结构动力学单

1、 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健第第3 3章章 单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动3.1 3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动、刚度法、刚度法y(t)mk假定位移向右为正。假定位移向右为正。FSFIm式中式中FS为弹性恢复力：为弹性恢复力：FS=k11 y(t)FI为为 惯性力：惯性力：)(tymFI 由由达朗伯尔达朗伯尔原理：原理：)0( X0ISFF以隔离体的平衡条件来建立运动方程以隔离体的平衡条件来建立运动方程刚度法刚度法1 1、运动微分方程的建立、运动微分方程的建立kmy(t)

2、 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健由由0)()( tkytym 得得单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动设设km上面方程可写成上面方程可写成0)()(2 tyty 0ISFF 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健、柔度法、柔度法y(t)mkFI由由达朗伯尔达朗伯尔原理，质点原理，质点m在在t时刻的位移时刻的位移y(t)可以看成是可以看成是t时刻的惯性力引起的（瞬时）静位移，可将其写成：时刻的惯性力引起的（瞬时）静位移，可将其写成：)()()(1111tymtFtyI 1 为柔度系数，为柔度系数，110)()(11tytym 0

3、)(1)(11tytym 0)()(11tyktym （与刚度法的结果相同）（与刚度法的结果相同）按结构的位移条件来建立运动按结构的位移条件来建立运动方程方程柔度法。柔度法。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健2 2、运动微分方程的解、运动微分方程的解0)()(2 tyty 常系数线性齐次常微分方程常系数线性齐次常微分方程方程的通解可写成方程的通解可写成( )cossiny tBtCtB和C为由初始条件确定的常数当当t=0时时由初始条件：由初始条件：000)0()0()0(vvyyyy或；（初速度和初位移）（初速度和初位移）代入位移表达式，得：代入位移表达式，得

4、：00yByC； 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健tvtyty sincos)(00 则则自由振动由两部分组成：自由振动由两部分组成：一部分是由初始位移引起的，表现为余弦变化规律；一部分是由初始位移引起的，表现为余弦变化规律；一部分是由初始速度引起的，表现为正弦变化规律；一部分是由初始速度引起的，表现为正弦变化规律；两者之间相位差为直角，即后者落后于前者两者之间相位差为直角，即后者落后于前者900； 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健设设:2200020,;vyaytgy则位移则位移y(t)可写成可写成:)sin()( taty

5、a 质点的最大位移，称为质点的最大位移，称为振幅振幅。称为称为初相角初相角，表示质量开始运动时的状态，表示质量开始运动时的状态。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健可以看出，无阻尼单自由度体系自由振动是简谐振动，可以看出，无阻尼单自由度体系自由振动是简谐振动， 2 T 2秒内振动次数，称为秒内振动次数，称为圆频率圆频率，简称，简称为为频率频率；T 2 振动周期；振动周期；频率的单位为：频率的单位为：rad/s频率的计算：频率的计算：stgmggmmk111111111mgst假设沿假设沿y方向施加大小等于重量方向施加大小等于重量mg的的荷载时，引起的沿荷载时，引

6、起的沿y方向的静位移。方向的静位移。g 为重力加速度。为重力加速度。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健从运动微分方程的解可以看出，单自由度体系的自由振动完从运动微分方程的解可以看出，单自由度体系的自由振动完全取决于自振频率，两个具有相同自振频率的结构，振动效全取决于自振频率，两个具有相同自振频率的结构，振动效果是相同的。果是相同的。从自振频率的计算公式可以看出，结构的自振频率自与结构从自振频率的计算公式可以看出，结构的自振频率自与结构自身的质量和刚度有关，初始条件只影响振幅和初相位，不自身的质量和刚度有关，初始条件只影响振幅和初相位，不改变自振频率，因此，自振

