第03章电阻电路的一般分析(丘关源)

1、第三章第三章电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析重点重点:1.支路电流法支路电流法2.回路电流法回路电流法(或网孔电流法或网孔电流法)3.节点电压法节点电压法（1-2） 对于简单电路，通过电阻串、并联关系或对于简单电路，通过电阻串、并联关系或Y等效变换关系即可求解。如：等效变换关系即可求解。如：E+-2RE+-R2RRR2R2R2RI=?I总总I总总REI2 总总总总总总III81212121 （1-3） 对于复杂电路仅通过串、并联无法求解，必须经对于复杂电路仅通过串、并联无法求解，必须经过一定的解题方法，才能算出结果。过一定的解题方法，才能算出结果。 如：如： E4-I4+_E3+R3R6R

2、4R5R1R2I2I5I6I1I3+_E2（1-4）本章本章“线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法”具有：具有：(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。普遍性：对任何线性电路都适用。(2) 系统性：计算方法有规律可循。系统性：计算方法有规律可循。“线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法”的基础？的基础？(1) KCL，KVL定律。定律。(2)元件的电压、电流关系特性元件的电压、电流关系特性(VCR)。“线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法”的内容和目的的内容和目的 根据根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、及元件电压和电流关系列方程、解方程。解方程。“线性电路的一般

3、分析方法线性电路的一般分析方法”的种类的种类 根据列方程时所选变量的不同可分为：支路电流根据列方程时所选变量的不同可分为：支路电流法、回路电流法、节点电压法等。法、回路电流法、节点电压法等。（1-5）3.1 电路的图电路的图一、电路的图一、电路的图一个元件作一个元件作为一条支路为一条支路若抛开元件性质，则：若抛开元件性质，则：85 bn 64 bn 65432178543216有向图有向图元件串并联组元件串并联组合成一条支路合成一条支路支路方向支路方向(电压电电压电流的关联方向流的关联方向)R4R1R3R2R6uS6+_iR5（1-6）二、二、图的定义图的定义(Graph，简称简称G)图图G是

4、一个结点和支路的集合，每条支路的两端是一个结点和支路的集合，每条支路的两端连在相应的结点上。连在相应的结点上。注意：注意：a. 图中的结点和支路各自是一个整体。图中的结点和支路各自是一个整体。b. 移去图中的任一条支路，与它所联接的结点依然存移去图中的任一条支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。在，因此允许有孤立结点存在。c. 如把某个结点移去，则与该结点联接的全部支路同如把某个结点移去，则与该结点联接的全部支路同时移去。时移去。结论：结论：n个结点的电路个结点的电路, 独立的独立的KCL方程为方程为n- -1个。个。3.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数一、一、

5、KCL的独立方程数的独立方程数在在KCL方程组中，方程组中，若某个若某个方程中含有新的、从未方程中含有新的、从未在其它的方程中出现过电流变量，则该方程就是独立在其它的方程中出现过电流变量，则该方程就是独立KCL方程。方程。：i1 i4 i6 0： i1 i2 i30：i2 i5 i60： i3 i4 i5 0其中：其中： 0654321或：上面任意三个方程相加减或：上面任意三个方程相加减第四个方程。说明有第四个方程。说明有一个方程重复，因此一个方程重复，因此KCL独立方程有三个。独立方程有三个。（1-8）二、二、 KVL的独立方程数的独立方程数1、 名词解析名词解析(1) 路径路径从一个节点到

6、达另一节点所经过的支路。从一个节点到达另一节点所经过的支路。(2)连通图连通图任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。连通图至少存在两个分离部分。例如：例如：非连通非连通图图加此路径后加此路径后为连通图为连通图（1-9）(3)回路回路 (Loop) 由支路构成的闭合路径。确切说：一条路径的起由支路构成的闭合路径。确切说：一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相异，则这条闭合路点和终点重合，且经过的结点都相异，则这条闭合路径就构成回路。径就构成回路。12345678253124578128457不不是回路是回路235是回路

