大连理工大学自动控制原理课件（7）

1、第七章 线性离散控制系统内容提要：引言 采样过程的数学描述Z变换与Z反变换 采样系统的数学模型离散控制系统的分析 数字控制器的设计7.1 引言 离散控制系统，又称为采样控制系统。离散系统方块图 在离散系统中，有一处或几处的信号是时间的离散函数。X(t)e*(t)X*(t)G(s)H(s)-b*(t)Tb(t)y(t)T离散系统举例：1.直接数字控制系统(DDC-Direct Digital Control数字计算机执行器过程模/数转换器测量传感器数/模转换器输入模拟量输出模拟量数字量数字量2. 计算机监督控制系统(SCCSurveillance Computer Control System)

2、计算机模数转换数模转换输入输出模拟控制器传感器被控过程执行器3. 集散控制系统 (TDCTotal and Distributed Control) MISSCCSCCSCCDDCDDCDDCDDC被控过程被控过程MISMISSCC集中调度控制中心 子调度控制中心 . 离散系统方块图 简化简化后 X(t)e*(t)G(s)H(s)-b(t)Ty(t)e(t)X(t)e*(t)X*(t)G(s)H(s)-b*(t)Tb(t)y(t)TDDC系统 x(t)e*(t)m*(t)y(t)b(t) DG0(s)H(s)TT简化后数字计算机x(t)数模A/D DD/AG0(s)x*(t)e*(t)m*(t

3、)m(t)y(t)H(s)A/D数模b*(t)数字部分连续部分7.2 采样过程的数学描述 一、采样过程 将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离散信号的过程。 采样器：完成采样功能的装置。采样宽度：开关接通很短的一段时间。采样周期T：相邻两次采样的时间间隔。f=1/T 及 w=2pf 分别称为采样频率及采样角频率 采样开关经一定时间T 重复闭合，每次闭合时间为，且 T b*(t)0Tt采样过程图 0T2T3T4Ttx(t)x*(t)T经过采样开关 00T2T3T4Tt理想采样器单位脉冲串的表示规定一个脉冲函数0t当t=kT 时的理想单位脉冲kTt0假设(t)是一个周期函数：kTt0T2TI(

4、t)（2）用 表示脉冲发生的时间 理想采样器的输出 x*t可以借用单位脉冲函数来表示：这里：1用 x(t) 在 t=kT 时刻的幅值共同描写 x*(t)二、采样定理 1采样信号的频率特性单位脉冲函数：展成富氏级数：因此其拉氏变换为采样信号的频率特性假设连续信号x(t)的频谱 k= -1sk=1- s|X*(jw)| - max+ max02 maxX(j)1k=00- s2 s2基谱需要：滤掉高频谱线，防止谱线互相搭接。谱线搭接的情况 k= -1sk=1- s|X*(jw)| k=00|X*(jw)| k=0k=-1k=102maxs- ss- s2 s22maxs2采样定理Shannon定理

5、 也即 如果 ，若想使原始信号完满地从采样信号中恢复过来，必须使 。采样角频率原始信号中最高频率分量三、信号恢复 零阶保持器的时域特性 数学模型 gh(t)=1(t)-1(t -T)sesGsTh-=1)(传递函数为x(t)x*(t)保持器x (t)h保持器方块图 10-1Ttg (t)h10Ttg (t)h零阶保持器的频率特性 wwwjejGTjh-=1)(=| Gh(jw)|Gh(jw)幅频特性或频谱相频特性0|Gh(jw)| TGh(jw) -Gh(jw) |Gh(jw)| 2 ss3 s结论：零阶保持器的幅值随增大而减小， 具有低通滤波特性。 截止频率有无穷多个，不是理想滤波器。有相位

6、滞后，增加了系统的不稳定因素。零阶保持器在=0时的幅值为T。零阶保持器的作用：将离散信号变成连续信号根本滤掉高频信号，起到低通滤波器作用补偿了采样后幅值的衰减ezTs=令7.3 Z 变换与Z 反变换 一、Z 变换定义 进行拉氏变换:理想采样器的输出)(zX=)(*sX则说明： 1将Z 变换按定义式展开 2Z变换只考虑采样瞬时的信号值 3X(z)的反变换只能给出x(t)在采样瞬时的信息 )()(21zXzX=则)()(*2*1txtx=若而一般二、Z 变换方法 1.级数求和法 X(z)=x(0)+x(T)z-1+x(2T)z-2+x(kT)z-k+ 例1 试求x(t)=A的Z 变换 例2 试求x

