2020年高中物理竞赛名校冲刺讲义设计—机械波第二节 平面简谐波波动方程

1、2020高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛班上课讲义第九章机械振动9.2平面简谐波的波动方程一、平面简谐波波动方程简谐波：如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动，这种波称为简谐波。平面简谐波：波面为平面的简谐波。平面简谐波也称为一维简谐波，其表达式也称波函数(wavefunction)沿+x方向传播的一维简谐波(波速u，振动角频率为)，假设媒质无吸收(质元振幅均为A)波速u参考点a任一点poxdx介质中任随时间的变化一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）y(x,t)关系，即称为波动方程。设O点处质点的振动方程为yOAcost波线上坐标为x的任意点P处质点的振动方程yf(x,t)

2、？P振动从O点传到P点所需的时间为txut时刻点P的振动与t-x/u时刻点O的振动状态相同，只是落后了tu点P振动方程xyAcos(t)Px)式中u2称上式为沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程波方程的其它表示式xyAcos2(t)yAcos(t2讨论：（1）如果原点的初相位不为零设：点O振动方程yOAcost0yAcos(t)则：波动方程为xu0)yAcos2(tx（2）如果平面简谐波沿x轴负方向传播则P点处质点相位比O点处质点的相位超前yAcos(t)yAcos2(t)波动方程为xu0 xyAcos(t)二、波动方程的物理意义由xu0从几方面讨论1当x一定时(设x=x0，即考察波线上某一点

3、x0)给出x=x0处质点的振动方程yy(t)yAcos2(tx0)即x0处质元的振动表达式，表示x处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变化情况，由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。)反映t时刻各不同x处质元的位移状况，即同一时刻x轴上各个质点衡2x位置的位移分布，由它画出的曲线即t02当t一定时(设t=t0，即在某一时刻t0)，给出t=t0时刻各质点的位移y分布情况yy(x)(yAcos2tx00离开它们平时刻的波形曲线。32x在当x为正时为负，22xxVxx1相位差212212即波若沿x正方向传播，原点右侧各质点的振动相位都落后于原点的相位，x越大，相位落后越多。故在波的传播方向上，各质点

4、的振动相位依次落后。4表达式还反映了波的时间、空间双重周期性。yAcos(t)(1)周期T代表了时间周期性若t=t+T,xu0Acos(tT)AcosT(t)Acos2(t)xu0 xu0 xu0即t+T时刻的波形与t时刻的波形相同。由质元运动看：每个质元振动周期为T。由波形看：t时刻和t+T时刻的波形曲线完全重合。(2)波长代表了空间周期性yAcos(t)Acos(t)Acos(t)Acos(t)Acos2(t)若x=xxu0 xu0 xxuu02Tuu0 xu0由质元看：相隔的两点振动状态完全相同(同相点)。由波形看：波形在空间以为“周期”分布着。称波的“空间周期”。时间、空间两方面的周期

5、性以相速u联系起来：uT例8-1超声波清洗器向水中发出的超声波的表达式为y1.0103cos(3105t200 x)m试求(1)波的振幅与频率；(2)超声波在水中的波速和波长；(3)距波源为0.20m与0.24m的两质点的相位差。)解：采用比较法，将yAcos(2t2x与本题给出的波表达式相比较得(1)振幅与频率分别为A=1.010-3m3105Hz4.781023.144Hz2mm3.1410(2)超声波的波长23.142002002m23.14超声波的波速(3)两质点的相位差u3.141024.78104ms11.50103ms12x0.240.20rad3.14102x2处质点的相位比x

6、1处质点的相位落后8rad例9-2如图所示，一横波在弦上以速度沿x轴正方向传播，已知弦上某点A的振动方程为y2102cos(400t)mAx8c5c9cmCoABx(1)写出波动方程；(2)写出B点和C点的振动方程。2400解：(1)已知，A的振动方程2u80m0.4m200Hz200Hz80u200m0.4m由于波沿x轴正方向传播，坐标原点O的相位比A点的相位超前，它们之间的相位差2OA251020.44坐标原点O的振动方程为4波动方程为y2102cos(400t)m02y2102cos(400tx)m40.42102cos(400t45x)m(2)将xxB14102m代入波动方程，可得B点的振动方程4y2102cos(400t514