第一章-极限与连续课件

1、1.1 函数1.2 极限的概念1.3 无穷小量与无穷大量1.4 极限的运算法则1.5 两个重要极限1.6 函数的连续性1.7 常用的经济函数第一章 极限与连续1.1 函 数一、函数的概念1. 区间与邻域 (1) 区间: 包括有: 开区间、闭区间和半开半闭区间. 开区间 闭区间 左开右闭区间 左闭右开区间区间也可以按其长度分为: 有限区间和无限区间. (2) 邻域 定义1.1 设 为一实数, 为一正实数,即 则称集合 为 点的 邻域. 若 和 均为有限的常数, 则区间均为有限区间 无限区间有点 的 邻域, 在几何上表示的是以 为园心, 以 为半径的开区间 其区间长度为见下图所示 注意: 一般 邻

2、域内的点是指在 点附近的点,故应将 理解为比较小的正数.2. 函数的定义 定义1.2: 设 和 分别为两个实数集合, 为一对应关系, 如果对于 中的每一个元素 按照对应关系 在集合 中均有唯一的一个实数 与之对应,即 则称变量 为变量 的函数,记作 其中 称为因变量, 称为自变量, 称为对应法则, 称为该函数的定义域. 关于该定义应注意 当函数的定义域和对应法则确定了以后,该函数便被唯一的确定了,因此称函数的定义域和对应法则为确定函数关系的两大要素. 例1 判断下列各组函数是否相同 解 (1) 不同. 因为 的定义域是而 的定义域为 .显然它们的定义域不同. (2) 相同. 因为它们的定义域均

3、为全体实数相同, 且对应法则也相同 3. 函数的定义域 函数的定义域, 是使函数有意义的自变量的取值的范围. 求函数的定义域时应注意 (1) 应考虑自变量与因变量有无实际意义; (2) 如果一个函数是若干项的代数和, 则分别求出每一项的取值范围后, 取其交集合即可定义域; (3) 对于分段函数来说, 其定义域就是各区间的并集合; 解 (1) 要使该函数有意义, 须有 解之得故该函数的定义域为故该函数的定义域为 例2 求下列函数的定义域(2)要使该函数有意义, 须有解之得 (2) 图象法(图形法). 如函数 的图象为 (3) 列表法(表格法) 4. 函数的表示法 (1) 解析法(公式法). 如函

4、数 注意:有些函数是多个(两个或两个以上)解析式表示一个函数, 数学上称这种函数为分段函数.二、函数的几种特征 1 奇偶性: 设函数 在区间 上有定义, 如果对于任意 , 都有 ,则称该函数为奇函数 ; 若对于任意 ,都有则称该函数为偶函数.例3 判断下列函数的奇偶性解(1) 因为 (3) 因为 的定义域为 所以函数 无奇偶性,是非奇非偶函数.所以函数 是奇函数. (2)因为虽然所以 是偶函数 注: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. (4) 因为 所以函数 是偶函数. 2. 单调性 设函数 在 上有定义,对任意如果 ,则必有 ,则称函数在 上单调递增;如果 ,则必有 ,

5、则称函数 在 上单调递减.注: 单调递增的函数其图象从左到右是上升的,而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图yyxxoo 例如 函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减; 而函数在定义域 上均单调递增. 其图象如下: 单调递增 单调递减yxoyxo 单调性递增开始演示!演示单调性递减开始演示单调性演示结束! 3.周期性 注意: (1) 说函数递增还是递减时, 应明确指出在哪一个区间上. 因同一个函数在不同的区间上单调性可能不同.如函数 (2) 当一个函数在其定义域 上均单调递增(或递减)时, 才称该函数为单调函数. 如 是单调函数. 设函数 在 上有定义, 如果存在常数 使得对于