7、频率是结构的固有特性，反映了改变自振频率，因此，自振频率是结构的固有特性，反映了结构的动力特性。结构的动力特性。自振频率与结构的质量成反比，与结构的刚度成正比。自振频率与结构的质量成反比，与结构的刚度成正比。随随st的增大而减小，若将质点置于结构上产生最大位的增大而减小，若将质点置于结构上产生最大位移处，可得到最低的自振频率和最大的自振周期。移处，可得到最低的自振频率和最大的自振周期。自振周期与结构的质量成正比，与结构的刚度成反比。自振周期与结构的质量成正比，与结构的刚度成反比。*单自由度体系的自由振动计算，单自由度体系的自由振动计算，主要就是计算自振频率或周期。主要就是计算自振频率或周期。

8、北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健轴向振动（纵向振动）轴向振动（纵向振动）当质量沿杆件轴向作振动时，称为轴向振动。当质量沿杆件轴向作振动时，称为轴向振动。11( )( )0mz tk z t2( )( )0z tz t11EAkl 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健扭转振动扭转振动质量圆盘绕杆轴的质量质量圆盘绕杆轴的质量惯性矩为惯性矩为J，单位扭转角，单位扭转角时所加的扭矩为时所加的扭矩为k，取，取圆盘为隔离体，由圆盘为隔离体，由 M=0，得得kJ( )( )0Jtkt2( )( )0tt 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力

9、学教研室结构力学教研室罗健例题例题l/2l/2EIm求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。mm3.2 3.2 频率计算举例频率计算举例 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题mll/2EI求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。mllEI2EI 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。EIEIl lmmEI1=l ll llEI=C刚度系数计算方法刚度系数计算方法 利用位移基本体系利用位移基本体系 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健 北京建

10、筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健3.3 3.3 有阻尼体系的自由振动有阻尼体系的自由振动 无

11、阻尼自由振动总是以动能和势能交换为特征，无阻尼自由振动总是以动能和势能交换为特征，没有考虑结构体系的能量耗散，即结构体系的振动过没有考虑结构体系的能量耗散，即结构体系的振动过程中总能量保持不变。程中总能量保持不变。 与能量大小有关的振幅始终保持不变，永不衰减。与能量大小有关的振幅始终保持不变，永不衰减。 但在实际中，任一振动过程随时间的推移，振幅总但在实际中，任一振动过程随时间的推移，振幅总是逐渐衰减额，最终消失。质量是逐渐衰减额，最终消失。质量m m静止在静力平衡位置静止在静力平衡位置这种振幅随时间而减少的振动称为阻尼振动。这种振幅随时间而减少的振动称为阻尼振动。 北京建筑工程学院北京建筑工

12、程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健1、考虑阻尼的运动微分方程、考虑阻尼的运动微分方程FSFImFD( )SFky t )(tymFI ( )DFcy t 由达朗伯尔原理由达朗伯尔原理0IDSFFF( )( )( )0my tcy tky t即即mk11y(t)kmy(t) 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健方程的解方程的解: 齐次方程齐次方程令令2km和和2cm2( )2( )( )0y ty ty t解的形式为解的形式为( )ty tCe代入上面方程，得关于代入上面方程，得关于的特征方程：的特征方程：2220其特征根为其特征根为21,2(1) 北京建筑工

13、程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健3.3.1 1 （大阻尼）情况：（大阻尼）情况：1212( )tty tC eC e此时体系不振动，仅是衰减运动。此时体系不振动，仅是衰减运动。3.3.3 =1（临界阻尼）情况：临界阻尼）情况：1，2为重根，方程的通解为为重根，方程的通解为12( )()ty teCC t体系不振动。体系不振动。相应相应c称为称为临界阻尼系数临界阻尼系数，记为，记为cr 。2rcm而而rcc 阻尼比。阻尼比。211 221 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健1 1 0 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学

14、教研室罗健、刚度法、刚度法1 1、运动、运动微分方程微分方程的建立的建立由由达朗伯尔达朗伯尔原理：原理：( )0ISPFFF t( )( )( )Pmy tky tF t2( )( )( )PF ty ty tm3.4 3.4 无阻尼体系的强迫振动无阻尼体系的强迫振动结构在振动过程中不断受到外部干扰力的作用，称为强迫振动。结构在振动过程中不断受到外部干扰力的作用，称为强迫振动。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健、柔度法、柔度法y(t)mkI( )( )( )( )( )IPPy tF tF tmy tF t ( )( )( )Pmy ty tF t1( )(

