第六章_参数估计

1、第六章第六章 参数估计参数估计1本章主要内容：本章主要内容：第一节第一节 点估计点估计第二节第二节 区间估计区间估计第三节第三节 样本容量的确定样本容量的确定2第一节第一节 点估计点估计一、点估计的定义一、点估计的定义点估计就是根据总体参数与样本统计量点估计就是根据总体参数与样本统计量之间的内在联系，直接之间的内在联系，直接以样本统计量作以样本统计量作为相应总体参数的估计量为相应总体参数的估计量，点估计又称，点估计又称为为定值定值估计。估计。在统计中经常使用的点估计量有：在统计中经常使用的点估计量有：1222nXXSPX等号等号 表示用样本统计量对表示用样本统计量对应总体应总体参数估计量参数估

2、计量例例6-1点估计的点估计的优点优点直接给出总体参数的估直接给出总体参数的估计值计值不足不足：不能提供估计误差的信息：不能提供估计误差的信息因此，需要对用于点估计总体参数的因此，需要对用于点估计总体参数的样样本统计量本统计量进行评价进行评价5点估计的评价标准点估计的评价标准无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性无偏性无偏性(unbiasedness)无偏性：总体参数估计量的抽样分布均值等于被无偏性：总体参数估计量的抽样分布均值等于被估计的总体参数估计的总体参数 ( )E的样本统计量。是估计是总体参数，若7证明证明:样本方差样本方差S2是总体方差是总体方差2的无偏估计量的无偏估计量,即即E(S2

3、)= 2证证：其中其中：2222211()() ()() 111()()2()()1iiiiE SExxExxnnExxxxn22()()2()()2() ()2 ()iixxxxxn xn x 例例8这就是为什么对总体方差进行估计时，样本方差这就是为什么对总体方差进行估计时，样本方差公式所除的不是样本量公式所除的不是样本量n，而是，而是n-1的原因。的原因。2222222222221()()()2() 11()2() 111() 11iE SE xE xnE xnnnE xnE xnnnE xnnn有效性有效性(efficiency)有效性：对于两个无偏估计量有效性：对于两个无偏估计量 如果

4、如果则说明估计量则说明估计量22Xxin 任意的方差21、更有效比21)()(2212一致性一致性(consistency)一致性：一致性：随着样本容量的增大，估计量随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数的值越来越接近被估计的总体参数lim1np大数定理大数定理由大数定理我们知道，样本容量越大，由大数定理我们知道，样本容量越大，该样本中获得的该样本中获得的样本平均数样本平均数更容易符合更容易符合无偏、有效且一致的要求；无偏、有效且一致的要求；因为成数是一个特殊的平均数，该结论因为成数是一个特殊的平均数，该结论对成数估计也成立。对成数估计也成立。第二节第二节 区间估计区间估计一

5、、区间估计的含义一、区间估计的含义区间估计，是估计总体参数的区间范围，并要区间估计，是估计总体参数的区间范围，并要求给出区间估计成立的概率值。求给出区间估计成立的概率值。设设 和和 都是两个统计量都是两个统计量 （ ），分），分别作为总体参数别作为总体参数 区间估计的下限与上限，区间估计的下限与上限，则要求：则要求：区间估计弥补了点估计只给出总体参数的具体估计区间估计弥补了点估计只给出总体参数的具体估计值而没有说明这个估计值的误差、可靠性的不足值而没有说明这个估计值的误差、可靠性的不足12211)(21P区间估计中的区间估计中的(05，属于大样本场合，这，属于大样本场合，这时候，临界值可查标准

6、正态分布表得到。时候，临界值可查标准正态分布表得到。查标准正态分布表得：查标准正态分布表得：0.0521.645zz解：解：n=400，N=5 000，样本废品率，样本废品率P=32/400=8%。置信度置信度1-=90%，=10%，/2=5%。50因此，这批产品废品率的区间估计是：因此，这批产品废品率的区间估计是：021. 008. 010005400000540008. 0108. 0645. 108. 0112NnNnPPzP即这批产品的废品率在即这批产品的废品率在5.9%与与10.1%之间。之间。51四、样本容量的确定四、样本容量的确定xz极限误差、概率度与抽样平均误差三者间的数极限误

