投影以粗实线表示，不可见的轮廓线，则以虚线表示。其

2、投影以粗实线表示，不可见的轮廓线，则以虚线表示。在投影图中，在投影图中，当当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制点画线等顺序优先绘制。1、 棱柱的组成棱柱的组成 由由两个底面和几个侧棱面两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，叫侧棱线，侧棱线相互平行侧棱线相互平行。a ad de eb bc ca ab bdcdce eeeccddaabbA AD DC CE EB BX XZ ZY Y正六棱柱的投影正六棱柱的投影 如图如图, ,为一正六棱柱，其顶为一正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的面

3、、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，其正面及水平投影反映实形，其正面及侧面投影积聚为一直线。侧面投影积聚为一直线。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 六棱柱有六个侧棱面，前后棱面为六棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面正平面，它，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一条直线。聚为一条直线。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影adebcabdceecdabADCEBXZY图3-2正六棱柱的投影图a(b)d(c)eabdcea”b”d”c”X XZ ZY YH HY YWW2、 棱柱的三视图

4、分析棱柱的三视图分析 作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-23-2所示。所示。aa (a“)3、棱柱表面上取点、棱柱表面上取点 (b)b bC C C注意：从现在注意：从现在开始，投影图开始，投影图中将不画出投中将不画出投影轴。影轴。取点方法：取点方法：首先判断点在首先判断点在哪个棱面内。哪个棱面内。取点方法同在取点方法同在平面表面取点平面表面取点，但要注意可，但要注意可见性的判别。见性的判别。1、 棱锥的组成棱锥的组成 由由一个底面和一个底面和几个侧

5、棱面几个侧棱面组成。组成。侧棱线交于有限远侧棱线交于有限远的一点的一点锥顶锥顶。SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱锥的投影 左图所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为ABC，是水平面，水平投影abc反映实形。 棱面SAB、 SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形。 棱面SAC为侧垂面，其侧面投影s”a”c” 为一直线。2、 棱锥的三视图投影分析棱锥的三视图投影分析 作三视图时，先画出底面ABC的各个投 影，再作出锥顶S的各个投影，然后连接各 棱线，即得正三棱锥的三面投影。ssabcacba”(b”)c”s”正三棱锥的三面投影图X XY YH HZ ZY YWWOOSABCWV

6、asbsabcbacsXYZ方法一： 连接sm并延长，与ac交于2，2m2 在投影ac上求出点的水平投影2。 连接s2，即求出直线S的水平投影。 根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。 再根据知二求三的方法，求出m”。m”asbc正三棱锥的三面投影图sacba”(b”)c”s”mX XY Y H HZ ZY YWW3、三棱锥表面上取点、三棱锥表面上取点M方法二：方法二：11m 过m作m1 ac，交sa于1。 求出点的水平投影1。 过1作1m ac，再根据点在直线上的几何条件，求出m 。 再根据知二求三的方法，求出m”。（具体步骤略)scb正三棱锥的三面投影图sabcaa”(b”)c

7、”s”mnnnN三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点NK（k）三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点Kkk回转体（面）的形成回转体（面）的形成 工程中常见的曲面立体是工程中常见的曲面立体是回转体回转体，其中圆柱、，其中圆柱、圆锥、球、环等为基本回转体。回转体是一动圆锥、球、环等为基本回转体。回转体是一动线（直线、圆弧或其它曲线）绕一定线（直线）线（直线、圆弧或其它曲线）绕一定线（直线）回转一周形成的曲面。回转一周形成的曲面。动线称为动线称为母线母线，曲面上，曲面上任意位置的母线称为任意位置的母线称为素线素线。 回转面用回转面用转向轮廓线转向轮廓线表示。表示。转向轮廓线是与曲面相切的投转向轮廓线是与曲面相

