北京市海淀区第二十2022年高考数学四模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A的虚部为BC的共轭复数为D为纯虚数2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）ABCD843设函数（，为自然对

2、数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD4已知是等差数列的前项和，若，则（ ）A5B10C15D205若函数的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2,则函数的图像可能是（ ）ABCD6已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）A0B1C2D37己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（ ）ABCD8设，则“ “是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必条件9如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的

3、是（）A2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长C2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元10已知i是虚数单位，则1+ii+i1+i=（ ）A-12+32i B12-32i C32+12i D32-12i11已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ）ABCD12双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（ ）AB3CD2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则下

4、列结论中正确的是_.是周期函数；的对称轴方程为，；在区间上为增函数；方程在区间有6个根.14对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_；若不等式恒成立，则的最大值为_15已知集合,则_16设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（为实常数）.（1）讨论函数在上的单调性；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.18（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中

5、位数（结果精确到）；（2）若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个，设表示尺寸在上的零件个数，求的分布列及数学期望；（3）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品，将这个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了个，结果有个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理

6、由.19（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：x13412y5152258y与x可用回归方程 （ 其中，为常数）进行模拟（）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元|（）据统计，10月份的连续11天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图所示（i）若从箱数在内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在内的概率；（）求这11天该农户每天为甲地配送的该新奇水

7、果的箱数的平均值（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设，则0.541.81.530.45线性回归直线中，20（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等比数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.21（12分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、试判断是否为定值,并说明理由22（10分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种

8、支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.（参考公式：（其中）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为，错误；，错误；，错误；，为纯虚

9、数，正确本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.2B【解析】画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3D【解析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，所以在上单调递减，所以在R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，所以函数在时单调递减，由选项知，又因为，所以要使在

10、时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.4C【解析】利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可【详解】令，则，.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题5B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定故选B6C【解析】设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程【详解】若直

11、线与曲线切于点，则，又，解得，过点与曲线相切的直线方程为或，故选C【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题7A【解析】根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示：取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心，取是的外心，作平面平面，则是四棱锥的外接球球心，且，设四棱锥的外接球半径为，则，而，所以，故选：A.【点睛】本题考查组合体、球，还考查空间

12、想象能力以及数形结合的思想，属于难题.8B【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由，得，又由，得，因为集合，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.9C【解析】利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低

13、排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.10D【解析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】1+ii+i1+i=-i1+i-i2+i1-i1+i1-i=-i-i2+i-i22=-i+1+i2+12=32-12i故选D【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。11A【解析】依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公

14、式即可求出结果。【详解】因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。由有，解得，所以，故选A。【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。12A【解析】设，直线的方程为，联立方程得到，根据向量关系化简到，得到离心率.【详解】设，直线的方程为.联立整理得，则.因为，所以为线段的中点，所以，整理得，故该双曲线的离心率.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由函数，对选项逐个验证即得答案.【详解】函数，是周期函数，最小正周期为，故正确；当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即.的对称轴方程

15、为，故正确；当时，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故错误；作出函数的部分图象，如图所示方程在区间有6个根，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.14 【解析】将代入求解即可；当为奇数时,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.【详解】由题,解得.当为奇数时,由,得,而函数为单调递增函数,所以,所以；当为偶数时,由,得,设,单调递增,所以,综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.故答案为:(1)；(2)【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思

16、想.15【解析】直接根据集合和集合求交集即可.【详解】解: ,所以.故答案为: 【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.16.【解析】当q=1时，.当时，所以.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析（2）【解析】（1）分类讨论的值，利用导数证明单调性即可；（2）利用导数分别得出，时，的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1），.当即时，此时，在上单调递增；当即时，时，在上单调递减；时，在上单调递增；当即时，此时，在上单调递减；（2）当时，因为在上单调递增，所以的最小值为，所以当时，在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为.因为，所以，.所以，所以

17、.当时，在上单调递减所以的最小值为因为，所以，所以，综上，.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题，属于中档题.18（1）；（2）分布列见详解，期望为；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.【解析】（1）计算的频率，并且与进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.（2）计算位于之外的零件中随机抽取个的总数，写出所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.【详解】（1）

18、尺寸在的频率：尺寸在的频率：且所以可知尺寸的中位数落在假设尺寸中位数为所以所以这个零件尺寸的中位数（2）尺寸在的个数为尺寸在的个数为的所有可能取值为1，2，3，4则，所以的分布列为（3）二等品的概率为如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为（元）余下二等品的个数期望值为如果不对余下的零件进行检验，整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为（元）所以，所以可以不对余下的零件进行检验.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.19（）1131；（）（i）；（）125箱【解析】（）根

19、据参考数据得到和，代入得到回归直线方程，再代入求成本，最后代入利润公式；（）（）首先分别计算水果箱数在和内的天数，再用编号列举基本事件的方法求概率；（）根据频率分布直方图直接计算结果.【详解】（）根据题意，所以，所以又，所以所以时，（千元），即该新奇水果100箱的成本为8314元，故该新奇水果100箱的利润（）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在内的天数为设这两天分别为a，b，水果箱数在内的天数为，设这四天分别为A，B，C，D，所以随机抽取2天的基本结果为，共15种满足恰有1天的水果箱数在内的结果为，共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在内的概率为 （）这11天该农户每天为甲地配送的该新奇水

20、果的箱数的平均值为（箱）【点睛】本题考查考查回归直线方程，统计，概率，均值的综合问题，意在考查分析数据，应用数据，解决问题的能力，属于中档题型.20（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明.（2）既是“数列”又是“数列”，可得，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案.【详解】（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得：等比数列是“数列”. （2）证明：既是“数列”又是“数列”，可得，（） （），（） 可得：对于任意都成立，即 成等比数列，即成等比数列， 成等比数列， 成等比数列，设，（）数列是“数列”时，由（）可得： 时，由（）可得： ，可得，同理可证成等比数列， 数列是等比数列【点睛】本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.21（1）（2）为定值【解析】（1）根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程（2）根据题意设直线方程