2019高考数学 考点突破——随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列学案

1、离散型随机变量及其分布列【考点梳理】1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则表XPx1p1x2p2xipixnpn称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：pi0(i1，2，n)；p1p2pn1.3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为XP01p1pCkMCnNkM，其中pP(X1)称为成功概率.(2

2、)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称随机NCn变量X服从超几何分布.XP00N0CMCnMNCn11N1CMCnMNCnmMNMCmCnmNCn【考点突破】考点一、离散型随机变量分布列的性质【例1】(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X101P1323qq2262626nn(n1，2，3，4)，其中a是15常数，则PX的值为()3456则q的值为()333333333A1BCDa(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(Xn)222345ABCD答案(1)C(2)D(1

3、)由分布列的性质知123qq21，解析23q0，q20，3q.(2)由1111a1，知a1.a.1515155故PXP(X1)P(X2).333264512233445542224646【类题通法】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.【对点训练】1设随机变量X的分布列如下：XP11122163134165p则p为()2ABCD解析由分布列的性质，p1，p1.111163412答案C111131126364412已知随机变量X的分布列为：P(Xk)

4、2k，k1，2，则P(2X4)_.答案3163.解析(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则P(A)532.P(X0)43，C24C1318P(X2)3，P(X3)33，111114解析P(Xk)2k，k1，2，P(2X4)P(X3)P(X4)23281616考点二、超几何分布的应用【例2】某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.C2C14C77(2)依题意知X的取值为0，1，2，3，C34C735P(X1)，7C

5、33543C1C212C735C31C735X的分布列为XP043511835212353135【类题通法】1随机变量是否服从超几何分布的判断3则P(M)5.P(X0)56，C46C145C36C2410C26C345C16C441若随机变量X满足如下条件，则X服从超几何分布：第一，该试验是不放回地抽取n次；第二，随机变量X表示抽取到的某类个体的个数(如次品件数或类似事件)，反之亦然2超几何分布的特征(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布3超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.【对点训练】在心理学

6、研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过A对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.解析(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，8C45C1018(2)由题意知X可取的值为0，

7、1，2，3，4，则C51C1042P(X1)，5C1021P(X2)，5C1021P(X3)，5C1021P(X4).5C1042因此X的分布列为XP0142152121021352141424考点三、求离散型随机变量的分布列【例3】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.A12A13解析(1)记“第一次检

8、测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)5A2310.P(X200)22，A33C12C13A223P(X400)1P(X200)P(X300)1.(2)X的可能取值为200，300，400.A21A510P(X300)，5A31013310105故X的分布列为XP20011030031040035【类题通法】离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义.(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率.(3)画表格：按规范要求形式写出分布列.(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.【对点训练】从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列5解析(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A)2.C8C28P(X2)62C2C14C12C229C8C2628