2021-2022学年江苏省南京市玄武区九年级(上)期中数学试卷 (解析版)

1、2021-2022 学年江苏省南京市玄武区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1已知一组数据 3，7，5，3，2，这组数据的众数为（）A2B3C4D5 2用配方法解方程 x24x1 时，配方所得的方程为（）A（x+2）21B（x2）21C（x+2）25D（x2）25 3已知O 的直径为 10cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 10cm，直线 l 与圆 O 的位置关系为（）A相交B相切C相离D无法确定4下列说法中错误的是（）抛掷一枚质地均匀

2、的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数” 是等可能的一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球，“摸到白球”和“摸到红球”是等可能的如图，O 是ABC 的外接圆，A62，E 是 BC 的中点，连接 OE 并延长交O 于点 D，连接 BD，则D 的度数为（）A58B59C60D61如图，将半径为 2cm 的圆形纸片翻折，使得则阴影部分的面积为（）、 恰好都经过圆心 O，折痕为 AB、

3、BC，cm2Bcm2C cm2D cm2二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）一元二次方程 x2x 的解为某招聘考试分笔试和面试两项，笔试成绩和面试成绩按3：2 计算平均成绩若小明笔试成绩为 85 分，面试成绩为 90 分，则他的平均成绩是 分如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按 1：2：3：4 的比例分成 A，B，C，D 四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘 1 次，则停止后指针恰好落在 B 区域的概率 为 若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 有实数根，则 k 的取值范围是 若一个圆锥的底面半径

4、为 2，母线长为 6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 如图，在扇形 OAB 中，C 为数为上的点，连接 AC、BC，若ACB2O，则O 的度如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点 O 是这段弧所在圆的圆心C 是上的点，OCAB，垂足为 M若 AB10m，CM1m，则O 的半径为m如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，OCOA，OC 交 AB 于点 D若BDC68，则ABC 的度数为如图，六边形 ABCDEF 是O 的内接正六边形，分别以点 A、D 为圆心，AE 长为半径作弧，在O 外交于点G，连接OG若O 的半径为1，则 OG 的长度为三、解答题（本大题共 11 小题，共 88

5、分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解下列方程：（1）x26x50；（2）3x（x+2）2x+4一个不透明的袋子装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸出白球的概率为搅匀后从中任意摸出1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1 个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6 次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图填写下列表格：平均数/分中位数/分众数/分甲9093乙87.585分别求出甲、乙两位同学 6 次成绩的方差你认为选择哪一位同学参加知

6、识竞赛比较好？请说明理由如图，在一个长 16m，宽 12m 的矩形花圃外围铺设等宽的小路，且铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，求小路的宽度如图，点 A、B、C 在O 上，OB 平分ABC求证：BABC连接 AC，若 AC6，AB5，求O 的半径已知关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+k10求证：不论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根若 x ，x 为该方程的两个实数根，且满足 x （x 2）2x，求 k 的值12122如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BDBC，BA、CD 延长线交于点 E求证：EADBAC；若的度数为 64，则E 的度数为如图，AB 是O 的直径，BC 与

7、O 相切于点 B，AD 是O 的弦，ADOC，延长CD、BA 相交于点 E求证 CE 是O 的切线；若 A 恰好是 OE 的中点，AD3，则阴影部分的面积为已知 A、B、C、D 四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（不写作法， 保留作图痕迹）如图，ABCD，在图中作出该圆的一条直径；如图，AB、BC、CD 是圆内接正五边形的三条边，在图中作出该圆的圆心某餐馆推出特色小吃，推出了“堂食”和“外卖”两种销售方式当特色小吃以“外卖” 方式售出时，餐馆需额外支付网络平台服务费，服务费为“外卖”销售额的20%（注： 收入销售额服务费）根据以上信息，解决下列问题：（1）10 月份，该餐馆需额外支付

8、的服务费为元，该月收入为元；（2）经调研，该餐馆在 10 月份“堂食”600 份销量的基础上，“堂食”价格每提高 1元，“堂食”的销量就减少 5 份，但提高后的价格不能超过 30 元/份；“外卖”价格始终保持不变该餐馆计划11 月份只做 800 份特色小吃，预计全部售完问“堂食”如何定价，11 月份的收入是 10760 元？【数学概念】有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”【概念理解】关于“对分四边形”，下列说法正确的是（填所有正确的序号）菱形是“对分四边形”“对分四边形”至少有两组邻边相等“对分四边形”的对角线互相平分【问题解决】如图，PA 为O 的切线，A 为切点在O 上是否存在

