初一下- 相交线和平行线

1、 5.1.1相交线相交线1243ABCD如右图中：如右图中： 直线直线AB和和CD交于点交于点O，得到了四个角是得到了四个角是 O1、2、3、4。对顶角对顶角下 页返回O对顶角对顶角对顶角对顶角对顶角对顶角对顶角对顶角其中其中 1和和 3是直线是直线AB、CD相交得到的，它们有相交得到的，它们有 一一个公共顶点个公共顶点 ，没有公共边，没有公共边，像这样的两个角叫做像这样的两个角叫做 图中还有这样的角吗？图中还有这样的角吗？下 页ABCDO12C图图1如图如图1：2是是1的的 ，它们的，它们的两边分别在同一条直线上。因此一个两边分别在同一条直线上。因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边角的对

2、顶角可看作是把这个角的两边 延长得到的没有公共边的角。延长得到的没有公共边的角。对顶角对顶角反向反向没有公共边没有公共边12ACDO 下面我们再来看下面我们再来看1和和2也也是直线是直线AB、CD相交得到的，它相交得到的，它们不仅有们不仅有 一个公共顶点一个公共顶点 还有还有 一条公共边一条公共边 像这样的两个像这样的两个角叫做角叫做 。另外像。另外像2和和3、1和和4、 和和 都是都是邻补角。邻补角。 OA34邻补角邻补角下 页返回34BO邻补角邻补角邻补角邻补角邻补角邻补角邻补角邻补角下 页12ABC图图2如图如图2：1和和2是是 ，可以看，可以看成是一条直线被经过直线上一点的一成是一条直

3、线被经过直线上一点的一条条 线分成的两个角。由此可知，邻线分成的两个角。由此可知，邻补角不但是指两个角的大小关系：补角不但是指两个角的大小关系：1+2= 度；而且指两个角的位置关度；而且指两个角的位置关系：不但有一个公共顶点，而且有一系：不但有一个公共顶点，而且有一条公共边。条公共边。邻补角邻补角180射射O问题：一对邻补角一定互补吗？问题：一对邻补角一定互补吗？ 一对互补的角一定是邻补角吗？一对互补的角一定是邻补角吗？我们知道邻补角是互我们知道邻补角是互补的，那么对顶角有补的，那么对顶角有什么样的关系呢？什么样的关系呢？ （ 的定义）的定义） 1=3（ ）于是得对顶角的重要性质：于是得对顶角

4、的重要性质：1+4= 3+4=邻补角邻补角对顶角相等对顶角相等（对顶角相等）（对顶角相等）3=11=68（ ）已知已知3=68解：解：（等量代换）（等量代换）2=1801=1124=2=112（对顶角相等）（对顶角相等）（邻补角的定义）（邻补角的定义）小结小结课堂小结课堂小结1、两条直线相交所得的四个角、两条直线相交所得的四个角 中，有一个公共顶点，没有公中，有一个公共顶点，没有公共边的两个角叫做共边的两个角叫做对顶角对顶角。不。不仅有一个公共顶点，还有一条仅有一个公共顶点，还有一条公共边的两个角叫做公共边的两个角叫做邻补角邻补角。2、邻补角表明了两个角的大小、邻补角表明了两个角的大小关系是关

5、系是互补互补，位置关系是有公共，位置关系是有公共顶点和公共边；对顶角顶点和公共边；对顶角相等相等。3、用对顶角的性质进行简单的推理和证明、用对顶角的性质进行简单的推理和证明返回练习练习巩固练习巩固练习（D） （4）1、一个角的对顶角有、一个角的对顶角有 个，邻补角最多有个，邻补角最多有 个，而补角个，而补角 则可以有则可以有 个。个。3、如图，直线、如图，直线AB、CD相交于相交于O，AOC=80；1=30；求；求2的度数的度数ACBDE12解：解：DOB= ，（，（ ） =80（已知）（已知） DOB= （等量代换）（等量代换） 又又1=30（ ） 2= - = - = 一一两两无数无数AO