6、中的任意 , 都有 则称该函数为周期函数, 且称 为该函数的周期. 如函数 均是周期函数, 其周期分别为 4.有界性 设函数 在 上有定义, 如果存在正数 ,使得对于任意 ,都有 恒成立. 则称该函数在区间 上有界. 否则, 称该函数 在区间 上无界. 如函数 在区间 上有界, 因在该区间上恒有 成立; 在区间 上无界.而函数 在其定义域 R有界. 注意: (1)说一个函数是否有界, 一般要指出区间.因同一个函数,在某区间上可能有界,而在另一个区间上可能会无界. (2) 若一个函数在其定义域上有界时,可以不说区间, 这时称函数是有界函数. 三、反函数1.反函数的定义B 定义1.3 设函数 的定

7、义域为集合A, 其值域为B, 如果对于B中的每一个元素 , 在集合A中都有唯一确定的 与之对应, 则说在集合B上定义了一个函数,则说在集合B上定义了一个函数, 称该函数为 的反函数, 记作 注1: 易见反函数 的定义域B即是原来函数 的值域, 而其值域即是原来函数的定义域. 注2: 为了合呼我们的习惯, 常把 中的 换为 , 把 换为 , 从而的得 . 由于并不改变其定义域和对应法则, 所以它们是相同的函数. 注3: 函数 与 互为反函数 2.反函数的性质 (1) 单调函数必有反函数, 且其反函数的单调性与原来函数的单调性一致. (2) 函数 与其反函数 的图象关于直线 对称.3.反函数的求法

8、例4 求 的反函数 反函数的求法分三步: 从 中解出 ;判断 中的 与 是否一一对应; 若一个 对应唯一一个 , 则将其 换为 , 换为 ,即得函数 的反函数. 解 从 中解出 ,得显然, 每一个 均对应唯一的一个 , 所以更换变量得其反函数为四、基本初等函数 1.常函数 2.幂函数 3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数1.常函数 2.幂函数yxoxoy3.指数函数 4.对数函数oyxoyx 基本初等函数图象如下5.三角函数x yyx 6.反三角函数因为 在其定义域内不单调,因此在整个定义域内没有反函数.为了求其反函数,我们需要缩小定义范围,所定义的新区间应满足以下三个条件:在所

9、定义的区间上必须单调;所定义的区间应尽可能的大一些;所定义的区间要包含坐标原点在内(或尽可能靠近坐标原点).于是,选择区间 最合适y因为上式不太合呼大家的习惯,所以常做变量的更换,得由反函数的图象对称性可做出其图象为: 五、初等函数 注1: 条件 非常重要, 只有满足了该条件后,两个函数才可复合, 否则就不是复合函数.称 为简单函数. 定义: 设 是 的函数 , 且其定义域为 ,而 又是 的函数 , 其值域为 , 如果满足 , 则 必是 的函数 , 称该函数为复合函数,其中 称为中间变量, 1.复合函数 例如 就可以复合, 因为前一个函数的定义域为 , 而后一个函数的值域为 , 其交集合非空,

10、 所以 是复合函数. 而 与就不能复合, 因为第一个函数的定义域为而第二个函数的值域为 , 显然其交集合为空集,不满足复合的条件. 注2: 中间变量可以有多个. 如 复合后为 中间变量就有4个 注3: 将简单函数变为复合函数的过程称为复合过程, 而把复合函数变为简单函数的过程称为拆分过程. 复合时应从后往前逐个回代, 而拆分时应由外往内逐个拆开. 2.初等函数 由基本初等函数经过有限次复合,以及四则运算以后, 且能够用一个式子表达的函数统称为初等函数. 如函数等等均是初等函数. 而均不是初等函数 1.2 极限的概念 一、数列的极限 1.数列 就称为一个数列, 记作 , 其中每一个数称为数列的一

11、个项, 第一项称为首项, 第 项称为通项(或一般项) 定义: 无穷多个按照某种规律排列起来的一列数如:(1) (2) (3) (4) 关于数列概念应注意以下几点 例如 数列 实际上就是函数 的函数值(2)数列一般有三种表示方式一般形式. 如函数形式. 如 数列简化形式. 如 数列 (1)数列实际上是定义在自然数集合上的函数,将其函数值按自然数依次增大的顺序排列起来所得到的.因此数列也常常记作 或2.数列的极限让我们一起先观看一段演示演示演示结束随着圆内接正多边形边数的不断增加,其圆内接正多边形的面积愈来愈趋向于圆的面积,即数列 以圆面积 为极限结论 先看数列变化趋势演示 1 2 3 4 5 6