7、差、概率度与抽样平均误差三者间的数量关系是：量关系是：当抽样平均误差保持不变时，极限误差与概率当抽样平均误差保持不变时，极限误差与概率度两者间关系是：度两者间关系是：减小（提高精度），减小（提高精度），Z（概率（概率度）度）也减小了。也减小了。52因此，抽样估计的精度与可靠性之间存在矛盾：因此，抽样估计的精度与可靠性之间存在矛盾：（1）要提高精度）要提高精度(减小减小)，需以牺牲概率度，需以牺牲概率度(Z减小减小)为代价；（为代价；（2）要提高概率度）要提高概率度(Z增大增大)，又要以牺牲估，又要以牺牲估计精度计精度(增大增大)为代价。为代价。在在 不变的情况下，这对矛盾是不可调和的。不变的情

8、况下，这对矛盾是不可调和的。x5354(一一)估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定55某企业想估计其职工上个月上下班花在某企业想估计其职工上个月上下班花在路途上的平均时间。经验表明，总体标准差为路途上的平均时间。经验表明，总体标准差为4.3分钟。以置信度分钟。以置信度95%的置信区间进行估计，并使的置信区间进行估计，并使估计值处在真正平均值附近估计值处在真正平均值附近1分钟的误差范围之内。分钟的误差范围之内。该企业应抽取多大的样本？该企业应抽取多大的样本？解：已知解：已知1,96. 1,05. 0, 3 . 42/Z7203.7113 . 496. 12222222/Zn该

9、企业至少应该抽取72名职工作为样本。例例5657(二二)估计成数时样本容量的确定估计成数时样本容量的确定58(三三)使用上述公式应注意的问题使用上述公式应注意的问题1.计算样本容量时，计算样本容量时，一般总体的方差与成数都是未一般总体的方差与成数都是未知的，可用有关资料替代知的，可用有关资料替代：n一是用历史资料已有的方差与成数代替；一是用历史资料已有的方差与成数代替；n二是在进行正式抽样调查前进行几次试验性调查，二是在进行正式抽样调查前进行几次试验性调查，用试验中方差的最大值代替总体方差；用试验中方差的最大值代替总体方差；n三是成数方差在完全缺乏资料的情况下，就用成三是成数方差在完全缺乏资料

10、的情况下，就用成数方差的最大值数方差的最大值0.25代替。代替。592.如果进行一次抽样调查，同时估计总体均值如果进行一次抽样调查，同时估计总体均值与成数，用上面的公式同时计算出两个样本容与成数，用上面的公式同时计算出两个样本容量，应取其中最大的结果，同时满足两方面的量，应取其中最大的结果，同时满足两方面的需要。需要。3.上面的公式计算结果如果带小数，这时样本上面的公式计算结果如果带小数，这时样本容量不按四舍五入法则取整数，而是取比这容量不按四舍五入法则取整数，而是取比这个个数大数大的最小整数代替。例如计算得到：的最小整数代替。例如计算得到：nn =56.3，那么，样本容量取，那么，样本容量取

11、57，而不是，而不是56。对企业产品合格率进行抽样调对企业产品合格率进行抽样调查，根据历史上进行的二次调查资料，查，根据历史上进行的二次调查资料，合格率分别是合格率分别是15%和和13%，这次调查，这次调查要求误差不超过要求误差不超过5%，概率保证程度为，概率保证程度为95%，问至少要抽出多少产品作为样本，问至少要抽出多少产品作为样本？6061例例对某型号电池进行电流强度检验，对某型号电池进行电流强度检验，根据以往正常生产的经验数据，已知电流强度根据以往正常生产的经验数据，已知电流强度的标准差的标准差=0.4安培，合格率安培，合格率P=90%。采用。采用随机重复抽样方式，需要在随机重复抽样方式，需要在99.73%的概率保的概率保证下，抽样平均电流的误差范围不超过证下，抽样平均电流的误差范围不超过0.08安安培，抽样合格率误差范围不超过培，抽样合格率误差范围不超过5%，试求必，试求必要的抽样单位数。要的抽样单位数。62解：已知，解：已知，1-=99.73%， ，