北京市西城区师范大学附属2021-2022学年高考数学考前最后一卷预测卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（ ）AB4CD22若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（ ）AB4C2D3框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，则图中空白框中应填入（ ）A，BC，D，4已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ）ABCD5已知为等比数列，则（ ）A9B9CD6如图，平面与平面相交于，点，点，则下

3、列叙述错误的是（ ）A直线与异面B过只有唯一平面与平行C过点只能作唯一平面与垂直D过一定能作一平面与垂直7中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ）ABCD8某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）ABCD9如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）ABCD10二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A180B90C45D36011已知函数，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（）ABCD12设向量，满足，则的取值范围是AB

4、CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知以x2y =0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为_.14命题“”的否定是_15甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是_16秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分別为4，5，则输出的值为_. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持

5、，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为

6、质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.18（12分）已知椭圆的焦点为，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.19

7、（12分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列20（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.21（12分）如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若，且.（）若，证明：平面；（）若二面角为，

8、求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22（10分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，求四边形面积的最大值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】由得，又，两式相除即可解出【详解】解：由得，又，或，又正项等比数列得，故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题2D【解析】由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模【详解】，故选：D【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复

9、数与模的定义，属于基础题3A【解析】依题意问题是，然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，观察程序框图可知，应填入，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.4A【解析】首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.【详解】根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，所以，所以又，所以的最小值为故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.5C【解析】根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【详解】,又,可解得或设等比数列的公比

10、为,则当时, ；当时, ,.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.6D【解析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面，则A，D，B，C共面，则AB，CD共面，与，矛盾， 故正确.B. 根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.7A【解析】先求出，由正弦定理求

11、得，然后由面积公式计算【详解】由题意，由得，故选：A【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解8C【解析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9C【解析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰

12、直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为.故选：C【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.10A【解析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.11A【解析】根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.【详解】函数，由题意得，即，令，在

13、上单调递增，在上单调递减，而，当且仅当，即当时，等号成立，.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.12B【解析】由模长公式求解即可.【详解】，当时取等号，所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.14，【解析】根据特称命题的否定

14、为全称命题得到结果即可.【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，则该命题的否定是：，故答案为：，【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题15【解析】分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】甲被录取的概率；乙被录取的概率；只有一人被录取的概率.故答案为：.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.161055【解析】模拟执行程序框图中的程序，即可求得结果.【详解】模拟执行程序如下：，满足，满足，满足，满足，不满足，输出.故答案为：1055.【点睛】本题考查程序框图的模拟执行，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证

15、明过程或演算步骤。17（1）；（2）可能是2件；详见解析【解析】（1）由一件手工艺品质量为B级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）先求得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，可知，分别令、，可求出使得最大的整数，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可.【详解】（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.（2）由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，则，其中，.由得，整数不存在，由得，

16、所以当时，即，由得，所以当时，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，一件手工艺品质量为C级的概率为，一件手工艺品质量为D级的概率为，所以X的分布列为：X900600300100P则期望为.【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18（1）；（2）当0时，点O到直线MN的距离为定值.【解析】（1）的面积最大时，是短轴端点，由此可得，再由离心率及可得，从而得椭圆方程；（2）在直线斜率存在时，设其方程为，现椭圆方程联立消元

17、（）后应用韦达定理得，注意，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论【详解】（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到轴距离最大，此时面积最大，所以，由，解得，所以椭圆方程为（2）在时，设直线方程为，原点到此直线的距离为，即，由，得，所以，所以当时，为常数若，则，综上所述，当0时，点O到直线MN的距离为定值.【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力解题方法是“设而不求”法在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式19（1）；（2）见解析.【解析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；（2）由题意可知随机变

18、量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列.【详解】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则；（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、则，故的分布列为【点睛】本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.20（1）；（2）【解析】（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；（2）设出切线的斜率分别为，切点，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.【详解】（1）设点，点到直线的距离等于，化简得，动点的轨迹的方程为.（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，设点，过点的拋物线的切线方程为，联立，化简可得，即，.由，求得导函数，因为点满足，由圆的性质可得，即直线斜率的取值范围为.【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中