9、点 B、C，使以P、A、B、C 为顶点的四边形是“对分四边形”？小明的作法：以 P 为圆心，PA 长为半径作弧，与O 交于点 B；连接 PO 并延长，交O 于点 C；点 B、C 即为所求请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB 是“对分四边形”如图，已知线段 AB 和直线 l，请在图中利用无刻度的直尺和圆规，在直线 l上作出点 M、N，使以 A、B、M、N 为顶点的四边形是“对分四边形”（只要作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）如图，O 的半径为 5，AB 是O 的弦，AB8，点 C 是O 上的动点，若存在以 A、B、C、D 为顶点的四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是O 的

10、切线，直接写出 AC 的长度参考答案一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1已知一组数据 3，7，5，3，2，这组数据的众数为（）A2B3C4D5【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）得出即可解：在数据 3，7，5，3，2 中，3 出现了 2 次，出现的次数最多， 则这组数据的众数为 3故选：B用配方法解方程 x24x1 时，配方所得的方程为（）A（x+2）21B（x2）21C（x+2）25D（x2）25【分析】根据配方法即可求出答

11、案 解：x24x1，x24x+41+4，（x2）25， 故选：D已知O 的直径为 10cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 10cm，直线 l 与圆 O 的位置关系为（）相交B相切C相离D无法确定【分析】由O 的直径为 10cm，点 O 到直线 l 的距离为 10cm，可得点 O 到直线 l 的距离大于O 的半径即可求得答案解：O 的直径为 10cm，点 O 到直线 l 的距离为 10cm，直线 l 与O 的位置关系是相离 故选：C下列说法中错误的是（）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的抛

12、掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数” 是等可能的一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球，“摸到白球”和“摸到红球”是等可能的【分析】根据概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的，正确，不符合题意；B、甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的， 正确，不符合题意；C、抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数” 是等可能的，正确，不符合题意；D、一只不透明的袋子

13、中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球，“摸到白球”的概率大于“摸到红球”的概率，故本选项错误，符合题意；故选：D如图，O 是ABC 的外接圆，A62，E 是 BC 的中点，连接 OE 并延长交O 于点 D，连接 BD，则D 的度数为（）A58B59C60D61【分析】连接 CD，根据圆内接四边形的性质得到BDC180A118，根据垂径定理得到 ODBC，求得 BDCD，根据等腰三角形的性质得到ODBODC BDC，即可求出ODB 的度数 解：连接 CD，四边形 ABDC 是圆内接四边形，A62，CDB+A180，BDC180A118，E 是边 B

14、C 的中点，ODBC，BDCD，ODBODC BDC59， 故选：B如图，将半径为 2cm 的圆形纸片翻折，使得则阴影部分的面积为（）、 恰好都经过圆心 O，折痕为 AB、BC，cm2Bcm2C cm2D cm2【分析】作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出OAD30，得到AOB2AOD120，进而求得AOC120，再利用阴影部分的面积S 扇形AOC 得出阴影部分的面积是O 面积的 ，即可得出结果解：作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO，如图所示：OD AOOAD30，AOB2AOD120， 同理BOC120，AOC120，阴影部分的面积S 扇形BOC O 面积 22

15、（cm2）； 故选：C二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12一元二次方程 x2x 的解为 x 0，x 1【分析】首先把 x 移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案 解：x2x，移项得：x2x0，x（x1）0，x0 或 x10，12x 0，x 112故答案为：x 0，x 1某招聘考试分笔试和面试两项，笔试成绩和面试成绩按3：2 计算平均成绩若小明笔试成绩为 85 分，面试成绩为 90 分，则他的平均成绩是87分【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案解：小明的平均成绩是：87（分）故答

16、案为：87如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按 1：2：3：4 的比例分成 A，B，C，D 四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘 1 次，则停止后指针恰好落在 B 区域的概率 为 0.2 【分析】首先确定在图中 B 区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向 B 区域的概率解：一个圆形转盘按 1：2：3：4 的比例分成 A、B、C、D 四个扇形区域，圆被等分成 10 份，其中 B 区域占 2 份，落在 B 区域的概率0.2；故答案为：0.2若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 有实数根，则 k 的取值范围是k1【分析】根据方程有实数根得出0，据此列出不等式求解

17、即可求出 k 的取值范围 解：关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 有实数根，2241（k）0， 解得 k1，故答案为：k1若一个圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长， 然后根据弧长公式即可求解解：圆锥侧面展开图的弧长是：224（cm），设圆心角的度数是 n 度则解得：n120 故答案为 120如图，在扇形 OAB 中，C 为数为724，上的点，连接 AC、BC，若ACB2O，则O 的度【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得出OCAOAC，OCBOBC，由四边形内角和为 360可得

18、出AOB72解：连接 OC，AOOC，OCOB，OCAOAC，OCBOBC，ACBOCA+OCBOAC+OBC，AOB+OAC+OBC+ACB360，AOB+2ACB360，又ACB2AOB，5AOB360，AOB72， 故答案为：72如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点 O 是这段弧所在圆的圆心C 是上的点，OCAB，垂足为 M若 AB10m，CM1m，则O 的半径为13m【分析】设O 的半径为 rm，由垂径定理得AMBM AB5（m），在 RtAOD 中， 由勾股定理得出方程，解方程即可解：连接 OA，如图所示： 设O 的半径为 rm，OCAB，AB10m，AMBM AB5（m），在 R

