基于Melnikov函数的Duffing系统微弱信号检测(共6页)

1、基于(jy)Melnikov函数(hnsh)Duffing系统微弱(wiru)信号检测 张刚 胡韬 王颖(重庆邮电大学 信号与信息处理重庆市重点实验室 重庆 400065)摘 要：在传统的混沌振子检测微弱信号方法中，当系统进入间歇性混沌状态时，可以通过找到间歇性混沌周期，来计算微弱信号频率。然而直接从时域图上观察所得的间歇性混沌周期容易出现较大的误差。针对这个问题，提出了基于Melnikov函数的Duffing振子微弱信号检测方法，能够检测正弦微弱信号频率，并应用此法对强噪声背景下的微弱正弦信号检测进行仿真。理论分析及仿真结果表明基于Melnikov函数对微弱信号进行检测，可以更加清晰明确地检

2、测出微弱信号的频率。关键词：Duffing混沌振子；间歇性混沌周期；时域图；Melnikov函数 中图分类号: TN911.23 TP391.9 文献标识码: A 国家标准学科分类代码: 510.4010 The Weak Signal Detection Based on Duffing System and Melnikov FunctionZhang Gang, Hu Tao, Wang Ying(Chongqing Key Laboratory of Signal and Information Processing,Chongqing University of Posts and

3、Telecommunications, Chongqing 400065, China)Abstract：In traditional weak signal detection method using chaotic oscillators, the weak signals frequency can be calculated by finding the intermittent chaos period when the chaotic oscillator system comes into intermittent chaos state. However, there is

4、large error between the actual value and the theoretical value when observing the intermittent chaos cycle from the time-domain diagram. For this problem, a novel weak signal detection method is proposed in this paper based on Melnikov function and the Duffing chaotic oscillator system. The weak sin

5、e signals frequency can be calculated by this method and the simulations are also carried out on weak sine signal under the strong background noise. Theoretical analysis and simulation results show that this method can detect the weak sine signals frequency more distinctly and accurately based on ch

6、aotic oscillator system and Melnikov function.Key words：Duffing chaotic oscillator; Intermittent chaos period; Time-domain diagram; Melnikov function 1. 引 言1972年美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E. N. Lorenz在美国科学发展学会第139次会议上发表题为蝴蝶效应的论文，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。随着混沌学的快速发展，其被应用于微弱信号检测领域，如今微信号检测技术在各个工程领域中都有着广泛的应用1。传统方法进行信号检测存

7、在较高的信噪比门限且效果很差2 ，而Duffing振子是一类能够产生混沌现象的非线性系统，利用它对初值的敏感性和对噪声的免疫性，能够对强噪声背景下的微弱信号进行检测，并且表现出良好的效果3。利用Duffing振子检测微弱周期信号的频率，需要使得系统处于间歇性混沌周期状态，并且找到准确的间歇性混沌周期。然而判断系统是否为间歇性混沌周期是操作中非常关键的一部。通常所用的方法是直接观察系统处于间歇性混沌状态的时域图，以此得到间歇性混沌周期T。文献4利用混沌振子阵列检测微弱周期信号的频率便是直接从时域图上读取周期信息。文献5则是利用改进的循环混沌振子检测系统来检测弱周期信号频率。然而这些方法对微弱周期

8、信号频率的检测都存在较大误差。一个系统是否为混沌状态(zhungti)有很多种判断标准。其中Lyapunov指数法被广泛应用到微弱信号检测之中，相比于需要大量时间计算的Lyapunov指数法，本文提出一种基于Melnikov函数的Duffing混沌振子系统来检测弱周期信号的频率，能够更加简单、快速、有效(yuxio)的提高频率值检测的精度。2. 基于(jy)Duffing振子的微弱信号检测原理Duffing方程是目前研究混沌中最为常用的模型之一，其标准形式为6： (1)式中：为阻尼比，为非线性恢复力，和分别为系统策动力的幅值和频率。当时，方程即为Holmes型Duffing方程 (2)考虑对D

9、uffing振子进行时间尺度的变换，实现对任意频率的周期信号进行检测，以此提高系统的普适性。对(2)式变形，令，则 (3)将式(3)代入式(2)，再令，得其动力学方程 (4)不考虑输入信号和噪声的影响，当阻尼比固定时，Duffing振子的相轨迹的变化取决于系统策动力幅值，随着从0开始逐渐增大，系统经历同宿轨道、周期分叉、混沌轨迹、临界混沌态和大尺度周期态。其中当时，系统进入临界混沌态。Duffing振子检测强噪声背景下的微弱信号，正是利用系统状态的跃迁，当系统进入临界混沌态的时候，若加入与系统策动力同频率或频率相近的待测微弱信号，系统就发生相变进入大尺度周期状态，从而实现对微弱信号的检测7。在

10、系统中加入待测信号，可得 (5)式(5)中，由于Duffing混沌系统对噪声具有较强的免疫力，且是非周期性的影响，而间歇性混沌态是周期的。为了便于论述，可以忽略噪声的影响。设，其中为频率差，得到Duffing系统的总策动力为： (6)总策动力幅值： (7)总策动力相位 (7)由于，故可以忽略的影响。文献8和9研究了不同条件时系统表现的复杂动力学行为：时， (9)则系统发生相变，否则系统处于混沌态。 时，由于频率差和相位差的影响，系统将处于间歇性混沌态。(a)混沌(hndn)状态相平面轨迹(b)大尺度周期(zhuq)太相平面轨迹图1 Duffing系统(xtng)相平面状态图3. 混沌判据分析在

