第6讲 一元二次方程根与系数的关系（解析版）

1、本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享【第6讲】 一元二次方程根与系数的关系编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【基础知识回顾】知识点1 一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1) 当时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：(2) 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当时，右端是负数因此，方程没有实数根由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：知识点2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为

2、：所以：， 韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：【合作探究】探究一 与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) (2) (3) 【解析】：(1) ， 原方程有两个不相等的实数根 (2) 原方程可化为： ， 原方程有两个相等的实数根 (3) 原方程可化为： ， 原方程没有实数根归纳总结：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式【练习1-1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根【解析】：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【练

3、习1-2】已知实数、满足，试求、的值【解析】：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：综上知：探究二 一元二次方程的根与系数的关系【例2-1】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 归纳总结：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等韦达定理体现了整体思想【练习2】若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23【解析】：x1和x2分别是一元二次方程2x25x

4、30的两根，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26，| x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()【例2-2】已知两个数的和为4，积为12，求这两个数【解析】：法一 设这两个数分别是，则或因此，这两个数是2和6法二 由韦达定理知，这两个数是方程24120的两个根解方程得：12，26所以，这两个数是2和6【例2-2】关于的方程，根据下列条件，分别求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足【解析】：(1) 方程两实根的积为5 所以，当时，方程两实根的积

5、为5(2) 由得知：当时，所以方程有两相等实数根，故；当时，由于 ，故不合题意，舍去综上可得，时，方程的两实根满足探究三 一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围【解析】：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 a eq f(17,4) a的取值范围是a4【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。【解析】：解一：由 解得：解二：设，则如图所示，只须，解得【练习3-1】已知一元二次方程一个根小于0，另一根大于2，求的取值范围。【解析】：如图，

6、设则只须，解之得 【课后作业】1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()ABCD2若是方程的两个根，则的值为()ABCD3已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()ABCD4若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )ABCD大小关系不能确定5若实数，且满足，则代数式的值为()ABCD6如果方程的两根相等，则之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _ 8若方程的两根之差为1，则的值是 _ 9设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _ ，= _ 10已知

7、实数满足，则= _ ，= _ ，= _ 11对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10你是否同意他的看法？请你说明理由12已知关于的一元二次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值13已知关于的方程有两个不相等的实数根(1) 求的取值范围；(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请你说明理由14已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值【参考答案】1 B2 A3A4A5A67 38 9或91011正确1213(2) 不存在14解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23