6、CAOCDOB180 30 50对顶角相等对顶角相等已知已知二、二、 填空填空返回802、右图中、右图中AOC的对顶角是的对顶角是 邻补角是邻补角是 DOBAOD和和COB测试测试达标测试达标测试一、判断（每题一、判断（每题10分）分） 1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（ ） 2、两条直线相交，有两组对顶角。、两条直线相交，有两组对顶角。 （ ） 3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角， 那么其余的三个角也是直角。那么其余的三个角也是直角。 （ ）二、选择（每题二、选择（每题10分）分）1、如右图

7、直线、如右图直线AB、CD交于点交于点O，OE为射线，那么（为射线，那么（ ） A。AOC和和BOE是对顶角；是对顶角； B。COE和和AOD是对顶角；是对顶角； C。BOC和和AOD是对顶角；是对顶角； D。AOE和和DOE是对顶角。是对顶角。2、如右图中直线、如右图中直线AB、CD交于交于O， OE是是BOC的平分线且的平分线且BOE=50度，度， 那么那么AOE=（ ）度）度 （A）80；（；（B）100；（；（C）130（D）150。ABCDOECC下下 页页三、填空（每空三、填空（每空3分）分）如图如图1，直线，直线AB、CD交交EF于点于点G、H，2=3，1=70度。求度。求4的度

8、数。的度数。解：解：2= （ ） 1=70 （ ） 2= （等量代换）（等量代换） 又又 （已知）（已知） 3= （ ） 4=180 = （ 的定义）的定义）ACDBEFGH1234四、解答题四、解答题 直线直线AB、CD交于点交于点O，OE是是AOD的平分线，知的平分线，知AOC=50度。度。求求DOE的度数。的度数。ABCDOE图1图21对顶角相等对顶角相等已知已知702=370 等量代换等量代换3 110 邻补角邻补角上上 页页解：解：AOC=50（已知）（已知） AOD=180AOC=18050=130（邻补角的定义）（邻补角的定义） OE平分平分AOD（已知）（已知） DOE=1/2

9、AOD=1302=65（角（角平分线的定义）平分线的定义）四、解答题（每一步四、解答题（每一步5分）分） 直线直线AB、CD交于点交于点O，OE是是AOD的平分线，知的平分线，知AOC=50度。度。求求DOE的度数。的度数。ABCDOE图2作业作业 b b b a a a水平面水平面 无水花无水花 水花小水花小 水花大水花大入水方向入水方向问题问题1：如右图，：如右图，（1）AOC的对顶角是哪个角？的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？这两个角的关系怎样？（2）AOC的邻补角有几个？的邻补角有几个？是哪几个角？是哪几个角？ 问题问题2：如下图，当：如下图，当AOC90时，时，BOD、AOD、B

10、OC等于多少度？为什么？这种位置等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？的位置关系怎样？ 问题问题3 3：什么样的两条直线互相垂直？：什么样的两条直线互相垂直？ 定义定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是角是直角直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的直线叫做另一条直线的垂线垂线，它们的交点叫做，它们的交点叫做垂垂足足 在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。十字路口的两条道路方格本的横线和竖线铅垂线和水平线 垂直的记法、读法直线直线

11、AB、CD互相垂直，互相垂直，记作记作“ABCD”或或“CDAB”，读作读作“AB垂直于垂直于CD”，如果垂足为，如果垂足为O，记作记作“ABCD，垂足为，垂足为O”（如图）（如图）FEMNO记作：记作： MNEF , 垂足为垂足为O.或者或者MNEF于于FABOE记作：记作： ABOE垂足为垂足为O.或者或者ABOE于于O垂直的定义的应用格式 AOC=90（已知），（已知）， ABCD（垂直的定义（垂直的定义） 如果直线如果直线AB、CD 相交于点相交于点O，AOC=90（或（或三个角中的一个角等于三个角中的一个角等于90），那么），那么 ABCD.这个推理过程可以写成：这个推理过程可以写成