8、切的投射线与投影面的交点所组成的射线与投影面的交点所组成的线段，它是回转体判断可见性线段，它是回转体判断可见性的分界线。的分界线。 在投影图上表示回转体，在投影图上表示回转体，就是把组成立体的就是把组成立体的回转面回转面或或平面平面表示出来，然后判断可表示出来，然后判断可见 性 。 如 图 所 示 。见 性 。 如 图 所 示 。转向轮廓线转向轮廓线1 1、圆柱的形成、圆柱的形成 圆柱表面由圆柱表面由圆柱面圆柱面和和顶面、底面顶面、底面所组成。圆柱面是所组成。圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。XZY圆柱的三面投影图HVWaabcdcdacdbAAC

9、DBCd”c”d”c”a”b”a”b”2 2、圆柱的投影分析、圆柱的投影分析 如图所示，圆柱的如图所示，圆柱的轴线垂直于轴线垂直于H H面，其上面，其上下底圆为下底圆为水平面水平面，水，水平投影反映实形，其平投影反映实形，其正面和侧面投影重影正面和侧面投影重影为一直线。而圆柱面为一直线。而圆柱面则用曲面投影的则用曲面投影的转向转向轮廓线轮廓线表示。表示。 一个投影为圆，其余二投影均一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投为矩形。规定：回转体对某投影面的影面的转向轮廓线转向轮廓线，只能在该，只能在该投影面上画出，而在其它投影投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。面上则不再画出。X

10、ZYHWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vabaabba”(b”)a”(b”)c(d)c(d)cdddcc圆柱的投影3、圆柱投影图的绘制、圆柱投影图的绘制 （1） 先绘出圆柱的对称线、回转轴线。（2）绘出圆柱的顶面和底面。（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线在圆柱表面上取点在圆柱表面上取点 已知圆柱表面上的点已知圆柱表面上的点A A、B B、M M及及N N正面投影正面投影aa、 bb、mm和和nn，求它们的其余两投影。，求它们的其余两投影。4 4、圆柱表面上取点、圆柱表面上取点 a a” a b (b”) b1、圆锥的形成、

11、圆锥的形成 圆锥表面由圆锥表面由圆锥面圆锥面和和底圆底圆组成。它是一母线绕与它相交组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。的轴线回转而成。XZY图3-11 圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)2 2、 圆锥的投影视图分析圆锥的投影视图分析如图所示，圆锥轴线垂如图所示，圆锥轴线垂直直H H面，面，底面底面为水平面，为水平面，它的水平投影反映实形，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影重影为正面和侧面投影重影为一直线。一直线。 对于对于圆锥面圆锥面，要，要分别画出正面和侧面分别画出正面和侧面投影的转向轮廓线。投影的转向轮廓线。正面转向轮廓线侧面转向轮廓线圆锥投影

12、图的绘制圆锥投影图的绘制sabsabcdc”d”c(d)s”a(b) （1） 先绘出圆锥的对称线、回转轴线。（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。 (3) 作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。圆锥的投影XZYHVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)3 3、圆锥表面上取点、圆锥表面上取点 在圆锥表面上求点，有两种方法：即在圆锥表面上求点，有两种方法：即素线法素线法和和纬圆法纬圆法。方法一：素线法方法一：素线法 过过M M点及锥顶点及锥顶S S作作一条素线一条素线S S, ,先求出先求出素线素线S S的投影的投影, ,再求再求

13、出素线上的出素线上的M M点。点。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M 1 1” 1 已知圆锥表面的点M的正面投影m,求出M点的其它投影。 过m、s作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1。111”mm”a(b)图3-14 圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。 求出M点的水平投影和侧面投影。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS方法二：纬圆法方法二：纬圆法 过过M M点作一平行于底点作一平行于底面的水平辅助圆，该圆面的水平辅助圆，该圆的正面投

