向量组相关性

1、第第3.3节节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一一. 向量向量 向量组与矩阵向量组与矩阵二二. 向量相关性的概念向量相关性的概念四四.小结小结 思考题思考题三三. 向量相关性的判断向量相关性的判断 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组Aa1a2an一、向量、向量组与矩阵a2ajana1a2ajan维行向量

2、维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵. .矩矩阵阵构构成成一一个个组组维维列列向向量量所所组组成成的的向向量量个个mnnmm , 21矩矩阵阵构构成成一一个个的的向向量量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA

3、，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合.,:12121的线性组合的线性组合维基本向量组维基本向量组都是都是维向量维向量任意任意求证求证例例nTneeenaaan mmb 2211，使使，一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量给给定定向向量量组组mmbA ,: 2121的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA.,22

4、1的的列列向向量量的的线线性性组组合合是是则则实实矩矩阵阵，为为：设设例例AAXRxxxXnmAnTn 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有时时则则当当且且仅仅当当线线性性无无关关若若 nnnn., 2. 线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关

5、则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量量共共面面向向量量相相关关的的几几何何意意义义是是三三是是两两向向量量共共线线；三三个个向向义义量量对对应应成成比比例例，几几何何意意充充要要条条件件是是两两向向量量的的分分它它线线性性相相关关的的量量组组对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向定理定理3.1 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211

6、m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（如中有一个向量（如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示. .maaa,21ma即有即有112211 mmma 三、线性相关性的判定故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性

7、表示.1 证毕证毕. 时一定线性相关时一定线性相关小于向量个数小于向量个数当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个结论：结论：mnnm定理揭示：定理揭示：一个线性无关的向量组中的向一个线性无关的向量组中的向量是彼此量是彼此“独立独立”的，其中任何一个向量都的，其中任何一个向量都不能由其余的向量线性表示；若一个向量组不能由其余的向量线性表示；若一个向量组线性相关，其中就一定有向量可以由其它向线性相关，其中就一定有向量可以由其它向量线性表示，因此量线性表示，因此“不独立不独立”但在这个定但在这个定理的条件下，并没有指出这些不独立的向量理的条件下，并没有指出这些不独立的向量有多少个，

8、是哪一些若加强定理条件，我有多少个，是哪一些若加强定理条件，我们会得到如下结论们会得到如下结论唯一地线性表示。唯一地线性表示。可由可由线性无关，则线性无关，则但但线性相关线性相关设向量组设向量组定理定理,2 . 3m21m21m21 解：解：设数设数123,k k k使得使得1122330kkk成立。成立。即即123102012401570kkk 未知量为未知量为123,k k k系数行列式系数行列式1021240157 齐次线性方程组有齐次线性方程组有非零解，所以向量非零解，所以向量123, 线性相关。线性相关。向量向量12, 对应分量不成比例，所以对应分量不成比例，所以线性无关线性无关。例

9、例1 已知已知 ，试讨论向，试讨论向量组量组 的线性相关性。的线性相关性。TTT)7 , 4 , 2(,)5 , 2 , 0(,)1 , 1 , 1(321 321, ,321使使设设有有kkk, 0)()( 133322211 kkk）（, 0)()() 332221131 kkkkkk（即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131kkkkkk解解., ,321133322211321的的线线性性相相关关性性判判断断线线性性无无关关已已知知向向量量组组例例2 2bbbbbb 02110011101 的的系系数数行行列列式式由由于于此此齐齐次次线线性性方方

10、程程组组., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbkkk 维维向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶单位矩阵阶单位矩阵是是的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成neeeInn .01 的的，此此向向量量组组是是线线性性无无关关由由 I例例3. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；（线性相关与线性无关的概念；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结. , )3(0 )2( 0 )1(:两式不一定同时成立两式不一定同时成立或者或者线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是，两个向量两个向量；线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是一个向量一个向量；线性相关的充要条件是