《综合法和分析法》课件 (3)

1、演绎推理演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程重要思维过程. .数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现, ,主要靠合情推理主要靠合情推理. .复习推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）2.2.1 2.2.1 综合法和综合法和分析法分析法引例引例：四边形：四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，求证：求证：AB=CDAB=CD，BC=DABC=DAA AB BC CD

2、 D1 13 34 42 2证明证明 连结连结ACAC，因为四边形，因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形所以所以AB/CDAB/CD，BC/DABC/DA4321，故又又AC=CAAC=CACDAABC所以故故 AB=CDAB=CD，BC=DABC=DA本题条件本题条件已知定义已知定义已知定理已知定理已知公理已知公理本题结论本题结论从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据为依据, ,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法)从已知条件出发，以已知定义

3、、公理、定理等从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据为依据, ,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法)用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q特点:“由因导果”例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+

4、a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :练为数证:已:已知知a、a、b、b、c不c不全全相相等等的的正正，b+c-ac+a-ba+b-cb+c-ac+a-ba+b-c求求：+ 3.+ 3.abcabc:? ?分析 由A,B,C成等差

5、数列可得什么由a,b,c成等比数列可得什么0260(?)A CBB 为 什 么2bac?怎样把边,角联系起来222:2cosbacacB余弦定理符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言学会语言转换学会语言转换找出隐含条件找出隐含条件例例2 2：在：在中，三个内角、对中，三个内角、对应的边分别为应的边分别为a a、b b、c c，且、成等，且、成等差数列，差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形分析分析基本不等式：基本不等式：a a + + b ba a b b2 2证明证明: :要证要证 a a+ +b ba ab b2 2只需证只需证 2

6、a a+ +b ba ab b只需证只需证 20a a+ +b ba ab b只需证只需证()b 20a a因为因为 成立成立()b 20a a所以所以 成立成立a a + + b ba ab b2 2(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .分析基本不等式：分析基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba a b b2 2证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2证明证明: :要证要证; ;

7、只需证只需证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;因为因为; ; 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2还原成还原成综合法综合法： 从要证明的结论出发，逐步从要证明的结论出发，逐步寻求寻求推证过程中，推证过程中，使每一步结论成立的使每一步结论成立的充分条件充分条件，直至最后，把，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做为止，这种证明的方法叫做分析

8、法分析法 特点：特点：这个明显成立的条件可以是：这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等执果索因执果索因即：即：要证结果要证结果Q Q，只需证条件，只需证条件P P1 372 5例例 求求证证372 5解解:要证要证()()22372 5只需证只需证展开展开,只需证只需证215只需证只需证 2125因为因为 2125成立成立,所以所以 成立成立.372 5例例2. .如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线, ,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线, ,垂垂足为足为F,F,求证

9、求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证明证明: :要证要证AFAFSCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESCSC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:AEBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCSASA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以. AF. AFSCSC成立成立例例3: :设设a,b,ca,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边, ,且且s2=2ab, , 试证：试证： s 2a1 1s s= =

10、( (a a+ +b b+ +c c) ), ,2 2解解:欲证欲证s2a,只需证只需证2ssb即证即证bs,也即证也即证1()2babc即证即证ba+c因为因为a,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边,所以所以ba+c成立成立.故故s b a + c b 01cab所以所以 cosBcosB0 0 90B因此因此练：在锐角三角形练：在锐角三角形中，中，求证求证sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC cosA+cosB+cosCcosA+cosB+cosC提示提示:为锐角三角形为锐角三角形,则则 ,2AB2 22 22 22 22 2例例 3 3. . 已已 知知 , , k k + +( (k kZ Z) ), ,且且2 2 s si in n + + c co os s = = 2 2s si in n s si in n c co os s = = s si in n 1 1 -