15、)( )Pmy ty tF t( )( )( )Pmy tky tF t（与刚度法的结果相同）（与刚度法的结果相同）P(t)P(t)2( )( )( )PF ty ty tm 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健0( )sinPF tFt20( )( )sinFy ty ttm方程的解为齐次解与特解的和方程的解为齐次解与特解的和( )( )( )CPy tytyt齐次解齐次解yP(t)即为自由振动解，前面已经讨论过。即为自由振动解，前面已经讨论过。设特解设特解( )sinPytAt代入方程，得代入方程，得220sinsinsinFAtAttm3.4.1 3.4.1

16、 简谐荷载下的强迫振动（零初始条件）简谐荷载下的强迫振动（零初始条件）( )sin()Cytat 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健022()FAm得得022( )sin()PFyttm则方程的通解为：则方程的通解为：0022( )( )( )sinsin()()PFy tyty ttatm特解特解第一项为纯强迫振动，第二项为伴随着强迫振动的自由振动，第一项为纯强迫振动，第二项为伴随着强迫振动的自由振动，称为伴生自由振动。随时间的进程，自由振动部分将衰减，最称为伴生自由振动。随时间的进程，自由振动部分将衰减，最后只剩下后只剩下纯强迫振动纯强迫振动，称为，称为稳态

17、振动稳态振动。两部分同时存在的振动阶段为两部分同时存在的振动阶段为过度阶段过度阶段，只有纯强迫振动部分，只有纯强迫振动部分的振动阶段为的振动阶段为平稳阶段平稳阶段。此时此时0022222( )sinsin()(1)FFy tttmm 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健由由21kmm则有则有yst为为F0引起的静位移，得引起的静位移，得22( )sin1styy tt令令称为位移动力系数称为位移动力系数振动的最大动位移与振动的最大动位移与F0引起的静位移的比引起的静位移的比得得21m002stFFymmax2211styy用用ymax表示表示y(t)的最大值，即最

18、大动位移，或振幅，则的最大值，即最大动位移，或振幅，则2211则则maxstyyA 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健 为动力系数，与频率比为动力系数，与频率比/有关，其大小反应了干扰力的结构有关，其大小反应了干扰力的结构的动力作用。若求出的动力作用。若求出值，就可求得纯强迫振动的位移幅值。值，就可求得纯强迫振动的位移幅值。下面图形表示下面图形表示 与与/的关系。的关系。2211 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健无阻尼纯强迫振动的规律：无阻尼纯强迫振动的规律：(1)(1)当当时，动力系数时，动力系数0 0，这表明干扰力频率很高时

19、，这表明干扰力频率很高时，最大动位移最大动位移ymax0 0，结构趋于静止状态，质量，结构趋于静止状态，质量m只在静力平衡只在静力平衡位置做微小振动。位置做微小振动。(3)(3)当当时，时，表明当干扰力频率与结构自振频率，表明当干扰力频率与结构自振频率相重合时，位移和内力将无限增加，这种现象称为相重合时，位移和内力将无限增加，这种现象称为。设计中应避免设计中应避免。通常称通常称0.751.25区间为共振区，区间为共振区，可调整可调整或或避开共振区。避开共振区。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健【例【例3.6】图示梁，跨度为】图示梁，跨度为4m，惯性矩，惯性矩I