7、(t)= e-at (a0)的Z变换 例3 试求x(t)=t 的Z变换 例4 试求 x(t) =sinw t 的Z变换 解1：返回用公式：q1 解2:=1+e-aTz-1+e-2aTz-2+e-kaTz-k + 假设|eaTz|1，那么可写成闭式:z1aTaTatezzee-=-=11Z返回=1+(eaTz)-1+(eaTz)-2+(eaTz)-k + t =kT解3:返回对1求导整理：1+2得：21)(-=-ezzezzjTjTjww12zcossin+-=TzTzww2)z()(21+1+-=-eezeezjTjTjTjTjwwww2返回解：2.局部分式法 设X(s)为有理函数，并具有如下

8、形式 nnnmmmasasabsbsbsNsMsX+=-LL1111)()()(00将X(s)展开成部分分式和 =sX)(+issiAni=1项对应的Z变换为 +issiA iTisezzA-ni=1=-TiisezzAzX)(例5 例6 利用局部分式法求取正弦函数sinwt 的Z变换 1cos2sin+-=TzzTzww22121sin-+-=-ezzjezzjtTjTjwwwZwwwjsjjsjt-+=121121sinL解 已知Lsinwt= ，分解成部分分式和的形式，即22ww+s返回 1Sj由于拉氏变换 的原函数为e-(jw)t；可求得上式的Z变换解:assassasX+-=+=11

9、)()(逐项求拉氏反变换，得 x(t)=1(t)-e-at 写出相应的Z变换: 返回 求 X(s)= 的Z变换 assa+)(3.留数计算法 1无重根时全部极点条件：X(s)为s多项式之比；当s时，X()0；X(s)的极点位于s平面之左。 例7.7 例7.8 例7.92有重根时求 x(t)=t 的Z变换 解： 由于Lt= 1s21dd1)!(21)(220-=ezzssszXssT返回所以s1=0，=21)(2-=zTz求x(t)=te-at 的Z变换 解： 由于Lte-at= 1(s+a)22)(aTaTezzTe-=22)(1)(dd1)!(21)(sTezzasasszXas-+-=-=

10、返回所以 s1= -a ，=2 已知X(s)= ，求X(z) s+3(s+1)(s+2)解： s1=-1，s2=-2均为单极点TTTTTezeezeezz3222)()2-(-+-+=Tezz2-Tezz2-=sTezszss)1)(3)(2-+-=sTezszss)2)(3)(1-+=-=zX)(sTezszXss)(2)(2-+-=sTezszXss)(1)(1-+=-=sTezszXs)(res2-+-=sTezszXs)(res1-=-=返回作业19/117-23467-3347-5，7-10，7-11，7-13三、Z变换性质 1. 线性定理 Zax1(t)bx2(t)=aX1(z)b

11、X2(z) 2. 时移定理实数位移定理 迟后定理证明：令 k-n=r ,当r 长除法例 2 局部分式法例 3 留数计算法 例 X(z)的一般形式为 )()(nmzX=110110azazabzbzbnnnmmm+-LL用长除法求出z-1的升幂形式 X(z)= c0 + c1 z-1 + c2 z-2 + + ck z-k + Az+p 11X(z)z=Az+p 22+ 3逐项求Z反变换 展开成部分分式和的形式X(z)z（1）将2将等号两边各项同时乘以复变量 z单极点：重极点： 求X(z)= 的反变换，其中e-aT =0.5 11-e z-aT-1 解 用长除法将X(z)展开为无穷级数形式 )L

12、L0.1251250.-50.5 0.1250.25 332221321-+zzzzzz10.5 -z0.5111-z1 0.5-0.511-zzzz返回0.5L0.1250.25321-+zzzX(z)=1所以例 求 的Z反变换 2)1)(10)(-=zzzzX 解 首先将 展开成下列部分分式zzX)(210110-2)1)(10)(-+-=-=zzzzzzX得 210110-)(-+-=zzzzzX由表查得 k-zzzz22 1,111=-=-ZZ因此x(kT )=10(-1+2k ) k =0，1，2，=-+=0)()2(-110)(kkkTttxd*返回例 求 的

13、Z反变换 21)2)()(-=zzzzXL0,1,2, 122)(11211)(221)(1)2)(dd1)!-(212)(1)2)(1)2)(res)(解221222212=-=-+-=-+-=-=-kkkzzzzzzzzzzzzzkTxkkzkzkk=-=0)(1)(2)(kkkTtktxd*或 返回例7.4 采样系统的数学模型 一、差分方程 反映离散系统输入-输出序列之间的运算关系一阶惯性环节 x(t) K T s+1 1y(t)其微分方程为：ab一阶线性常系数差分方程x(t) K T s+1 1TT递推法：差分方程的求解令k=0，求令k=1，求 用Z变换解差分方程例7-13 设系统有如