7、是回路共有几共有几个回路个回路？答：答：13个回路。个回路。（1-10）(4)树树 T(Tree，简称，简称T)树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连通图。通图。注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径不是树不是树树树树支树支( bt )：构成树的支路。：构成树的支路。连支连支( bl )：树支以外的支路。：树支以外的支路。12345678注意：注意：1）对应一个图有很多的树。）对应一个图有很多的树。2）树支的数目是一定的，比结点少一个。）树支的数目是一定的，比结点少一个。树支数：树支数： btn1连支数：连支数

8、： bl b bt b (n1)树树25782578是树支是树支1346是连支是连支b是图是图G中所中所有的支路数有的支路数(5)基本回路基本回路(单连支回路单连支回路) l在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组成的回路。成的回路。12345678树树2578注意：注意： 1)任一个图可能有很多的回路。但基本回路的数目是任一个图可能有很多的回路。但基本回路的数目是一定的，为连支数。一定的，为连支数。2)对于平面电路，网孔数对于平面电路，网孔数m =基本回路数基本回路数l 。基本回路数目：基本回路数目：l bl b (n1)基本回路基本回路3基本回路

9、基本回路(单连支回路单连支回路)举例：举例：12345651231236结论：结论：(1)基本回路具有独占的一条连枝的特点。基本回路具有独占的一条连枝的特点。(2)支路数树枝数连支数支路数树枝数连支数 结点数结点数1基本回路数基本回路数bn1l 结点、支路和基本回路关系结点、支路和基本回路关系（1-14）87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。应的基本回路。876586438243例例1(6)割集割集Q (Cut set )割集具有下述性质：割集具有下述性质：(1)把割集把割集Q中全部支路移去，电路图分成二个分离部分。中全部支路

10、移去，电路图分成二个分离部分。(2)任意放回割集任意放回割集Q 中一条支路，电路图仍构成连通图。中一条支路，电路图仍构成连通图。876543219876543219基本割集：只含有一个树枝的割集。基本割集：只含有一个树枝的割集。割集：割集：(1 9 6)、(2 8 9)、(3 6 8)、(4 6 7)、(5 7 8)(3 6 5 8 7)、(3 6 2 8)是割集吗？是割集吗？不是。不是。图变成三部分图变成三部分 割集数割集数= =bt = =n1连支集合不能构成割集连支集合不能构成割集2、独立回路、独立回路 以及独立回路数目的确定以及独立回路数目的确定 在在KVL方程组中，方程组中，若某个若

11、某个方程的方程的回路回路中含有新的、中含有新的、从未在其它方程中出现过的支路，则该方程就是独立从未在其它方程中出现过的支路，则该方程就是独立KVL方程，该回路就是独立回路方程，该回路就是独立回路 。 12345678如图中，如图中，(127) (235) (1357) 都是回路，都是回路，但有一个回路不是独立的。但有一个回路不是独立的。因为将因为将(127) 与与(235) 的的KVL方程相加方程相加或相减，即可得出或相减，即可得出(1357)的的KVL方程。方程。如何确定独立回路数呢？如何确定独立回路数呢？从前面的分析中可见：从前面的分析中可见：基本回路符合基本回路符合独立回路的特点，即：独

12、立回路的特点，即：独立回路数独立回路数基本回路数基本回路数（1-17）3、 KVL的独立方程数的独立方程数KVL的独立方程数基本回路数的独立方程数基本回路数b(n1)结论：结论： n个结点、个结点、b条支路的电路中，独立的条支路的电路中，独立的KCL数目为数目为(n1)，独立的独立的KVL数目为数目为b(n1)，则，则 独立的独立的KCL和和KVL方程总数为：方程总数为：(n1) b(n1) b 对于有对于有n个节点、个节点、b条支路的电路，若需要求解各支条支路的电路，若需要求解各支路电流路电流未知量共有未知量共有b个。只要列出个。只要列出b个独立的电路个独立的电路方程，便可以求出这方程，便可