20、=8.810-5m4，弹性，弹性模量模量E=210GPa。在跨中安置电动机，重量。在跨中安置电动机，重量G=35kN，转速，转速n=500r/min，由于偏心，电动机在转动过程中产生了离心力，由于偏心，电动机在转动过程中产生了离心力，其幅值为其幅值为F0=10kN，则离心力的竖向分量为，则离心力的竖向分量为F0sin t。若忽略。若忽略梁的自重和阻尼，求梁的最大弯矩和挠度。梁的自重和阻尼，求梁的最大弯矩和挠度。解：解：单位力作用于跨中时，引起的中电位移为单位力作用于跨中时，引起的中电位移为348lEI 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健干扰力频率：干扰力频率：2

21、2 3.14 50052.336060nrad s则则222738.78rads自振频率自振频率8254222233148 2.1 108.8 109.83880.8354kN mmm sradsmkNm动力系数动力系数 2213.41最大弯矩最大弯矩 max3541043.46944WFstkNmkNmMMMkNm最大挠度最大挠度 330max4.984848FststF lWlymm 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健由上面例题得到下面结论：由上面例题得到下面结论：(1) 对单自由度结构体系，当材料处于弹性阶段，位移和内对单自由度结构体系，当材料处于弹性阶段

22、，位移和内力之间存在着不变的线性关系，因此，当干扰力与惯性力力之间存在着不变的线性关系，因此，当干扰力与惯性力作用点重合时，位移动力系数和内力动力系数相同，此时作用点重合时，位移动力系数和内力动力系数相同，此时不作区分，统称为动力系数。不作区分，统称为动力系数。(2) 对于振动问题，有时加大结构构件的截面尺寸反而对其对于振动问题，有时加大结构构件的截面尺寸反而对其动力系数产生不利的影响。动力系数产生不利的影响。 对于多自由度体系，位移和各内力之间不存在这样不对于多自由度体系，位移和各内力之间不存在这样不变的线性关系，所以位移和内力各自的放大系数不相等。变的线性关系，所以位移和内力各自的放大系数

23、不相等。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健3.4.2 3.4.2 列幅值方程求位移、内力幅值列幅值方程求位移、内力幅值 当干扰力为简谐荷载当干扰力为简谐荷载F0sin t t时，仅考虑稳态振动时，时，仅考虑稳态振动时，位移、加速度和惯性力的变化规律为：位移、加速度和惯性力的变化规律为：( )siny tAtmax()stAyy2( )siny tAt 22( )( )sin( )IF tmy tmAtmy t 0( )sinPF tFt 由上可知，惯性力与位移同向，惯性力、干扰力和位移由上可知，惯性力与位移同向，惯性力、干扰力和位移都按都按sin t变化，将同

24、时达到最大值。变化，将同时达到最大值。 将惯性力幅值，干扰力幅值同时作用在结构上，用静力将惯性力幅值，干扰力幅值同时作用在结构上，用静力学方法，就可求得动内力幅值学方法，就可求得动内力幅值。结论：只要体系是简谐运动，则位移、惯性力同时达到幅值。结论：只要体系是简谐运动，则位移、惯性力同时达到幅值。对多自由度体系，结论也成立。对多自由度体系，结论也成立。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健幅值法求解问题的步骤：幅值法求解问题的步骤：(1) 画出幅值图（指定质点处最大位移为画出幅值图（指定质点处最大位移为A）和方向的变形图。）和方向的变形图。(2) 求动荷载幅值求动

25、荷载幅值F0所引起的静位移所引起的静位移yst。(3) 求出动力系数求出动力系数 ，并计算，并计算A= yst。(4) 计算惯性力幅值计算惯性力幅值m 2A。(5) 将动荷载幅值和惯性力同时加在结构上，求得内力幅值图。将动荷载幅值和惯性力同时加在结构上，求得内力幅值图。【例【例3.7】简支梁跨中有集中质量】简支梁跨中有集中质量m，在截面，在截面2处作用动力矩处作用动力矩Msin t，不计梁，不计梁自重，求跨中最大竖向动位移和截面自重，求跨中最大竖向动位移和截面3处的转角幅值。处的转角幅值。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健荷载幅值荷载幅值M和惯性力幅值和惯性力

