高数第一章第二节

1、第二节第二节 数列的极限数列的极限一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质五、小结五、小结 思考题思考题1上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、概念的引入一、概念的引入2单击任意点开始观察单击任意点开始观察1. . 割圆术割圆术观察完毕观察完毕“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽【引例引例】上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正

2、正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 42. .【截丈问题截丈问题】“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前公元前300300年左右，中国年左右，中国古代思想家墨子语：古代思想家墨子语：;21 1 X第第一一天天截截下下的的杖杖长长为为;2121 22 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、数列的定义二、数列的定义5【例如例如】;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,

3、21n2n21n上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6【注意注意】1. .数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2. .数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 三、数列的极限三、数列的极限7单击任意点开始观察单击任意点开始观察.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn观察结束观察结束上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8. 1)1(1

4、,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 【问题问题】 “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么? ?如何用数学语言如何用数学语言刻划它，刻划它，描述它描述它。通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :无限接近无限接近要多接近就有多接近要多接近就有多接近可任意接近可任意接近“绝对值任意小”“绝对值任意小”.1可任意小可任意小即即 nx【直观定义直观定义】当当n无限增大时，无限增大时，xn 无限接近于一个确无限接近于一个确定的常数定的常数 a，称，称a是数列是数列 xn 的的极限极限.“距离任意距离任意 小小”上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9,1001给定给定

5、,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn. 1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10【发散发散】如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数a, 就说就说数列没有数列没有 极限极限, ,或者说数列是或者说数列是发散发散的的. .1. . 精确定义精确定义设设xn为一数列为一数列, , 若存在常数若存在常数 a, , 对任给定的正数对任给

6、定的正数( (不论它多么小不论它多么小),), 总存在正数总存在正数 N, , 使得当使得当n N 时，不等式时，不等式 | xn -a |N时，有无穷多个点落在时，有无穷多个点落在(a-,a+)内内”是是等价解释等价解释，正确吗？，正确吗？上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质1. .唯一性唯一性【定理定理1】每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .132. .有界性有界性【例如例如】;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列【几几何何表表现现】 数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点 nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上

7、. . 有界有界无界无界(1)(1)【定义定义】 .|有界，否则称为无界有界，否则称为无界成立，则称数列成立，则称数列，恒有，恒有一切一切，使得对于，使得对于，若存在正数，若存在正数对数列对数列nnnnxMxxMx 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)【定理定理2】收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .【注意注意】逆否命题必成立：逆否命题必成立：无界列必定发散无界列必定发散. .逆命题不成立；逆命题不成立；有界列不一定收敛有界列不一定收敛. .数列有界是收敛的数列有界是收敛的必要条件必要条件. .nnx)1( 如如3. .保号性保号性【定理定理3 】 0 N则存在正整数则存在正整

8、数时时当当 Nn )0 ( 0 nnxx或或都有都有)0 ( 0 , lim aaaxnn或或且且如果如果【推论推论】)0(0 nnnxxx或或从某项起有从某项起有如果数列如果数列, lim axnn 且且)0(0 aa或或则则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 154. .【子数列的收敛性子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系收敛列与其子列的关系）,21nixxxx,21knnnxxx. knnxxkxxkknnnnkkk 显显然然项项中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项，是是第第中中，一一般般项项在在子子数数列列【注意注意】例如例如（1）【定义定义】 的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并在在数数列列nnnxxx 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16（2）【* *定理定理4】收敛数列的任一子数列也收敛收敛数列的任一子数列也收敛 且极限相同且极限相