13、以求出这b个变量。个变量。（1-18）3.3 支路电流法支路电流法一、支路电流法一、支路电流法以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。方法。 未知数：未知数：各支路电流。各支路电流。解题思路：解题思路：根据克氏定律，列出独立节点电流和回路根据克氏定律，列出独立节点电流和回路电压方程，然后联立求解。电压方程，然后联立求解。（1-19）例例1I2I5I6I1I4I32.列电流方程列电流方程 若电路中有若电路中有n个节点个节点, 则则可选定可选定(n1)个节点个节点, 列出列出(n1)个个KCL独立方程。独立方程。 本电路节点数本电路节点数 n=4，

14、只，只能列能列3个个KCL方程。方程。二、支路电流法解题步骤二、支路电流法解题步骤1. 标定各支路电流标定各支路电流(电压电压)及其及其参考方向；设网孔绕行方向。参考方向；设网孔绕行方向。U4U3-+R3R6R4R5R1R2+_节点节点a：I3 + I4 = = I1节点节点c： I2 = = I5 + I3节点节点b： I1 + I6 = = I2bacd（1-20）bacdU4U3-+R3R6R4R5R1R2I2I5I6I1I4I3+_3. 列电压方程列电压方程 选定选定b(n1)个独立回路，个独立回路，列写其列写其KVL方程。方程。 平面图中若有平面图中若有m个网孔个网孔,则可按网孔列出

15、则可按网孔列出m个个KVL独独立方程。立方程。 本电路有本电路有3个网孔，可列个网孔，可列出出3个个KVL方程。方程。abda：I4 R4 + I1 R1 I6 R6 - - U4 = =0bcda：I2 R2 + I5 R5 + I6 R6 = =0 adca： I4 R4 I5 R5 + I3 R3 U3 + U4 = =0（1-21）4. 联立方程组，联立方程组，求解得到求解得到b个支路电流；个支路电流；进行其它分析进行其它分析与计算。与计算。 上述电压、电流方程联立求得：上述电压、电流方程联立求得：I1 I6 I3 + I4 = = I1I1 + I6 = = I2I2 = = I5

16、+ I3I4 R4 + I1 R1 I6 R6 - - U4 = =0I2 R2 + I5 R5 + I6 R6 = =0 I4 R4 I5 R5 + I3 R3 U3 + U4 = =0支路电流法的优缺点支路电流法的优缺点优点：优点：能解决所有复杂电路能解决所有复杂电路缺点：缺点：电路中网孔、节点数多时，所需方程的个数较电路中网孔、节点数多时，所需方程的个数较多，求解不方便。多，求解不方便。（1-22）n=4 m=3例例2支路中含有恒流源的情况支路中含有恒流源的情况电流方程电流方程:a：I1I3SI2b： I4I5I2c： I6I3SI4电压方程电压方程:abda:I1R1I2R2 I5R5

17、Us0bcdb:I4R4I6R6I5R50abca: I2R2 I4R4Ux 0结果结果:5个电流个电流 + 1个电压个电压=6个未知数个未知数,由由6个方程求解。个方程求解。dUs+_bcI1I2I4I5I6R5R4R2R1aI3s+ Ux - -（1-23）解：解：节点节点a: I1I2+ +I3=0回路回路1: 7I111I2 - - 70 + +5U = =0回路回路2: 11I2+ +7I3 - - 5U = =0增补方程：增补方程：U=7I3电路中含有受控源的情况电路中含有受控源的情况12a+70V 7 bI1I3I27 11 + +5U _ _+ +U- -有受控源的电路，方程列

