《金融工程学》课件第19章

1、金融工程学 第十八章 利率期限结构、久期及凸度1 第十九章 波动性与相关性2第二十章 受险价值VaR3 第二十一章 一致性风险度量4第五篇 风险管理技术本章学习目标：了解波动率的概念；掌握历史波动率和隐含波动率的计算原理；了解时变波动率模型ARCH、EWMA和GARCH的构建原理；掌握线性相关系数和Kendall秩相关系数的概念、意义和计算方法； 了解连接函数的概念和Sklar定理。第十九章 波动性与相关性根据历史数据估计波动率时，有两点需要注意：（1）n值的选取一般来说，n值越大，考虑的数据越多，估计的精度越高。（2）股息的处理由于除权除息还需要考虑税收方面的因素，会对股票收益率产生一定的影

2、响。所以，一般将包含除权除息日的时间区间直接剔除。第一节 波动率一、历史波动率的计算隐含波动率（implied volatility）是由期权的市场价格所隐含的波动率。对于一个无股息股票的看涨期权和看跌期权，它们的时间0时的布莱克-斯科尔斯定价公式为：式中所隐含的 即为隐含波动率。第一节 波动率二、隐含波动率的计算用价格的百分比变化度量价格的变化率。令考察m天的观察值。由于每一天市场变化的期望值将远远小于市场变化的标准差，因此， ；同时，在样本足够大的情况下，m-1m，从而得到假设 为第i天观察值对应的权重，满足 时 ，假设对应于权重选择，存在某一长期平均方差 ，其权重为 ，则有 ，其中，该式

3、即为ARCH（m）模型，该模型最初由Engle（1982）提出。Robert Engle因对ARCH模型的贡献而获得2003年诺贝尔经济学奖。第二节 时变波动率的估计一、自回归条件异方差模型（ARCH）指数加权移动平均模型（exponentially weighted moving average，EWMA）是ARCH（m）模型的一个特殊形式。在EWMA模型中，权重 随回溯时间的延长而按指数递减。EWMA只需要相对较少的数据就可以估计出波动率。对于任一时刻，只要找到当前波动率的估计值和市场变量的最新观察值，就可以计算每天价格变化的比率。EWMA方法的目的是对波动率进行跟踪监测。如果市场在第天发

4、生了较大的变化，则 相对较高，当前波动率的估计值会增加。第二节 时变波动率的估计二、指数加权移动平均模型（EWMA）在GARCH（1,1）模型中，通过长期平均方差 和 的滞后项 以及 得到估计值 ： 广义GARCH（p，q）中， 是由最近的p期 的观察值以及最新的q期波动率的估计值 得到的：第二节 时变波动率的估计三、广义自回归异方差模型（GARCH）1、Pearson线性相关系数的计算一个变量每天变化的方差是指这一个变量每天收益率的方差。相应的，两个变量每天变化的协方差是指变量每天收益率的协方差。Pearson线性相关系数只是用于表示变量之间的线性相关性，但变量之间可以有多种不同形式的关联关

5、系。只有在随机变量服从椭圆分布的情况下，Pearson线性相关系数才能够有效的度量随机变量之间的相关性。第三节 相关性分析一、Pearson线性相关系数Kendall秩相关系数根据两个随机变量变化趋势的一致性来度量两个随机变量之间的相关性。设 和 是随机向量 的两个独立随机样本，则 和 的Kendall秩相关系数定义为：与Pearson线性相关系数相比，Kendall秩相关系数可以度量随机变量之间任意方式的相关性，不论随机变量之间是线性关系还是非线性关系，并且在任意严格递增的变换下具有不变性。第三节 相关性分析二、Kendall秩相关系数Sklar定理：假设n维随机向量 的联合分布函数和边际分