19、tAOD 中，由勾股定理得：OA2OM2+AM2， 即：r2（r1）2+52，解得：r13，即O 的半径为 13m 故答案为：13如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，OCOA，OC 交 AB 于点 D若BDC68，则ABC 的度数为68【分析】根据切线的性质得OBC90，则利用 OCOA 得到AOC90，则可计算出OAD22，由于DBADAB22，则可利用互余计算出ABC 的度数 解：连接 OB，BC 为切线，OBOB，OBC90，OCOA，AOC90，ODABCC68，OAD906822，OAOB，OBAOAB22，ABC90OBA902268 故答案为：68如图，六边形

20、ABCDEF 是O 的内接正六边形，分别以点 A、D 为圆心，AE 长为半径作弧，在O 外交于点 G，连接 OG若O 的半径为 1，则 OG 的长度为【分析】如图，连接 AG，AD，AE，OE，过点 O 作 OHAE 于点 H解直角三角形求出 AE，再利用勾股定理求出 OG 即可解：如图，连接 AG，AD，AE，OE，过点 O 作 OHAE 于点 HOHAE，AHEH，AOE120，OAEOEA30，AE2AH21cos30，AGACOGAD，OG，故答案为：三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解下列方程：（1）x

21、26x50；（2）3x（x+2）2x+4【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可解：（1）x26x50，x26x5，x26x+95+9，即（x3）24，x31x 3+，2，x 3；（2）3x（x+2）2x+4，3x（x+2）2（x+2），（3x2）（x+2）0，3x20 或 x+20，12x ，x 2一个不透明的袋子装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸出白球的概率为搅匀后从中任意摸出1

22、 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1 个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9 种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有4 种，再由概率公式求解即可解：（1）搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸出白球的概率为 ，故答案为： ；（2）画树状图如下：共有 9 种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有4 种，恰好摸出一个红球一个白球的概率为 为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6 次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图填写下列表格：平均数/分中位数/分众数/分甲90乙90 91938

23、7.585分别求出甲、乙两位同学 6 次成绩的方差你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由【分析】（1）根据中位数的定义和平均数的计算公式进行解答即可；根据方差公式进行计算即可；根据方差的意义即可得出答案解：（1）把这些数从小到大排列为：82，85，89，93，93，98， 则甲同学的中位数是91（分），乙同学的平均数是： （95+85+90+85+100+85）90（分）， 故答案为：91，90；（2）甲同学的方差是： （8590）2+（8290）2+（8990）2+（9890）2+（9390）2+（9390）2（分 2），乙同学的方差是： （9590）2+（8590）2+（909

24、0）2+（8590）2+（10090）2+（8590）2（分 2），（3）选择甲同学因为两人的平均数相同，说明两人实力相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲同学发挥更稳定，因此甲同学成绩更优秀，可以选择甲同学参加竞赛如图，在一个长 16m，宽 12m 的矩形花圃外围铺设等宽的小路，且铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，求小路的宽度【分析】设小路的宽为 xm，得出花园的长为（16+2x）m，花园的宽为（12+2x）m，再根据铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，根据长方形的面积公式，即可列出方程， 从而求出符合条件的解解：设小路的宽度是 xm，根据题意得出：（16+2x）（12+2x）1612 16

25、12， 整理得：x2+14x320，12解得 x 2，x 16（不合题意，舍去） 答：小路的宽度是 2m如图，点 A、B、C 在O 上，OB 平分ABC求证：BABC连接 AC，若 AC6，AB5，求O 的半径【分析】（1）连接 OA，OC，根据三角形的内角和定理得到AOB180OABOBA1802OBA，同理，COB1802OBC，根据角平分线的定义得到OBCOBA，求得AOBCOB，由等腰三角形的判定定理得到 ABBC；（2）延长BO 与 AC 交于 D，与O 交于 E，根据等腰三角形的性质得到BEAC，求得ADDC AC3，根据勾股定理即可得到答案【解答】（1）证明：连接 OA，OC，O

26、AOB，OABOBA，AOB180OABOBA1802OBA， 同理，COB1802OBC，OB 平分ABC，OBCOBA，AOBCOB，ABBC；（2）解：延长 BO 与 AC 交于 D，与O 交于 E，ABBC，OB 平分ABC，BEAC，BE 是O 的直径，ADDC AC3，ADB90，AD2+BD2AB2，52+BD232，BD4，设 AOBOx，则 DOBDBO4x，ODAD，AD2+OD2AO2，32+（4x）2x2， 解得：x，O 的半径为已知关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+k10求证：不论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根若 x ，x 为该方程的两个实数根，且满足