18、写分两步：有受控源的电路，方程列写分两步：(1) 先将受控源看作独立源列方程；先将受控源看作独立源列方程；(2) 将控制量用未知量表示，列写增补方程。将控制量用未知量表示，列写增补方程。例例33.4 网孔电流法网孔电流法 为减少支路电流法中未知量为减少支路电流法中未知量(方程方程)的个数，假想每的个数，假想每个网孔中有一个网孔电流。个网孔中有一个网孔电流。im1图示支路电流可表示为：图示支路电流可表示为：i1 im1i3 im2i2im2im1i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2im2 则各支路电流可看成网孔电流的线性组合。则各支路电流可看成网孔电流的线性组合。一、网孔电流法一、网孔电流

19、法(适用于网孔较少的电路适用于网孔较少的电路)以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。法。二、网孔电流法的证明二、网孔电流法的证明 网孔网孔1：R1 i1R2i2uS1uS2 0网孔网孔2：R2i2 R3 i3uS2 0 将将i1 im1 ， i3 im2 ， i2 im2 im1 代入上两式，得：代入上两式，得：R1 im1+ +R2(im1- - im2)- -uS1+uS2=0R2(im2- - im1)+ R3 im2 - -uS2=0整理得：整理得：(R1+ R2) im1- -R2im2=uS1- -uS2- -R2im1+ (R2

20、+R3) im2 =uS2由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：R11im1+R12im2=uS11R12im1+R22im2=uS22im1i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2im2对于具有对于具有 m = =b- -(n- -1) 个网孔的电路，有个网孔的电路，有:其中其中Rkk:网孔网孔k 的自电阻。的自电阻。 Rkk 网孔网孔 k 中所有电阻之和。自电阻总为正中所有电阻之和。自电阻总为正“” 。Rjk:网孔网孔 j、k 之间的互电阻。之间的互电阻。 Rjk 正负号取法：正负号取法： 当网孔当网孔 j、k 之间的网孔电流方向一致时，之间的网孔电流方向一致时， Rjk 取取 “

21、”；否则取；否则取“”。R11im1+R12im2+ +R1m imm=uS11R21im1+R22im2+ +R2m imm=uS22Rm1im1+Rm2im2+ +Rmm imm=uSmm注意：注意：(1)不含受控源的线性网络不含受控源的线性网络 Rjk Rkj 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。(2)当网孔电流均取顺当网孔电流均取顺(或逆或逆)时针方向时：时针方向时：Rjk 均为负。均为负。uSkk : 网孔网孔 k 中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。uSkk正负号取法：正负号取法： 当网孔当网孔 k 中各电压源电压方向与该网孔电流方向中各电压源电压方向与该网孔电流方

22、向一致时，取一致时，取 “” ；反之取；反之取“” 。可见：可见：与支路电流法相比，方程数减少与支路电流法相比，方程数减少 (n1) 个，为：个，为：b(n1) （1-28）三、网孔电流法解题要点三、网孔电流法解题要点(1) m 个网孔的电路，可列个网孔的电路，可列 m 个网孔个网孔KVL方程；方程；(2) 网孔网孔KVL方程形式为：方程形式为：ikRkk +Rjkij = uSkk 其中：其中：ik k 网孔电流；网孔电流；Rkkk 网孔所有电阻之和；网孔所有电阻之和；ikRkk总是取总是取“”。ij= =与与k网孔相邻的网孔电流；网孔相邻的网孔电流；Rjk= =j k网孔之间的电阻；网孔之

23、间的电阻； Rjkij代数和中代数和中：ij 与与ik 方向一致时，方向一致时，Rjkij 取取“”。uSkkk网孔所有电压源电压的代数和。网孔所有电压源电压的代数和。当当uSkk与与ik方向一致时，方向一致时， uSkk取取“”。(3)某条支路电流某条支路电流流过该支路流过该支路网孔电流的代数和。网孔电流的代数和。若若流过该支路流过该支路网孔电流方向与该支路电流方向一网孔电流方向与该支路电流方向一致时取致时取“”。（1-29）例例1U4U3+R3R6R4R5R1R2+_四、网孔电流法解题步骤四、网孔电流法解题步骤(1)在在m个独立网孔中注明个独立网孔中注明网孔电流名称并确定其绕网孔电流名称并