26、幅值m 2A同时同时作用下产生的振幅作用下产生的振幅A（如右图）为（如右图）为2324816mAlMlAEIEI4214816MlAEI2 34mlEI24116148stMlAyEI411482 2244411384616161486148MlmlMlMlEIEIEIEI括号内数值为括号内数值为 的动力系数，与跨中位移的动力系数不同。的动力系数，与跨中位移的动力系数不同。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健例题例题试列出下面结构当干扰力不直接作用于质点试列出下面结构当干扰力不直接作用于质点上时的运动微分方程。上时的运动微分方程。作业：试用刚度作业：试用刚度法来

27、列出运动微法来列出运动微分方程。分方程。由柔度法列方程由柔度法列方程 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健3.5 3.5 有阻尼体系的强迫振动有阻尼体系的强迫振动y(t)mkF(t)FSFImF(t)FD运动微分方程：运动微分方程：( )0IDSPFFFF t( )( )( )( )Pmy tcy tky tF t2( )( )2( )( )PF ty ty ty tm 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健201( )2( )( )siny ty ty tFtm对简谐荷载对简谐荷载FP(t)=F0 sin t，则运动方程为则运动方程为

28、方程通解可写成：方程通解可写成：( )( )( )cPy ty tytyc为齐次解为齐次解 自由振动解：自由振动解：( )sin()tcddy taet为特解，设为特解，设( )Pyt12( )sincosPytCtCt 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健代入方程，求得代入方程，求得2201222222()()4FCm 022222222()4FCm 220222222( )sin()()sin2cos()4tddy taetFttm 于是于是00022220222222220222222( )cossin2()2cossin()4()sin2cos()4tdd

29、dtdddvyy teyttFettmFttm 考虑初始条件考虑初始条件 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健2、与初始条件无关而伴随、与初始条件无关而伴随P干扰力发生的振动；干扰力发生的振动；1、初始条件引起的自由振动；、初始条件引起的自由振动；两者振动频率为两者振动频率为d，振幅按，振幅按te 衰减。衰减。3、纯强迫振动，振动频率为、纯强迫振动，振动频率为 ，振幅不衰减，振幅不衰减通常，设计中只考虑纯强迫振动。通常，设计中只考虑纯强迫振动。220222222( )( )()sin2cos()4PFy tytttm 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研

30、室结构力学教研室罗健( )sin()y tAt整理，得整理，得其中振幅其中振幅02222221()4FAm 位移与荷载位移与荷载之间相位差之间相位差222arctan0222222214(1)stFAym 而由而由2222222222114(1)4(1) 得动力系数得动力系数其中其中为频率比。为频率比。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健3.5.1 3.5.1 有阻尼体系的动力系数的特点有阻尼体系的动力系数的特点动力系数不仅与频率比动力系数不仅与频率比 有关，同时与阻尼比有关，同时与阻尼比 有关，如图有关，如图(1) 随随 增加，特别在增加，特别在 1附近，附近

31、， 的峰值下降显著，在的峰值下降显著，在0.75 1.25区间（共振区），阻尼影响较大，区间（共振区），阻尼影响较大，计算时需考虑阻尼的影响。计算时需考虑阻尼的影响。(2) 1时，时， 为有限值为有限值112(3) 的最大值不发生在的最大值不发生在 1处，处，212max121 221峰由0，求得当时，响应峰值发生在频率比为处， 得 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健3.5.2 3.5.2 相位角与阻尼和频率的关系相位角与阻尼和频率的关系 初相位角初相位角 随随 增加而增加，增加而增加，当当 从

32、从01时，时， 从从0/2；当；当 从从1时，时， 从从 /2；当；当 1时，时，不管阻尼不管阻尼 的值为多少，初相位总的值为多少，初相位总是是 /2。在动荷载作用下，有阻尼体系的动在动荷载作用下，有阻尼体系的动力响应（位移、速度、加速度）滞力响应（位移、速度、加速度）滞后动力荷载一段时间，即响应滞后。后动力荷载一段时间，即响应滞后。这个滞后的时间由相位这个滞后的时间由相位 反映，如反映，如果滞后时间为果滞后时间为t0，则，则 t0。有阻尼的强迫振动中，位移要比荷载有阻尼的强迫振动中，位移要比荷载落后一个相位差落后一个相位差 ，而无阻尼的强迫，而无阻尼的强迫振动中，位移与荷载是同步的（或相振动