11、进行微弱信号幅值估计时，首先要确定临界值，最常用的两中方法为Lyapunov指数法和Melnikov函数方法。Lyapunov指数法10。由(2)式得到其偏差方程 (10)令，则其矢量微分方程为 (11)求其特征根和，则两个Lyapunov指数为 (12) 传统上Lyapunonv指数法判别系统状态的基本思想是通过判别最大Lyapunov指数的大小来判别系统态：1） 当时，系统处于混沌状态。2） 当时，系统处于大尺度周期态。Melnikov函数法11。对正弦信号检测方程： (13)当时，式(13)为Hamilton系统，其Hamilton量为12 (14)当时，可以解得两条连结双曲鞍点的同宿轨

12、道，其表达式为：，由此得出其Melnikov函数为13： (14)在一定条件下，与在关系平面上存在着一条界带区域，在此区域内取值时，系统的Poin映射存在Smale马蹄变换意义下的混沌。由Melnikov定理可知存在，使得，且此时系统可能出现如下混沌解：1） 当时，其阈值为： 2） 当时，其阈值为：4. 振子(zhn z)阵列检测微弱信号频率 由(7)式可知(k zh)，当且时，随着系统(xtng)策动力的缓慢变化，系统将明显的呈现出间歇性混沌状态；而当时，由于相变变化速度加快，系统将很难长期保持周期或者混沌状态，固间歇性混沌状态不能被分辨出来。图3时间歇性混沌状态图4时混沌状态根据上述原理，

13、设计一个混沌振子阵列，组成一个公比为0.03的等比数列，将参考信号的频率限制在到之间，则由此定义的等比数列振子阵列为： ，。如果待测微弱信号频率在参考信号频率之间，则间歇性混沌一定会出现在其中两个振子之间，其他振子则依然处于混沌状态。由此可知，待测微弱信号的频率处于与之间。由间歇性混沌周期，再由发生间歇性混沌振子与的循环周期为，得频率差为，。根据以上条件计算待测微弱信号频率为： (16)5. Melnikov函数法检测微弱信号频率原始公式如下： (17)求出Duffing系统的Melnikov函数为式(15)，利用混沌振子检测微弱信号的时候，对于混沌状态的判别有很多方法，最常用的方法为上述提到

14、的Lyapunov指数法，这种混沌判据的方法被广泛应用到微弱信号检测中。但就整体而言， Lyapunov指数计算量非常复杂，相比之下Melnikov函数要简单有效得多。Melnikov方法的核心思想就是把需要研究的系统归结为一个二维映射系统，计算稳定流行与不稳定流行之间的距离。若稳定流行与不稳定流行横截相交，出现横截同宿点或横截异宿点，系统可能出现马蹄图形，从而系统可能出现混沌解；如果Melnikov函数停留在0附近震荡，则系统轨迹处于混沌态；如果Melnikov函数直接停留在0点，则系统处于周期态。利用Melnikov函数的这个性质，可以用其判断间歇性混沌状态，因此可用于微弱信号频率的检测，

15、从而提高检测的精度。6. 仿真对比分析首先构建一个阻尼比的Duffing系统检测模型。设待测信号为，其中，。实验（1）：构造一个混沌振子阵列，由频率分别为1.00，1.03，1.06的三个Duffing振子组成。在系统中输入待测微弱信号，仿真结果如下图所示。(a)(b)(c)图5 Duffing振子(zhn z)阵列时域图由图可得，则，。根据(gnj)式(17)计算(j sun)出待测信号频率为，误差为0.6971%。实验（2）：取与实验相同的待测微弱信号，加入策动力频率的Duffing系统中，Melnikov函数法仿真图如下。图6 间歇性混沌状态的Melnikov函数图根据图6可知，则，则待

16、测微弱信号频率为，误差为1.25%。上述两个实验结果表明：Melnikov函数在检测微弱信号频率时能更加简洁、精确地检测出信号的频率值。7. 结 论本文利用混沌判据的特性，深入分析和研究了多种判据的优缺点，首先研究了最常见的Lyapunov指数法，并分析了它的特性，其次提出用Melnikov函数法来判别并计算待测微弱信号的频率，最后通过对比混沌振子阵列检测微弱信号频率，证明Melnikov函数法简单有效，并且能够很好的减小检测误差，证明此法能够被用于检测计算待测微弱信号频率。参考文献1 张晓，刘建国.雷达相控单元故障检测系统的设计与实现J.国外电子测量技术，2013,32（12）:72-75.

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19、onditionJ. Chinese Journal of Scientific instrument, 2012, 33(12): 2857-2862.4 VAHEDI H, GHAREHPETIAN G B, KARRAR M. Application of Duffing Oscillators for Passive Islanding Detection of Inverter-Based Distributed Generation UnitsJ. Power Delivery, IEEE Transactions on, 2012, 27(4): 1973-1983.5 JIN

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