14、影为过的正面投影为过mm且平且平行于行于abab的直线的直线2323，它们的水平投，它们的水平投影为一直径等于影为一直径等于2323的圆，的圆，m m在圆周上，由此在圆周上，由此求出求出m m及及m”m”。mMmm”mmmnn()n()已知圆锥表面上点已知圆锥表面上点M M及及N N的正面投影的正面投影mm和和nn，求它们的其余两投影。求它们的其余两投影。在圆锥表面上取点在圆锥表面上取点 a a (a”) 球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一球的表面是球面。球面是一条圆母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的。平面上的轴线回转而形成的。1、 圆球的形成圆球的形成 球的三个投影均

15、球的三个投影均为圆，其直径与球直为圆，其直径与球直径相等，但三个投影径相等，但三个投影面上的圆是不同的转面上的圆是不同的转向轮廓线。向轮廓线。2 2、球的投影分析、球的投影分析圆球的画法及投影特点圆球的画法及投影特点3、圆球表面上取点、圆球表面上取点第四章第四章 立体的表面交线立体的表面交线任务1截交线与截断面截平面截交线截断面1.1.截交线的性质：平面与立体相交，该平面称为截平面。截截交线的性质：平面与立体相交，该平面称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。截交线围成的平面图形平面与立体表面的交线称为截交线。截交线围成的平面图形称为截断面。称为截断面。 截交线的形状取决于平面体的形状及

16、截平面相对平面截交线的形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。体的截切位置。求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 封闭性：由于立体是有形而又有限的，故截交线应是封闭性：由于立体是有形而又有限的，故截交线应是封封 闭的多边形或包含曲线的平面图形。闭的多边形或包含曲线的平面图形。 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求立体棱线与截平面的交点求立体棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求立体棱面与截平面的交线求立体棱面与截平面的交线棱面法棱面法。关键是正确地画出截交线的投影

17、。关键是正确地画出截交线的投影。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，或截平面间分别求出截平面与棱面的交线，或截平面间的交线，连接成多边形，并判别可见性。的交线，连接成多边形，并判别可见性。例例4-1 如图所示，六棱柱被截切，已知其正面投影，如图所示，六棱柱被截切，已知其正面投影，补全其水平投影和侧面投影。补全其水平投影和侧面投影。 12(3)4

18、(5)6(7”)53421766”4”5”7”2”3”1”作图步骤：作图步骤：(1) 求截切平面与棱线求截切平面与棱线的的交点交点的的V面投影；面投影；(2) 按一定的顺序按一定的顺序连接连接各个交点的各个交点的V面投影；面投影；(3) 绘制绘制各棱线各棱线的的V面面投影。投影。4-2 4-2 如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。和侧面投影。 平面与三棱锥相交sabcc”a”b”sPvs”(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。123(2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3

19、和1”、2”、3”。11”2”23(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4) 补全棱线的投影。3”123(4)1”3”4”12434-3 求做立体被截切后的投影求做立体被截切后的投影2”4-4 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交线检查截交线的投影的投影 1）平

20、面与圆柱表面的截交线）平面与圆柱表面的截交线 截交线截交线是截平面与形体表面的交线。按截平面与是截平面与形体表面的交线。按截平面与圆柱轴线的圆柱轴线的相对位置不同相对位置不同，与圆柱的，与圆柱的截交线截交线可以有可以有三种形式三种形式两平行直线两平行直线、圆圆和和椭圆椭圆 。2. 平面与曲面立体表面的交线平面与曲面立体表面的交线 截平面截平面位置位置平行于平行于圆柱轴线圆柱轴线垂直于垂直于圆柱轴线圆柱轴线倾斜于倾斜于圆柱轴线圆柱轴线截交线截交线直线直线圆圆椭圆椭圆立立体体图图投投影影图图例例4-5 如图所示，圆柱被如图所示，圆柱被与圆柱轴线倾斜的与圆柱轴线倾斜的正垂面正垂面截切截切，已知其正面