27、 x （x 2）2x，求 k 的值12122【分析】（1）先计算判别式的值，再进行配方法得到（2k1）2+3，则根据非负数 的性质可判断0，然后根据判别式的意义得到结论；121 2121 2（2）利用根与系数的关系得x +x 2k，x x k1，再利用 2（x +x ）x x 0 得到2（2k）（k1）0，然后解一次方程即可【解答】（1）证明：（2k）24（k1）4k24k+4（2k1）2+3，（2k1）20，0，不论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；121 2（2）解：根据根与系数的关系得 x +x 2k，x x k1，122x （x 2）2x ，121 22（x +x ）x x 0

28、，2（2k）（k1）0，k 如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BDBC，BA、CD 延长线交于点 E求证：EADBAC；若的度数为 64，则E 的度数为32【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到BAD+BCD180，进而得到EADBCD，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质证明即可；（2）先求出ACB32，再根据三角形内角和定理计算，求出E【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BAD+BCD180，BAD+EAD180，EADBCD，BDBC，BDCBCD，由圆周角定理得：BACBDC，EADBAC；（2）解：的度数为 64，ACB32，EADBAC，EDAABC

29、，EACB32， 故答案为：32如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，AD 是O 的弦，ADOC，延长CD、BA 相交于点 E求证 CE 是O 的切线；若 A 恰好是 OE 的中点，AD3，则阴影部分的面积为【分析】（1）连接 DO，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明CODCOB则根据“SAS”可判断CODCOB，所以CDOCBO再根据切线的性质得CBO90，则CDO90，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质得：OA3，由勾股定理可求解 DE 的长，证明OAD 是等边三角形，最后根据面积差可得结论【解答】（1）证明：连接 DO，如图 1，OCAD

30、，DAOCOB，ADOCOD， 又OAOD，DAOADO，CODCOB，在COD 和COB 中，CODCOB（SAS），CDOCBOBC 是O 的切线，CBO90，CDO90，ODCE，又点 D 在O 上，CD 是O 的切线；（2）解：ODE90，A 是 OE 的中点，AD OE3OA，OAOD3，AOD 是等边三角形，AOD60，由勾股定理得：DE3，阴影部分的面积SSODE扇形 OAD故答案为：已知 A、B、C、D 四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（不写作法， 保留作图痕迹）如图，ABCD，在图中作出该圆的一条直径；如图，AB、BC、CD 是圆内接正五边形的三条边，在图中作出该

31、圆的圆心【分析】（1）连接 AD，BC 交于点 K，延长 BA 交 DC 的延长线于 G，作直线 KG 交圆与 E，F，线段 EF 即为这个圆的一条直径；（2）连接 AC，BD 交于点 K，延长 DC、AB 交于点 G，连接 GK 交圆于点 P，连接 BP与 AC 交于点 Q，连接 DQ 交 GP 于点 O，点 O 即为这个圆的圆心 解：（1）如图，EF 即为所求；（2）如图，点O 即为所求某餐馆推出特色小吃，推出了“堂食”和“外卖”两种销售方式当特色小吃以“外卖” 方式售出时，餐馆需额外支付网络平台服务费，服务费为“外卖”销售额的20%（注： 收入销售额服务费）根据以上信息，解决下列问题：（

32、1）10 月份，该餐馆需额外支付的服务费为 900 元，该月收入为 9600 元；（2）经调研，该餐馆在 10 月份“堂食”600 份销量的基础上，“堂食”价格每提高 1元，“堂食”的销量就减少 5 份，但提高后的价格不能超过 30 元/份；“外卖”价格始终保持不变该餐馆计划11 月份只做 800 份特色小吃，预计全部售完问“堂食”如何定价，11 月份的收入是 10760 元？【分析】（1）根据“服务费为“外卖”销售额的20%”和收入销售额服务费进行计算；（2）设 11 月份“堂食”价格提高x 元，则 11 月份的“堂食”的价格为（10+x）元，销量为（6005x）份，根据“11 月份的收入是

33、 10760 元”列出方程并解答解：（1）根据题意，得3001520%900（元）（60010+30015）9009600（元）故答案是：900；9600；（2）设 11 月份“堂食”价格提高x 元，则 11 月份的“堂食”的价格为（10+x）元，销量为（6005x）份，由题意知：（6005x）（10+x）+15800（6005x）10860 整理，得 x2122x+472012解得 x 4，x 1182x 11830，不合题意，舍去10+x14答：“堂食”价格定为 14 元时，11 月份的收入是 10760 元【数学概念】有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”【概念理解】关于“对分四边形”，下列说法正确的是 （填所有正确的序号）菱形是“对分四边形”“对分四边形”