12、： ABCD（已知），（已知）， AOC90（垂直的定义）（垂直的定义）如果如果ABCD，那么所得的四个角中，必有一个是直那么所得的四个角中，必有一个是直角角.这个推理过程可以写成这个推理过程可以写成:选择题：选择题：1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是定两条直线垂直的是 （A） 有两个角相等有两个角相等 （ B）有两对角相等）有两对角相等 （C） 有三个角相等有三个角相等 （ D） 有四对邻补角有四对邻补角（C）2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（的有（ ）个）个（1）

13、两条直线相交所成的四个角中有一个角是）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直直角，则这两条直线互相垂直 （2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直则这两条直线互相垂直 （3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直条直线互相垂直 （4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直两条直线互相垂直 （ A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1A解：解：135，255（已知）（已知）垂直垂直 AOE18012 18035

14、55 90OEAB (垂直的定义垂直的定义)例例1、如图，已知直线、如图，已知直线AB、CD都经过都经过O点，点，OE为射线，为射线，若若135 255，则，则OE与与AB的位置关系是的位置关系是 。 CDABOE12 例例2：如图：如图 ，已知，已知AB. CD相交于相交于O, OECD于于O,AOC=36，则，则BOE= 。 （A）36 (B) 64 (C)144 (D) 54 ABOCDE54想一想想一想：（1）直线）直线a与直线与直线b是互相垂直的两条直是互相垂直的两条直线，若直线线，若直线a为已知直线，那么直线为已知直线，那么直线b的位置确的位置确定吗？定吗？ 如何才能确定直线如何才

15、能确定直线b的位置？的位置？ （2）如果过点）如果过点O再画一条直线再画一条直线c，且直线，且直线c与直与直线线b不重合，能使直线不重合，能使直线c与直线与直线a垂直吗？垂直吗？ （3）通过画图，你能试着总结出什么结论？）通过画图，你能试着总结出什么结论？结论：结论： 过直线上的一点有且只有一条直线与已知直过直线上的一点有且只有一条直线与已知直线互相垂直。线互相垂直。 （4）如果在直线）如果在直线a外取一点外取一点P，过点，过点P 能画直能画直线线a的垂线吗？能画几条？你能用量角器（或三角的垂线吗？能画几条？你能用量角器（或三角尺）把它画出来吗？尺）把它画出来吗？ （5）你能得到什么结论？）你

16、能得到什么结论？a . P结论：结论： 过直线外一点有且只有一条直线与已知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线垂直.结论结论(1)： 过直线上的一点有且只有一条直过直线上的一点有且只有一条直线与已知直线互相垂直。线与已知直线互相垂直。结论结论(2)： 过直线外一点有且只有一条直线与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直已知直线垂直.结论：结论： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.课堂练习课堂练习1选择题选择题 过点过点 向线段向线段 所在直线引垂线，正确的是（所在直线引垂线，正确的是（ ）.PAB A B C DC课堂练习：课堂练习： 2.

17、 过点过点P作线段或射线所在直线的垂线作线段或射线所在直线的垂线AB.P(1).O.P.A(2)3.过点过点P分别向角的两边作垂线分别向角的两边作垂线.P.P.P.P两条直线相交两条直线相交一般情况一般情况垂线垂线对顶角：相等对顶角：相等邻补角：互补邻补角：互补垂线的存在性垂线的存在性和唯一性和唯一性特殊情况特殊情况相交成直角相交成直角同位角内错角同旁内角如图：直线AB、CD相交于O，图中有哪些角具有特殊位置关系？这些角数量上有什么关系？如图：两条直线AB、CD都与第三条直线EF相交，构成几个小于平角的角？6758EF65781与5， 2与6，3与7， 4与8。1234同位角：FE3与5，4与

18、6内错角：65781234FE3与6，4与56534同旁内角：EF如图：找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。12345678123456781与5， 2与6，3与7， 4与8。同位角：123456783与5，4与6内错角：123456783与6，4与5.同旁内角：如图：找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。12341与3， 2与4。1234同位角：2与3。1234同旁内角：BACED32451如图：1与 是内错角 3 3BACED32451是直线 和 _ 被直线 所截而成的角。B BC CD DE EA AB BBACED324512与4是直线 和 被直线 所截而成的内错角BACED32