21、投影和，已知其正面投影和水平投影，求侧面投影。水平投影，求侧面投影。 1” 2” 3” 4” 1 2(4) 3 1 3 2 4绘图步骤：绘图步骤：(1)求求特殊点：特殊点：最低点最低点 、最高点最高点 、最前点、最前点、最后点最后点；(2)求求一般点一般点：V、VI、VII、VIII；(3)光滑连接光滑连接各点；各点；(4)求求轮廓素线轮廓素线投影。投影。 567 8 5(8) 6(7)5”7”6”8” 截平面与轴线的截平面与轴线的不同夹角不同夹角时，时，截交线形状截交线形状的变的变化趋势化趋势 。椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。截平面与圆柱轴线成45时，投影为圆。 45 4

22、5圆柱体切割圆柱体切割 生产实际中的机件，经常有生产实际中的机件，经常有圆柱切割圆柱切割的结构形式，的结构形式，在画这些零件的视图时经常遇有求在画这些零件的视图时经常遇有求截交线截交线的问题。的问题。 (a) 切割 (b)开槽圆柱切割与开槽点击播放视频圆柱体切割圆柱体切割例例4-64-6：空心圆柱被切割，求俯视图。：空心圆柱被切割，求俯视图。例例4-7 4-7 空心圆柱被切割，求俯视图。空心圆柱被切割，求俯视图。例例4-8 4-8 空心圆柱被开槽，求俯视图。空心圆柱被开槽，求俯视图。例例4-9 4-9 空心圆柱被开槽，求俯视图。空心圆柱被开槽，求俯视图。分析、比较分析、比较2) 平面与圆锥表面

23、的交线平面与圆锥表面的交线 根据截平面与圆锥轴线的位置不同，截交线有五根据截平面与圆锥轴线的位置不同，截交线有五种情况种情况圆、直线、双曲线、椭圆圆、直线、双曲线、椭圆和和拋物线拋物线。截平面位置垂直于圆锥轴线通过锥顶平行于圆锥轴线与圆锥所有素线相交平行于圆锥一条素线截交线圆圆直线直线双曲线双曲线椭圆椭圆抛物线抛物线立体图投影图例例4-10 如图所示，圆锥被如图所示，圆锥被一侧平面截切，求其侧面一侧平面截切，求其侧面投影投影 。 绘图步骤：绘图步骤：(1)求求特殊点特殊点、 ；(2)求求一般点一般点、；(3)光滑连接光滑连接各点；各点；(4)求求轮廓素线轮廓素线投影。投影。 1 3素线法素线法

24、 2 1 2(3) 2” 3” 1”454”5”4 (5)圆锥体切割圆锥体切割例例4-11 圆锥被一正垂面截切，完成圆锥被一正垂面截切，完成其水平投影和侧面投影。其水平投影和侧面投影。 绘图步骤：绘图步骤：(1)求求特殊点特殊点，最低点，最低点、最高点、最高点 、最前、最前点点、最后点、最后点，转，转向轮廓素线上点向轮廓素线上点、；(2)求求一般点一般点、；(3)光滑连接光滑连接各点；各点；(4)求求轮廓素线轮廓素线投影。投影。123(4)5(6)7(8)9(10) 124387659102”1”10”9”4”3”6”5”8”7”点击播放视频圆锥体切割圆锥体切割4-124-12已知主、左视图，

25、求画俯视图。已知主、左视图，求画俯视图。答案：答案：3) 平面与圆球表面的交线平面与圆球表面的交线 平面与圆球的截交线为平面与圆球的截交线为圆圆。当截平面。当截平面平行、垂直平行、垂直、和和倾斜倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影分别于投影面时，截交线在该投影面上的投影分别为为直线直线、圆圆和和椭圆椭圆。 截平面位置与V面平行与H面平行与V面垂直立体图投影图例例4-13 圆球被一圆球被一正垂面正垂面截切，完成其水平投影和侧截切，完成其水平投影和侧面投影。面投影。 绘图步骤：绘图步骤：(1)截交线的投影为截交线的投影为椭圆椭圆，投，投影椭圆上影椭圆上短轴短轴的两个端点的两个端点、与与长轴长轴