24、确定其绕行方向；行方向；im1im2im3(2)以以m个网孔电流为未知量，个网孔电流为未知量，列写列写m个个KVL方程。方程。本题中共有本题中共有3个网孔：个网孔：(R1+ R4 + R6) im1R6im2R4 im3=U4R6im1+ (R2+ R5 + R6) im2R5 im3 =0R4im1 R5 im2 + (R3+ R4 + R5) im3 = U3 U4(3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到m个网孔电流；个网孔电流；(4)进行其它计算与分析。进行其它计算与分析。（1-30）理想电流源支路的处理理想电流源支路的处理引入电流源电压，增加引入电流源电压，增加网孔网孔电流和电流源

25、电流的电流和电流源电流的关系方程。关系方程。RSR4R3R1R2US+_iS+ - -Uim1im3im2电流源看作电电流源看作电压源列方程压源列方程增补方程：增补方程：例例2(RS+ R1 + R4) im1R1im2R4 im3=USR1im1+ (R1+ R2) im2=UR4im1+ (R3+ R4) im3 =UiSim2 im3（1-31）IRIS转换转换+_RISIR受控电源支路的处理受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用网孔电流独立电源按上述方法列方程，再将控制量用网孔电流表

26、示。表示。 电阻并联的电流源，为减少回路，可先做电源等电阻并联的电流源，为减少回路，可先做电源等效变换后再列方程：效变换后再列方程：（1-32）列网孔电流方程列网孔电流方程解：解：网孔电流方向如图所示。网孔电流方向如图所示。i1i4i3i2+- - - +U2U3增补方程：增补方程：R1R4R5gU1R3R2 U1_+_U1iS例例3(R1 + R3)i1R3i3=U2R2i2=U2U3R3i1+ (R3+ R4 + R5) i3 R5i4= 0R5i3+ R5 i4 = U3 U1i1i2= iSi4i2=gU1U1=R1i13.5 回路电流法回路电流法(loop current metho

27、d)一、回路电流法一、回路电流法(适用于独立回路较少的电路适用于独立回路较少的电路)以独立回路中的回路电流为未知量列写电路方程以独立回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。分析电路的方法。 当取网孔电流为未知量时，称网孔电流法。所以，当取网孔电流为未知量时，称网孔电流法。所以，网孔电流法是回路电流法的特例。网孔电流法只适用网孔电流法是回路电流法的特例。网孔电流法只适用于平面电路。于平面电路。 而回路电流法能适用于任何电路。而回路电流法能适用于任何电路。二、回路电流法的证明二、回路电流法的证明与网孔电流法相似。略。与网孔电流法相似。略。三、回路电流法的标准形式三、回路电流法的标准形式

28、对于具有对于具有 l = =b- -(n- -1)个独立回路的电路，有个独立回路的电路，有:其中其中iLk ：k 回路电流。回路电流。 Rkk：回路：回路 k 的自电阻的自电阻(取取)。 Rkk 等于回路等于回路 k 中所有电阻之和。自电阻总为正。中所有电阻之和。自电阻总为正。R11iL1+R12iL2+ +R1L iLL=uS11R21iL1+R22iL2+ +R2L iLL=uS22RL1iL1+RL2iL2+ +RLL iLL=uSLLRjk:回路回路 j、k 之间的互电阻。互电阻正负号取法：之间的互电阻。互电阻正负号取法： 当两个回路当两个回路 j、k 之间的回路电流方向相同时，互之间

29、的回路电流方向相同时，互电阻取正号电阻取正号“”；否则取负号；否则取负号“”。对于不含受控源的线性网络对于不含受控源的线性网络 Rjk Rkj 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。uSkk : 回路回路 k 中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。uSkk 正负号取法：正负号取法： 当回路当回路 k 中各电压源电压方向与该回路绕行方向中各电压源电压方向与该回路绕行方向一致时，取负号；反之取正号。一致时，取负号；反之取正号。可见：可见：与支路电流法相比，方程数减少与支路电流法相比，方程数减少 (n1) 个，为：个，为：b(n1) （1-36）四、回路电流法解题要点四、回路电流法解题要