19、4512与 DAC是直线 和 被直线 所截成的 角。如图：直线DE、BC被直线AB所截。ABDCE2431ABDCE1与2， 1与3， 1与4是什么角？234ABDCE如果1=4， 那么1和2相等吗？ 1和3互补吗？为什么？321和2是内错角，BDCE2431A1和3是同旁内角.BDCE2431A1与4是同位角.BDCE2431A如图：AB、CD、EF均为直线，其中3=4 ，试用简单理由说明1=2 。1234FABCDE12DABCDABC12DABC1212EABCD如图：找出图中数字标注如图：找出图中数字标注的角的同位角的角的同位角，内错角内错角，同同旁内角。旁内角。1234561346请

20、举例请举例定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线“在同一平面内在同一平面内”有什么用处呢？有什么用处呢？不相交的直线就是平行线吗？不相交的直线就是平行线吗？ 平行记法、读法直线直线AB、CD互相平行，记作互相平行，记作“AB/CD”或或“CD/AB”，读作，读作“AB平行于平行于CD”， 或或“CD 平行平行于于AB” （如图）（如图）ABCD在同一平面内任意画两条不同的直线，在同一平面内任意画两条不同的直线，它们的位置关系只能有几种情况？它们的位置关系只能有几种情况？判断正误：判断正误： 两条不相交的直线叫做平行线。（ ） 在同一平面内，不相交的两条 直线一定平行。 （ ） 有且只有

21、一个公共点的两条直 线是相交直线 。 （ ） 选择：选择： 下列说法中正确的是（下列说法中正确的是（ ） A: 在同一平面内，两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系 有相交、垂直、平行三种有相交、垂直、平行三种 B：在同一平面内，不垂直的两直线必平行。：在同一平面内，不垂直的两直线必平行。 C：在同一平面内，不平行的两直线必垂直。：在同一平面内，不平行的两直线必垂直。 D：在同一平面内，不相交的两条直线一定：在同一平面内，不相交的两条直线一定 不垂直。不垂直。已知直线已知直线AB和和AB外一点外一点P，过点过点P画直线画直线CD,使使AB/CD.过直线外一点，可以做几条直线与已知直

22、线平行呢？已知直线AB,分别画直线CD、EF，使AB/CD,CD/EF.问题：直线能不能相交？如果两条直线都和第三条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行B做做一一做做PACD根据平行线的画法，过直线根据平行线的画法，过直线AB外一点外一点P画画a的平行线的平行线CD请同学们考虑，画平行线的过程，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？实际上是保证了什么？由此你得到了什么猜想？由此你得到了什么猜想？两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行那么这两条直线平行同位角相等，两直

23、线平行同位角相等，两直线平行12即：即： 1= 2a/b(同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行)123直线直线 a、b 被直线被直线 c 所截所截（1 1）如果）如果1= 21= 2，那么，那么a与与b 有什么样的位置关系？有什么样的位置关系？（3 3）22和和33是什么位置关系的一对角？是什么位置关系的一对角？（2 2）11与与33有什么关系？有什么关系？由此，你得到什么结论？由此，你得到什么结论？abc两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行那么这两条直线平行内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行练习练习1、如图：

24、、如图： 1=150 ，2=150 a/b 吗？吗？a b2、如图：、如图： DCA=149 ， 当当ABEABE= 时，就能使时，就能使 BE/CD。CDEABabcd1234如图如图,若若1=2,则则a_c,理由是理由是:_若若1=2, 1=3,则则b_d,理由是理由是:_同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行练一练练一练ADBEC1324 4、如图，若、如图，若1= 1= E，则，则 / ，理由是，理由是 。 做一做：做一做：1 1、如图，若、如图，若1= 1= E，则，则 / ，理由是，理由是 。3 3、若、若3= 3= A，则，则 / ，理由是，理由是 。2 2、若、若2= 2= D，则，则 / ，理由是，理由是 。判定定理：内错角相等，两直线平行判定定理：内错角相等，两直线平行判定公理：同位角相等，两直线平行判定公理：同位角相等，两直线平行猜想：交换它们的条件与结论