12、 7 8 注意小球的变化 为了进一步了解数列的极限,下面我们再观察几个数列随着 的不断增大, 它能否趋向于一个常数.演示2.数列的极限 数列的极限就是数列的变化趋势, 为此, 先观察几个数列随着 的不断增大, 它能否趋向于一个常数.先看数列变化趋势演示 1 2 3 4 5 6 7 8 注意小球的变化 正在演示 1 2 3 4 5 6 7 8 从以上演示可见: 小红球随着 的不断增大, 越来越靠近横轴, 因此数列 趋向于零.演 示 结 束 1 2 3 4 5 6 7 8再观察数列 的变化趋势注意小球的变化演示 1 2 3 4 5 6 7 8再观察数列 的变化趋势 正在演示 注意小球的变化 1 2

13、 3 4 5 6 7 8可见数列 的变化趋势如下 从该数列的演示易见, 随着 的不断增大, 小球越来越接近于直线 , 所以数列 趋向于1.演 示 结 束 再观察数列 的变化趋势注意小球的变化 1 2 3 4 5 6 7演示 再观察数列 的变化趋势注意小球的变化 1 2 3 4 5 6 7 正在演示 再观察数列 的变化趋势 1 2 3 4 5 6 7 易见小球在上下摆动中, 其摆动的幅度始终不变,因此,该数列不趋于任何常数演 示 结 束 最后,观察一下数列的变化趋势.12 10 8 6 4 21 2 3 4 5 6 7注意小球的变化演示 最后,观察一下数列的变化趋势.12 10 8 6 4 21

14、 2 3 4 5 6 7 正在演示 最后,观察一下数列的变化趋势.12 10 8 6 4 21 2 3 4 5 6 7 显见小球随着 的不断增大愈来愈向上移动, 永无止径,因此, 数列 随着 的增大, 趋向于无穷大. 演示结束 综上可见, 有的数列随着 的不断增大, 会逐渐趋向于某一个常数, 而有些数列则不会趋向于一个常数 如数列 均收敛, 且 定义 如果数列 当 趋向于无穷大时, 能够趋向于某一个常数A , 则说该数列收敛, 此时称A为数列 的极限, 记作 若该数列不能够趋向于一个常数, 则说该数列发散(或说不收敛).)()()(lim=nAnfAnfn或 而数列 和数列 均发散.二、函数的

15、极限单击 开始演示 让我们观察一下函数 当自变量 的绝对值 无限增大时, 其函数值的变化情况.xy1=1.当 时函数的极限 正在演示 让我们观察一下函数 当自变量 的绝对值 无限增大时, 其函数值的变化情况. 而数列 和数列 均发散.二、函数的极限1.当 时函数的极限xy1= 易见,随着 的无限增大, 小红球愈来愈靠近于 轴, 即其函数值逐渐趋于零. 演示结束 让我们观察一下函数 当自变量 的绝对值 无限增大时, 其函数值的变化情况. 而数列 和数列 均发散.二、函数的极限1.当 时函数的极限xy1= 从该例可见:当 趋于无穷大时, 趋于常数0, 此时我们称0是函数 当 趋于无穷大时的极限.x

16、1 一般 定义: 如果存在常数A, 使得当 无限增大时,函数 趋向于A, 则称A为函数 当 趋于无穷大时的极限,记作 或注意:几何上为演示演示结束如 2.当 时函数的极限 时的变化趋势 先观察函数 和函数 当 演示 正在演示 如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数 当 时的变化趋势 正在演示 时的变化趋势如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数 当 正在演示 时的变化趋势如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数 当 演示结束易见当 时 演示暂停请稍候 时的变化趋势如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数 当 开始演示 时的变化趋势如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数