26、的两个端点的两个端点 、 ；(2)求截交线与求截交线与轮廓线轮廓线的交点的交点 、 ；(3)求截交线与求截交线与轮廓线轮廓线的交点的交点 、 ；(4)依次依次光滑连接光滑连接各点；各点； (5)检查并加粗检查并加粗可见轮廓线可见轮廓线。 点击播放视频圆球体切割圆球体切割例例4-14 半圆球开槽，已知半圆球开槽，已知正面投影正面投影，求其，求其水平投影水平投影和和侧面投影侧面投影。 圆球体切割圆球体切割 在立体中常常会见到由两个或两个在立体中常常会见到由两个或两个以上的基本形体相交（或称相贯）而形以上的基本形体相交（或称相贯）而形成的组合形体，它们的表面交线称为相成的组合形体，它们的表面交线称为

27、相贯线。相贯线是两相交立体表面的共有贯线。相贯线是两相交立体表面的共有线，相贯线上的点是两相交立体的共有线，相贯线上的点是两相交立体的共有点。点。任务2 相贯线 由于基本立体有平面立体与曲面由于基本立体有平面立体与曲面立体之分，所以相交的情况有以下立体之分，所以相交的情况有以下三种：三种： 1.平面立体与平面立体相交；平面立体与平面立体相交； 2.平面立体与曲面立体相交；平面立体与曲面立体相交； 3.曲面立体与曲面立体相交。曲面立体与曲面立体相交。.平面立体与平面立体相交平面立体与平面立体相交.平面立体与曲面立体相交平面立体与曲面立体相交3.曲面立体与曲面立体相交曲面立体与曲面立体相交 两平面

28、立体相交，其相贯线在两平面立体相交，其相贯线在一般情况下是封闭的空间折线，但一般情况下是封闭的空间折线，但有时也会是平面多边形。有时也会是平面多边形。 求作两平面立体相贯线，实质求作两平面立体相贯线，实质上仍归结为求直线与平面的交点，上仍归结为求直线与平面的交点，以及求平面与平面交线的问题。以及求平面与平面交线的问题。两个两个三棱柱相三棱柱相贯，补全贯，补全其正面投其正面投影影。V V 2.平面立体与曲面立体的相贯 平面立体与曲面立体相交的表面交平面立体与曲面立体相交的表面交线，一般是由数段平面曲线组合而成的线，一般是由数段平面曲线组合而成的空间曲线，每一段平面曲线都是平面立空间曲线，每一段平

29、面曲线都是平面立体的棱面与曲面立体表面的交线，相邻体的棱面与曲面立体表面的交线，相邻两段平面曲线的连接点是平面立体的棱两段平面曲线的连接点是平面立体的棱线与曲面立体表面的交点。线与曲面立体表面的交点。例例1：求作四棱：求作四棱柱与圆锥的相柱与圆锥的相贯线。贯线。.求特殊点：求特殊点：.求一般点：求一般点：.联接相贯线联接相贯线.连接可见连接可见轮廓线轮廓线V VW W.求特殊点：求特殊点：.求一般点：求一般点：.联接相贯线联接相贯线.连接可见连接可见轮廓线轮廓线空间分析：空间分析： 求作圆锥与四棱求作圆锥与四棱柱孔的相贯线。柱孔的相贯线。在圆锥穿孔的内在圆锥穿孔的内表面有四表面有四条棱线条棱线.求特殊点：求特殊点：.求一般点：求一般点：.联接相贯线联接相贯线.连接轮廓线连接轮廓线V VW W.求特殊点：求特殊点：.求一般点：求一般点：.联接相贯线联接相贯线.连接轮廓线连接轮廓线 两曲面立体相交