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1、PAGE PAGE 5数列中的高考热点问题一、数列求通项常见的考查形式是:(1)公式法(2)对于和的关系转化:,注意和的形式:Eg: (2013年山东高考)设等差数列的前项和为,且,()求数列的通项公式()设数列满足 ,求的前项和.二、数列求和常见查考的方式:(1)公式法 (2)裂项求和 (3)错位相消求和特别注意广义上的裂项考查: Eg:数列满足,且 =2,则的最小值为 (提示:)三、等差、等比数列的证明Eg1.设数列中的每一项都不为0.证明:为等差数列的充分必要条件是:对任何,都有(等差中项法)Eg2.(2013年北京高考)2.给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.()
2、设数列为3,4,7,1,写出,的值;()设()是公比大于1的等比数列,且.证明:,是等比数列;()设,是公差大于0的等差数列,且,证明:,是等差数列.(新数列的等差、等比证明)Eg3.已知数列的各项均为正数,数列,满足, (1)若数列为等比数列,求证:数列为等比数列;(2)若数列为等比数列,且,求证:数列为等比数列解:(1)因为数列为等比数列,所以(为常数), 所以为常数,所以数列为等比数列;(2)因为数列是等比数列,所以(为常数), 所以则 所以,即 因为,所以,则 所以; 所以,即因为数列是等比数列,所以,即,把代入化简得,所以数列为等比数列四、由等差、等比数列性质类比得到的新概念数列等差
3、等比数列的外延拓展: = 1 * GB3 若数列,其中为等差数列,则数列隔项成等差数列. = 2 * GB3 若数列,其中为等比数列,则数列隔项成等比数列.Eg1.若数列满足:对于,都有(常数),则称数列是公差为的准等差数列(1)若求准等差数列的公差,并求的前项的和;(2)设数列满足:,对于,都有求证:为准等差数列,并求其通项公式;设数列的前项和为,试研究:是否存在实数,使得数列有连续的两项都等于?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由解:(1)数列 为奇数时,为偶数时,准等差数列的公差为,; (2)()() ()()-()得()所以,为公差为2的准等差数列当为偶数时,当为奇数时,解法一:;
4、解法二:; 解法三:先求为奇数时的,再用()求为偶数时的同样给分解:当为偶数时,;当为奇数时,当为偶数时,得由题意,有;或所以,Eg2.已知数列的奇数行项是公差为的等差数列,偶数项是公差为的等差数列,是数列的前项和,(1)若,求;(2)已知,且对任意,有恒成立,求证:数列是等差数列;(3)若,且存在正整数、,使得求当最大时,数列的通项公式.Eg3.设数列的前项积为;数列的前项和为设. eq oac(,1)证明数列成等差数列; eq oac(,2)求证数列的通项公式;若恒成立,求实数的取值范围.五、数列中的解不等方程问题及与不等式相结合恒成立(或有解)的问题Eg1.已知数列an满足:(1)求数列
5、an的通项公式;(2)当时,是否存在互不相同的正整数使得成等比数列?若存在,给出满足的条件;若不存在,说明理由;(3)设S为数列an的前n项和,若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围。 六、数列中的等式恒成立问题Eg1.已知各项均为正数的两个无穷数列、满足(1)当数列是常数列(各项都相等的数列),且时,求数列的通项公式;(2)设、都是公差不为0的等差数列,求证:数列有无穷多个,而数列惟一确定;(3)设,求证:七、由等差、等比数列生成得到的新数列Eg1.将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:已知表中的第一列数构成一个等差数列,记为,且.表中每一行正中间一个数构成数列,其前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数,且.求;记,若集合M的元素个数为3,求实数的取值范围.Eg2.已知数列满足, (1)求数列的通项公式;(2)若对每一个正整数,若将按从小
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