17、当 正在演示 时的变化趋势如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数 当 正在演示 时的变化趋势如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数 当 正在演示 时的变化趋势如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数 当 演示结束易见当 时有 时的变化趋势如 2.当 时函数的极限 先观察函数 和函数 当 如 注意两点 (1) 意思是 无限靠近于 ,但 , 因此点有无极限与函数在该点有无定义毫无关系. 定义: 如果存在常数A, 使得当 无限接近于 时, 有 趋近于A, 则称A为当 时函数 的极限,记作 称 时函数 的极限为左极限, 记作(2)称 时函数 的极限为右极限,记作左极限右极限演示结束演示

18、 解 因为所以极限 不存在 定理 极限 存在的充分必要条件是左极限 和右极限 均存在, 且都等于 例1 设讨论极限 是否存在? (1) 唯一性: 极限值如果存在,则必唯一. 例2 设 求 解 因为所以 存在. 例3 讨论极限 是否存在? 解 因为 而所以极限 不存在. 三、极限的性质当 时必有(2) 保号性: 设 则当 时必有当 时所以当 时所以 1.3 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量1.无穷小量的定义 如果变量 的极限是零,则称变量 为无穷小量.注意几点:例如 是当 时的无穷小量 是当 时的无穷小量 是当 时的无穷小量 是当 时的无穷小量 (1)一般, 说一个变量是无穷小量, 必须指出其变

19、化过程.因同一个变量在不同的变化过程中会有不同的变化趋势,即不同的极限值. (2)由于无论在什么样的变化过程中, 数 0 的极限永远为零, 所以它是无穷小量, 且只有它可以不指出变化过程. (3)不能把无穷小量理解为是很小的数, 关键是要看其极限是否为零.2.无穷小量的性质性质1 两个无穷小量的代数和还是无穷小量.性质2 两个无穷小量的乘积还是无穷小量. 注意: (1)这两个性质均可以推广到有限上去; (2)无穷小量的变化过程相同时, 以上性质才成立. 否则不能相加减及乘积的. 性质3 有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量. 注意: 有界量包括常量;有界函数;在无穷小量的变化过程中有极限的函数.

20、例如 常量 有界函数有极限的函数有界量二、无穷大量1.无穷大量的定义如果一个变量在它的变化过程中, 其绝对值可以 无限增大, 则称该变量为其变化过程中的无穷大量. 例如 是当 时的无穷大量 是当 时的无穷大量 是当 时的无穷大量等等.注意几点 (1)无穷大量并不是很大的数,而是其绝对值可以无限增大的量; (2)说一个量是不是无穷大量,也必须指出其变化过程; (3)无穷大量包括:正无穷大量和负无穷大量. 例如当 时变量 就是一负无穷大量. (4)无穷大量的记号 如: “当 时 是一无穷大量” 可记为 “当 时 是一无穷大量” 可记为等等.2.无穷大量的性质 性质1 两个无穷大量的乘积还是无穷大量

21、.性质2 有界量与无穷大量的和还是无穷大量. 注意: 两个无穷大量的和未必还是无穷大量;有界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量. 三、无穷小量与无穷大量之间的关系 定理 若 是无穷大量, 则 必是无穷小量; 反之,若 是无穷小量, 则 必是无穷大量. 四、无穷小量阶的比较 无穷小量是极限为零的变量, 虽然它们均趋向于零, 但是趋向于零的速度有快有慢, 那么如何比较它们趋向于零的速度的快慢呢? 定义 设 和 是同一变化过程中的两个无穷小量 (1)若 , 则说 是比 较高阶的无穷小量,记作 ; (2)若 , 则说 是比 较低阶的无穷小量, 或者说 是比 较高阶的无穷小量; (3)若 , 则说 和