33、中，位移与荷载是同步的（或相反），这是有无阻尼的重要差别。反），这是有无阻尼的重要差别。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健纯强迫振动的特点：纯强迫振动的特点：(1)(1)当当时，动力系数接近时，动力系数接近0 0，此时结构在平衡位置附，此时结构在平衡位置附近做振幅很小的快速振动。此时，结构振动很快，惯性力很大，近做振幅很小的快速振动。此时，结构振动很快，惯性力很大，动荷载主要由惯性力平衡。动荷载主要由惯性力平衡。(3)(3)当当接近接近时，时， 增加很快增加很快，90900 0，荷载主要由阻尼力平，荷载主要由阻尼力平衡。此时也称为衡。此时也称为。设计中应避免设

34、计中应避免。通常称通常称0.751.25区间为共振区，区间为共振区，可调整可调整或或避开共振区。避开共振区。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健3.6 在任意动力荷载下的强迫振动在任意动力荷载下的强迫振动1、瞬时冲量引起的振动、瞬时冲量引起的振动瞬时荷载形成的冲量为瞬时荷载形成的冲量为dS=FPdt，在时，在时间间dt内，动量的变化等于冲量。设体系内，动量的变化等于冲量。设体系初始处于静止，则初始处于静止，则PmdvF dtPFdvdtmdv为冲量引起的速度增量。为冲量引起的速度增量。此后体系以初速度为此后体系以初速度为dv，初位移为零，初位移为零做自由振动，做

35、自由振动，( )sinPF dtdy ttm 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健2、t= 时刻的时刻的瞬时冲量引起的振动瞬时冲量引起的振动在冲量结束后在冲量结束后任意时刻任意时刻t，即，即t ，体系自，体系自由振动，位移为由振动，位移为( )( )sin()PFdtdy ttm3、一般荷载引起的振动、一般荷载引起的振动01( )( )sin()tPy tFtdtm称为杜哈梅积分。称为杜哈梅积分。是运动方程的特解。是运动方程的特解。 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健当初始位移当初始位移y0和初始速度和初始速度v0不为零时，位移相应

36、为不为零时，位移相应为0001( )cossin( )sin()tPvy tyttFtdtm考虑阻尼影响时，考虑阻尼影响时，()01( )sin()( )sin()tttddPddy taetFetdtm()01( )( )sin()ttPddy tFetdtm【例【例3.8】 分析单自由度体系在初始时刻突加荷载作用下的位移反应。分析单自由度体系在初始时刻突加荷载作用下的位移反应。()00( )sin()ttddFy tetdtm运用分部积分，得运用分部积分，得2( )1cos()1tstdey ty 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健式中式中2arctan12

37、( )1cos()1tstdey ty最大位移为最大位移为 21max1styye括号内为动力系数括号内为动力系数 。阻尼为零时，即阻尼为零时，即 0，动力系数为，动力系数为2 北京建筑工程学院北京建筑工程学院 结构力学教研室结构力学教研室罗健用复变函数表达振动解答用复变函数表达振动解答无阻尼自由振动无阻尼自由振动0)()(2 tyty 解答可以写成解答可以写成( )exp()y tGt其中其中G为任意复常数，为任意复常数，exp( )xxe代入方程，得代入方程，得20特征方程特征方程解得解得1,2i 由叠加原理，得方程解为由叠加原理，得方程解为12( )exp()exp()y tGi tGi t其中其中G1、 G2为任意复常数，由初始条件来确定。为任意复常数，由初始条件来确定。设设111RIGGiG222RIGGiG由由Euler变换变换exp()cossinexp()cossiniiii1cosexp()exp()21sinexp()exp