6、布函数分别为 和 ，则存在n维连接函数 使得：采用连接函数构造多元分布模型可以将边际分布和随机变量间的相关结构关系分离开来，单独进行处理，降低了分析问题的难度；而且，连接函数方法没有限制边际分布的类型，边际分布可以是任意类型的概率分布，不同随机变量的边际分布可以不同，从而可以用不同类型的分布描述不同类型随机变量，增强了金融建模的灵活性。第四节 连接函数一、连接函数的概念及Sklar定理目前，常用于描述风险资产收益率之间相关结构的连接函数有如下四种：1. Frank Copula：2. Gumbel Copula：3. Clayton Copula：4. Gaussian Copula：第四节

7、连接函数二、参数连接函数除了参数连接函数之外，还存在经验连接函数（empirical Copula）。假设 是一个样本， 是该样本的递增顺序统计量， 是相应的秩统计量，使得： ，令 ，则经验连接函数定 义为：由于连接函数自身的优势，为探索具有不同边际分布的随机变量之间的相互作用提供了一个非常好的分析工具。第四节 连接函数三、经验连接函数本章小结本章介绍了波动率和相关性的常用度量方法以及一些比较前沿的度量方法。在波动率度量方面，一般采用金融资产收益率的标准差度量金融资产收益率的波动率，常用的方法是采用标准差的公式直接计算或者根据期权定价公式计算隐含的波动率。但是，金融资产收益率一般具有条件异方差

8、的特性，这就需要采用ARCH模型、GARCH模型等方法计算时变波动率。在相关性度量方法，常用的度量方法是用Pearson线性相关系数。然而，Pearson线性相关系数仅能度量线性相关性，而且仅适用于正态分布情形。因为金融资产收益率一般具有非正态分布特征，所以本文介绍了适应范围更广的Kendall秩相关系数以及度量相关结构的连接函数。由于篇幅所限，本文无法对这些前沿的方法进行更加系统深入的介绍，感兴趣的读者可以阅读相关的参考文献。习题1.什么是隐含波动率？如何计算隐含波动率？2.如何用GARCH模型和历史数据估计波动率？3.某公司采用EWMA模型预测波动率，将参数由0.85调整为0.9，这一调整

9、将产生什么影响？4.假定上证综指在上一个交易日结束时的价格为3050点，上一个交易日指数的波动率的估计值为1%。GARCH（1,1）模型中的参数 ， ， ，指数价格在当前交易日结束时价格为3022点，计算当前交易日波动率的估计值。习题5.GARCH（1,1）模型中的参数 ， ，a)求长期平均波动率。b)如果当前波动率为每天1.5%，估计20天、40天和60天后的波动率。c)应采用什么波动率估计20天、40天和60天期限的期权价格？d)假定有某一事件导致波动率由每天0.5%增长到每天2%，估计该事件对20天、40天和60天后波动率的影响。习题6.已知2011年8月1日-2011年12月30日10

10、1组浦发银行（股票代码600000）与深发展（股票代码000001）的日收盘价（单位：元），见下表。求浦发银行与深发展银行日对数收益率的线性相关系数和Kendalltao秩相关系数。习题深发展浦发银行深发展浦发银行深发展浦发银行深发展浦发银行17.29.3216.579.2616.539.1615.968.73179.2616.489.316.649.1615.518.516.869.2616.529.1516.759.1815.888.8116.899.2816.429.116.729.2615.958.816.39.0316.568.9517.039.3815.958.8168.73178

11、.9816.889.2116.058.7816.038.8716.68.8116.859.1815.948.7816.098.9116.748.8617.129.3615.858.716.439.117.069.0916.889.2415.848.6616.649.0316.78.8216.989.3115.688.5817.139.3716.628.7316.729.1815.68.617.059.3516.048.4416.749.2115.058.4916.739.1216.178.5216.949.2715.288.6216.69.02168.4316.789.0515.358.6116.428.9816.048.4516.579.0815.338.5916.649.1816.048.5416.739.2115.348.5316.399.115.58.4216.479.1815.458.5317.349.4815.658.5716.038.9215.428.5417.389.4616.368.8515.988.8615.428.4716.729.1816.358.8715.958.815.488.4416.