22、 是同阶无穷小量,记作 ; (4)若 , 则说 和 是等价无穷小量,记作 .例如 因为 所以 因为 所以因为 所以因为 所以 注意:当两个无穷小量的变化过程不同时, 则显然是不能比较阶的高低的; 即使两个无穷小量的变化过程相同, 也未必一定能够比较. 如 和 均是 时的无穷小量, 但不能比较其阶的高低.例1 设当 时 求解 因为 所以有即 法则1. 代数和的极限等于极限的代数和.即 法则 2. 乘积的极限等于极限的乘积.即 法则3. 商的极限等于极限的商(当分母的极限不等于零时) .即注意几点1.4 极限的运算法则一、运算法则(3) 法则1和法则2均可推广到有限上去 ,得 (1) 只有当法则中

23、所有的极限均存在时,法则才成立. 法则 :法则 : 法则4 函数n次幂的极限等于极限的n次幂.即 (2) 符号下面没有写变化过程,意思是对和 均成立特别当 时法则 变为 (4) 当法则2中 时有即常数因子可以提到极限号的外边.二、应用举例 解 原式解 原式例1 求极限例2 求极限 解 显然该函数是一初等函数, 且0点在其定义域内,因此 注意: 显然例1、例2中的极限值就等于其函数在极值点处的函数值. 一般当 为初等函数且 点在其定义域内时有解 原式例3 求极限例4 求极限 例5 求极限原式 解 因为 所以 是无穷小量根据无穷大量与无穷小量的关系知 解 原式 解 因为当 时 是无穷小量 而 是有

24、界量例8 求极限例7 求极限 例6 求极限所以根据无穷小量的性质知 解 原式 解 原式解 原式例8 求极限例9 求极限 综合例7、例8、例9的结论, 易见有例10 求极限例11 求极限解 原式解 原式 1.5 两个重要极限一、两个准则 准则如果函数 满足 (1) (2) 存在则极限 必存在且等于 注意: (1)该准则对于 和 时的函数极限,以及数列的极限均成立;(2)该准则常称为两边夹定理准则单调有界数列必有极限. 对于数列 来说,如果对于任意自然数n恒有 成立, 则称数列 是单调递增(递减)的. 单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列.例如 数列 单调递增 数列 单调递减 对于数列 来说,

25、 如果存在正数 ,使得对于任意的自然数n, 均有 成立.则说该数列有界 例如 数列 有界因为对任意自然数n, 恒有 二、两个重要极限1.证明:首先易见所以只须证 即可 (如图作单位圆,并 作角 见右图)由图中易见有SOACSOABS扇形OAB注意右图演示各图形大小 SOABS扇形OABSOAC 二、两个重要极限1.证明:首先易见所以只须证 即可 (如图作单位圆,并作角 见右图)由图中易见有 SOABS扇形OABSOAC 于是有同除以 得即因为所以例1 求极限即即 解 原式 极限 和 均可当公式使用, 使用时应注意满足以下三个条件 极限的分子必须是正弦函数或者正切函数;分子上的 和 后面可以跟一

26、个函数 ,但分母也必须是 ,即极限形式为 在自变量的变化过程中须是无穷小量, 即 例2 求极限该极限为1例3 求极限解 原式类似可求得可当公式记注使用例4 求极限解 原式例5 求极限解 原式 解 原式例6 求极限解 原式例7 求极限解 原式 2.或例8 求极限解 原式使用第二个重要极限应满足以下三个条件幂指数为 的倒数, 即 在自变量的变化过程中为无穷小量可当公式使用例9 求极限幂底数为 的形式, 为任一函数; 解 原式例10 求极限解 利用上题结果, 令 得, 原式解 原式例12 求极限解 原式例11 求极限 1.6 函数的连续性一、连续函数的概念 当变量 从初值点 变化到终值点 时, 称终

27、值与初值之差 为变量 的改变量, 记作 即注1 可正可负1.函数的改变量 注2 因为当 时必有 , 成立.所以下面三种说法均等价:变量 从 点变化到 点;变量 从 点变化到 + ; 变量 在 点取得改变量 . 对于函数 来说, 如果其自变量 在 点取得改变量 ,则因变量 就会有相应的改变 , 称其为函数 的改变量, 记作 即例如 函数 的改变量为 2.函数在一点处连续的定义注1: 因为 所以 定义1 设函数 在 点的某一邻域内有定义, 当自变量 在 点取得改变量 时, 则有函数 的改变量 , 如果当自变量的改变量 趋于零时, 必然有函数改变量 也趋于零, 即有 ,则称函数 在 点处连续.可见有