14、下差分方程：输入：求系统响应解：根据超前定理和求z反变换k =2，3， 设离散系统的差分方程为 y(k)+3y(k -1)+2y(k -2)=x(k -2) 式中 =0 00 1)( 0,(0)(-1)kkkxyy求系统的响应y(k)解 对差分方程取Z变换 (1+3z-1+2z-2)Y(z)=X(z)z-2)(+-+=+=21231)(1- 2zzzzzzZ zY查表，并应用延迟定理，得y(k)=(-1)k -1-(-2)k -1 k =1，2，3， Y(z)= X(z) 1z +3z+2 2整理，得X(z)=1，因此7-14二、脉冲传递函数Z传递函数 x(t) G(s)y(t)1. 如一个单

15、位脉冲加在线性环节上0t0t单位脉冲响应记为2. 如一串脉冲依次加到线性环节上x(t) G(s)y(t)x*(t)y(t)0tx*(t)t0y(t)=x(0)g(t)+x(T)g(t-T)+x(kT)g(t-kT)所以在采样时刻由z变换定义设 k-i=n脉冲传递函数X(Z) G(Z)Y(Z)在Z域： 用Z变换分析采样系统时，系统传递函数G(s)的极点数目必须比零点数目多两个以上，这样在t=0时，系统的脉冲响应没有跃变。注意：说明：所求的z传递函数，是取系统输出的脉冲序列作为输出量。x*(t)x(t)Y (t)Y(z)G(s)TTY*(t)X(s)Y(s)G(s)表示的是线性环节本身的传递函数，

16、而G(z)表示的是线性环节与采样开关组合体的传递函数。已知 ，求Z传递函数G(z) 10)(10)(+=sssG解： 将G(s)分解成局部分式 1011)(+-=sssG逐项求Z变换，得 -)1)( ) (11)(10 1010T T TezzezezzzzzG- - =-=例7-15系统如图：T=1s, a=0.693, Xr(t)=1(t)，求脉冲传函数和输出响应解: (1)(2) Xr(t)的Z变换为例7-16输出函数的Z变换为：求Z反变换：阶跃响应序列：三、开环系统的Z 传递函数 (1) 串联环节之间无采样器Y(z)X(z)=ZG (s)G (s)=G G (z)1212x(t)x*(

17、t)TG (s)1G (s)2y (t) 1y(t)y*(t)x(t)x*(t)TG (s)G (s)1y(t)y*(t)2 串联环节之间无采样开关时，总开环脉冲传函等于各环节传递函数之积的Z变换。 (2)串联环节之间有采样器 总的Z传递函数等于各串联环节Z传递函数的乘积 Y(z)X(z)=G (z)G (z)12通常 G1G2(z)G1(z)G2(z)G (s)1G (s)2x(t)x*(t)y (t)1y*(t)1y(t)y*(t)TT例7-21无采样开关求两环节间无采样开关和有采样开关的脉冲传递函数解：有采样开关3带零阶保持器的开环系统脉冲传递函数r(t)r*(t)TG (s)1y(t)

18、y*(t)由脉冲传递函数定义有：令：由实平移定理：所以有：例如以下图所示r(t)r*(t)TG (s)1y(t)y*(t)其中：求脉冲传递函数。解结论：零阶保持器采样不影响系统的稳定性四、闭环系统Z传递函数 x(t)e(t)e*(t)y(t)TG(s)H(s)+-b(t)y*(t)Y(z)X(z)= G(z)1+GH(z)Y(z)= NG (z)1+G G (z)212例7.17 x(t)=0y*(t)y(t)n(t)e(t)e*(t)G (s)2G (s)1T+-+ 设闭环系统结构图如下图。求系统输出的Z变换 解 因为 Y(z)=XG(z)-GH(z)Y(z) 整理，得 Y(z)= XG(z

19、)1+GH(z)返回x(t)e(t)G(s)H(s)y*(t)y(t)y*(t)例7-18. 求离散系统的脉冲传递函数 -G1(s)G2(s)H(s)r(t) e(t) e*(t) d(t) b(t) Y*(t)Y(t)+假定d(t)=0,得结构图如下：G1(s)G2(s)H(s)r(t) e*(t) Y*(t)Y(t)解：列方程：联立求解：G1(s)G2(s)H(s)r(t) e*(t) Y*(t)Y(t)-TTb(t)得到输出Z传递函数：假定输入r(t)=0,得离散控制系统的结构图：-G2(s)G1(s)H(s)r(t)=0 e*(t) Y*(t) Y(t) d(t) + + 所以，有 因

20、为：例7-19 采样系统结构如下图：G(s)H(s) r(t) b*(t)Y*(t)Y(t) 列写如下式子 所以， 不能写出脉冲传递函数五、Z变换法的局限性 1Z变换的推导是建立在采样器是理想开 关这个根底之上的。 2 无论是开环或闭环离散系统，其输出大多是连续信号y(t)而不是采样信号y(kT)。而用一般的Z变换只能求出采样输出y(kT)，这样就不能反映采样间隔内的y(t)值。 用Z变换法研究(开环)离散系统时，首先必须满足：系统连续局部传递函数G(s)的极点至少比零点多两个，或者满足=sssG0)( lim例7-17 采样系统如图，求闭环脉冲传递函数，并求系统在单位阶跃下的输出脉冲序列，设