30、点(1) b-(n-1)个独立回路的电路，可列个独立回路的电路，可列 b-(n-1) 个回路个回路KVL方程方程;(2) 回路回路KVL方程形式为：方程形式为：ikRkk +Rjkij = uSkk 其中：其中：ik k 回路电流；回路电流；Rkkk 回路所有电阻之和；回路所有电阻之和；ikRkk总是取总是取“”。ij= =与与k回路相邻的回路电流；回路相邻的回路电流；Rjk= =j k回路之间的电阻回路之间的电阻; Rjkij代数和中代数和中： ij 与与ik 方向一致时，方向一致时，Rjkij 取取“”。uSkkk回路所有电压源电压的代数和。回路所有电压源电压的代数和。当当uSkk与与ik

31、方向一致时，方向一致时， uSkk取取“”。(3)某条支路电流某条支路电流流过该支路流过该支路回路电流的代数和。回路电流的代数和。若若流过该支路流过该支路回路电流方向与该支路电流方向一致回路电流方向与该支路电流方向一致时取时取“”。（1-37）五、回路电流法解题步骤五、回路电流法解题步骤例例1U4U3+R3R6R4R5R1R2+_i1i2i3(R1+ R4 + R6) i1+(R1 + R4)i2+R1i3=U4(R1+ R4)i1+ (R1+ R2+ R4 + R5) i2 + (R1+ R2) i3 =0R1i1 + (R1+ R2) i2 + (R1+ R2 + R3) i3 =U3(1

32、) 选定选定b-(n-1)个独立回个独立回路路 , 注明回路电流名称并确注明回路电流名称并确定其绕行方向；定其绕行方向；(2) 针对针对b-(n-1)个独立回路，个独立回路，以回路电流为未知量以回路电流为未知量, 列写列写b-(n-1)个个KVL方程。方程。(3) 求解上述方程求解上述方程, 得到得到b-(n-1) 个回路电流；个回路电流；(4)进行其它计算与分析。进行其它计算与分析。（1-38）例例2RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2为已知电流，实际减少了一方程为已知电流，实际减少了一方程列列回路回路电流方程电流方程(RS+ R1 + R4) i1- - R1i2- - (R1+

33、R4) i3=USi2= iS- -(R1+ R4)i1+ (R1+ R2) i2 + (R1+ R2 + R3 + R4) i3 =0理想电流源支路的处理理想电流源支路的处理引入电流源电压，增加引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的回路电流和电流源电流的关系方程。关系方程。选取独立回路时尽量使选取独立回路时尽量使理想电流源支路仅仅属于理想电流源支路仅仅属于一个回路一个回路 。（1-39）i1= iS增补方程：增补方程：i1i4i3i2例例3R1R4R5gU1R3R2 U1_+_U1iS受控电源支路的处理受控电源支路的处理 先把受控源看作独立电先把受控源看作独立电源列方程，再将控制量用源列

34、方程，再将控制量用回路电流表示回路电流表示。选取独立回路时尽量使选取独立回路时尽量使电流源电流源(包括受控电流源包括受控电流源)支路仅仅属于一个回路支路仅仅属于一个回路 。列列回路回路电流方程电流方程R1i1+ (R1+R2+R4)i2+R4i3=- - U1- -R3i1 +R4i2 + (R3+R4+R5)i3- -R5i4=0 i4 = gU1U1 = - -R1( i1+i2)（1-40）3.6 结点电压法结点电压法(node voltage method)结点电压：结点电压：任一独立结点与参考点的电压任一独立结点与参考点的电压(位位)差。方差。方向为从独立结点指向参考点。参考点可任意