28、注2 定义2实际包含有三个条件:(1)函数 在 点的某一邻域内有定义;(3)其极限值等于 点的函数值,即 (2)函数 的极限存在,即 存在; 定义2 设函数 在 点的某一邻域内有定义, 如果当自变量 时, 函数 的极限 存在 , 且其极限值等于 点的函数值, 即 则称函数 在 点处连续. 注3 若 时,则称函数 在 点处左连续;若 时,则称函数 在 点处右连续; 定理 函数 在 点处连续的充分必要条件是 在 点既是左连续的,同时也是右连续的. 注意 一般在证明一个式子所给出的函数在某一点处的连续性时,使用定义1;而在证明或判断或研究分段函数在分段点处的连续性时,使用定义2.证明 给自变量 在

29、点一个增量则相应的有于是有故函数 在点 处连续 例2 研究函数 在 点的连续性例1 证明函数 在点 处连续 解 显而易见该函数在 点及附近有定义,且 ,又可见 存在,且因此该函数在 点处连续3.函数在区间上的连续定义二、初等函数的连续性 定义 如果函数 在区间 上的每一个点 处均连续的话,则称该函数在开区间 上连续;如果函数在开区间 上连续,且在左端点 处右连续,而在右端点 处左连续,则称该函数 在闭区间 上连续.1.连续函数的运算法则如果函数 和 在 点均连续,则在 处也必连续. 如果函数 在 点连续,而函数 在 点也连续,且 ,则复合函数 在 点也必连续.2.初等函数的连续性初等函数在其定

30、义域内均连续3.连续性的应用(1)1. 是初等函数2. 点在 的定义域内 例3 求下列极限解(2)1.2.条 件例4 求下列极限解可看作三、函数的间断点 定义3 若函数 在 点没有定义; 或当自变量 时, 函数 的极限不存在;或其极限值不等于 点的函数值,即 ,则称函数 在 点处不连续或间断,此时 点称为函数 的间断点. 注意: 如果 则 点称为无穷间断点;如果 存在但不相等,则 点称为跳跃间断点;如果极限 存在但不等于 点的函数值( 点可能根本就没定义),则 点称为函数 的可去间断点.函数的间断点(2)显而易见该函数在 点处也没定义,所以点是该函数的间断点,但又因为极限存在,所以 点是可去间

31、断点.解 (1) 显而易见该函数在 点处没定义.所以 点是该函数的间断点,又因为 所以它是无穷间断点.例6 讨论下列函数在所给点的连续性所以 为跳跃间断点.解该函数在 点处显然有定义,且 但四、闭区间上连续函数的性质显然该函数在 点有定义,且 且极限 存在,但由于所以 是该函数的间断点,且是可去间断点 定理1. (最值性) 如果函数 在闭区间 上连续,则函数 在 上一定有最大值和最小值. 推论 如果函数 在闭区间 上连续,则函数 在 上一定有界. 注意: 如果函数 在 上不连续,而在 上连续,定理的结论就不一定成立了. 推论 如果 在闭区间 上连续,且 与 异号,则至少存在一点 ,使得 定理2 (介值性)如果函数 在闭区间 上连续, 和 是函数 在 上的最小值和最大值,则对介于 和 之间的任意一个实数 ,都至少存在一点 ,使得 成立. 注意 常常利用该推论证明某一方程在某一区间上至少存在一个根的问题. 例6 证明方程 在区间 内至少有一根. 证明 令 根据初等函数的连续性,知该函数在 上连续,又因为 异号,由推论知:在 内至少存在一点 ,使得 即方程 在 内至少有一根.1.7 常用的经济函数一、需求函数与供给函数 一般, 当价格上升时,商品的需求量就会下降;反之当价格下跌时,商品的需求量就会上升. 因此一般需求函数是单调递减的.需求函数常见的类型有以下几