21、采样周期T0.1秒。 r T e*(t) Y*(t) Y(t) 解：而 稳定条件的对应关系j S平面 1-1Re0Im Z平面 s0 虚轴上(临界稳定) |z|1 单位圆的圆周 s0 右半平面(不稳定域) |z|1 单位圆的外部 不稳定域不稳定域s0 左半平面(稳定域) |z|1 单位圆的内部 稳定域稳定域0)1()(1(=-+-ezkezzuTTuTT876.4076.00368.0952.4212-=+zzzz代入已知量得到：特征方程有一个在单位圆外的根， 故系统不稳定2. 稳定性代数判据 将变换式代入系统的特征方程，就可以使用代数稳定判据判断离散系统的稳定性。在离散系统中，引进w变换令

22、或 其中Z和W可写为 Z=x+jy W=u+jv 当x2+y2=1 对应Z平面单位圆 u=0 即W平面上的虚轴当x2+y21 Z平面上单位圆内部 u1 Z平面上单位圆外部 u0 即右半W平面方法为：求出开环脉冲传递函数A(z)将 代入，得到1+D(w)=0应用Routh判据写出闭环特征方程1+A(z)=0例7-19 离散系统如下图，采样周期T=1秒， 分析离散控制系统的稳定性解 ：r (t) y (t) 由1+A(z)=0得将 代入，列劳斯表系统不稳定自学书中第239例7-28例7-20 系统结构如图。T=0.1，求使离散系统稳定的K值范围。 r(t) y* (t) y (t)T解: 开环脉冲

23、传递函数为闭环特征方程 1+A(z)=0即 Z2 +(0.632k-1.368)Z+0.368 = 0 代入，整理0.632Kw2 +1.264w +2.736 -0.632K = 0利用劳斯判据，可得使系统稳定的K值范围 0K4.32二、离散系统的瞬态响应闭环脉冲传递函数当输入为单位阶跃时展开，取Z反变换得y(k)1、极点位于Z平面单位圆内和圆外实轴上时2、极点位于Z平面单位圆内和圆外复平面上时闭环极点分布对瞬态响应的影响 0ImRe闭环极点的瞬态分量 -110t0t0t0t0t三、Z平面上的根轨迹 离散系统的闭环特征方程 1+A(z)=0 其中A(z)为开环Z传递函数例7.22 Z平面上的

24、根轨迹作图方法与S平面上的作图规那么完全一致。需要注意的是： 在连续系统中，稳定的边界是虚轴，而在离散系统中，稳定的边界是单位圆。例7-21采样周期T=1s, 作以k为为变量的根轨迹解：在z=1和z=0.368处有两个极点, z=0处有一个零点ReIm在z=1和z=0.368处有两个极点, z=0处有一个零点(2)在实轴上根轨迹(3)根轨迹在实轴上的别离点四、 采样系统的稳态误差Z变换终值定理采样系统稳态误差x(t)e(t)e*(t)y(t)TG(s)-y*(t)系统的开环脉冲传函：z=1处有 重极点，=0,1,2分别表示0型, 1型, 2型1. 单位阶跃函数输入时的稳态误差2. 单位斜坡函数

25、输入时的稳态误差3. 单位加速度函数输入时的稳态误差 以静态误差系数表示的稳态误差表中Kp 、Kv 、Ka分别为位置、速度、加速度静态误差系数。位置误差r(t)=1(t)速度误差r(t)= t加速度 误差r(t)= t2 / 20型系统1型系统02型系统003型系统000 1Kp 1Kv 1Ka7.6 数字控制器设计 x(t)e*(t)m*(t)y(t) DG (s)TTy*(t)T闭环脉冲传函：数字控制器：D(z)必须满足以下条件：D(z) 分子多项式的阶次不得大于分母多项式的阶次；D(z) 没有单位圆上除有一个z=1的极点外和单位圆外的极点。最小拍系统设计： 在典型控制信号作用下具有非周期响应、无稳态误差的数字控制系统，又称最少调节时间或最小拍系统。1.单位阶跃输入输出Z变换为Y(z)=z-1+z-2+z-3+T 2T 3Tt x*(t) 0T 2T 3Tt y*(t) 02.单位斜坡函数输入y*(t) t T 2T 3T0 x*(t) t T 2T 3T0作业补充题： 书中248页图7-46。T=1 当输入为单位阶跃函数时，要求输出在一个采样周期到达给定值，求D(z)。解：求开环脉冲传递函数G(z)选取GB(z) GB(z) =2z1-z2 那么 Ge(z) =(1-z1 )2 于是，可求数字控制器D(z