35、选择。向为从独立结点指向参考点。参考点可任意选择。uR2u1u2i1u1/ /R1i2(u1u2)/ /R2i3u2/ /R3iS1R1R3R2gmuR2+ uR2_i1i3i2 各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合。求各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合。求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。1u12u2一、结点电压法一、结点电压法(适用于结点较少的电路适用于结点较少的电路) 以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。（1-41）二、结点电压法的证明二、结点电压法的证明iS1uS

36、iS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132(1) 选定参考结点，标明其余选定参考结点，标明其余n- -1个独立结点的电压。个独立结点的电压。(2) 列列(n1)个个KCL方程：方程：1 结点：结点：i1+i2=iS1+iS22 结点：结点：i2+i3+i4=03 结点：结点：i3+i5=iS2S2S1n2n1n1iiRuuRu 210432 RuRuuRuun2n3n2n2n1253SSiRuuRuu n3n3n2上面三个方程可变为：上面三个方程可变为：（1-42）整理，得：整理，得：S2S1n2n1)( )(iiuRuRR 2211110111113324322 nuRuRRR

37、uRnn1 )(令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5上式简记为：上式简记为：G11un1+G12un2 G13un3 = iSn1G21un1+G22un2 G23un3 = iSn2G31un1+G32un2 G33un3 = iSn35533111RuiuRRuRS S2n3n2 )()(标准形式的结点标准形式的结点电压方程电压方程等效电等效电流源流源iS1uSiS2R1R2R5R3R4+_132G11un1+G12un2+G1,n- -1un,n- -1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn- -1,1un1+Gn- -1,2un2

38、+Gn-1,nun,n- -1=iSn,n- -1其中：其中：自电导自电导Gii 接在接在结点结点 i 上所有支路的电导之和上所有支路的电导之和(与恒流与恒流源串联的电阻除外源串联的电阻除外)。总为正。总为正。互电导互电导Gij 结点结点 i 与结点与结点 j 之间的所有支路的电导之之间的所有支路的电导之和和(与恒流源串联的电阻除外与恒流源串联的电阻除外) 。总为总为负。负。当电路不含受控源时，当电路不含受控源时， Gij = Gji 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。 对于具有对于具有 n个结点的电路，有个结点的电路，有(n 1)个方程个方程:iSni 结点结点 i 的所有电流源电流的代数

39、和的所有电流源电流的代数和(包括由包括由电压源电压源与电阻串联支路等效的电流源与电阻串联支路等效的电流源)。 iiiniiRuiSSS uSi/ /Ri 、iSi 流入结点取正号，流出取负号。流入结点取正号，流出取负号。结点电压法独立方程数为：结点电压法独立方程数为：(n1)与支路电流法相比，方程数减少与支路电流法相比，方程数减少 b (n 1)个。个。 （1-45）三、结点电压法解题要点三、结点电压法解题要点(1) (n-1)个独立结点的电路个独立结点的电路, 可列可列(n-1)个结点个结点KCL方程方程;(2)结点结点KCL方程形式为：方程形式为：ukGkk +Gjkuj = iSkk其中

40、：其中：uk k结点电压；结点电压；Gkkk 结点所有电导之和结点所有电导之和(与恒流源与恒流源串联的电阻除外串联的电阻除外) ；ukGkk总是取总是取“”。uj= =与与k结点相邻的结点电压；结点相邻的结点电压；Gjk= =j k结点之间的电导结点之间的电导(与与恒流源串联的电阻除外恒流源串联的电阻除外) ；Gjkuj总是取总是取“”。 iSkk k 结点所有电流源电流的代数和。结点所有电流源电流的代数和。 (包括由包括由电压电压源与电阻串联支路等效的电流源源与电阻串联支路等效的电流源)当当 uSk/ /Rk 或或 iSk 流入结点取流入结点取“” 。(3)结点电压方向规定为该结点指向参考点。结点电压方向规定为该结点指向参考点。（1-46）(1) 选定参考结点，标选定参考结点，标定定(n - -1 )个独立结点；个独立结点；四、结点电压法解题步骤四、结点电压法解题步骤例例1列结点电压方程列结点电压方程 。(2