旧版课程相关供参考微积分iii课件没啥用

1、1第二型曲面积分定义定义5.5.1 设 S 是一张逐片光滑的有向曲面, vr( x, y, z) X ( x, y, z)i Y ( x, y, z) rj Z ( x, y, z)k是定义在 S 上的连续向量场.vrrinin( x, y, z) 是 S 的 法向量场.f ( x, y, z) : v n是在曲面 S 上有定义的函数 .如果 f 在 S 上的曲面积分 S f dS 存在，则称这个积分为 向量场 vr 在有向曲面 S 上的积分.也称为第二型曲面积分.记 f ( x, y, z) ) .根据函数的曲面积分的定义，上述极限恰好是函数f ( x, y, z) 在 S 上的积分.于是流

2、体自A 侧穿过曲面 S 流向 B 侧的总量等于S f ( x, y, z)dS S v ( x, y, z) n( x, y, z)dS .vrnriiBPiAlim Si .ivr nriinr 表示 S 在点 P 指向 B 侧的法向量.ii时间中穿过 Si 流向 B 侧的流量近似地等于Qi vi ni Si .穿过曲面 S 流向 B 侧的总量近似地等于Q v n S .viniiiiiiiB P当曲面S 的分割越来越细时,i即各小片曲面的最大直径趋向于零时， A如果这个近似值存在极限lim vi ni Si .i该极限就是穿过曲面 S 流向 B 侧的流量.一.引例设在空间某区域中充满质量均

3、匀的流体.在每一点 M ( x, y, z) .在区域 中有一张曲面S .vinr求时间中流体从 S 的 A侧BiPi穿过 S 流向 B 侧的流量.A问题分析：将曲面 S 分成若干小片曲面 S1, S2 ,L, Sn .又在每一个 Si 上任取一点 Pi , 记 vr vr(P ) .ii5.5.1向量场在曲面上的积分概念5.5第二型曲面积分向量场在曲面上的积分概念向量场的曲面积分的计算向量场的曲面积分的两种形式25.5.3 向量场曲面积分的坐标形式 D v (zx ,zy ,1)dxdy .vr xzi yzj z2k , ( xz, yz, z2 ) (zx ,zy ,1)dxdy .Dz

4、 R2 x2 y2 .z x, z y.xyR2 x2 y2R2 x2 y2 ( xz, yz, z2 ) (zx ,zy ,1)dxdy .Dy ( x2 y 2 z2 )dxdy DD R2dxdy 1 R4 . ROxD2例1 计算 S vr nrdS .z其中vr xzi yzj z2k ,S : z R2 x2 y 2 ( x 0) ,上侧.解 r(zx ,zy ,1)On .1 (zx )2 (zy )2xydS 1 (zx )2 (zy )2 dxdy . nrdS (zx ,zy ,1)dxdy .yS v ndS S v (zx ,zy ,1)dxdy .D v (z ,z

5、,1)dxdy ROxDxy.第二型曲面积分公式vr( x, y, z) X ( x, y, z)ir Y ( x, y, z) rj Z ( x, y, z) rk有向曲面 S .法向量 nr .函数 f vr nr 在 S 上的第一型曲面积分S v ndS .称为向量场vr 在有向曲面S 上的曲面积分.计算第二型曲面积分可以直接计算第一型曲面积分.第一型曲面积分公式1. S : z z( x, y) ,( x, y) D . f ( x, y, z)dS f ( x, y, z( x, y) 1 zx2 zy2 dxdySD2. S : x x(u, v), y y(u, v), z z(

6、u, v) ,(u, v) D .S f ( x, y, z)dS f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) A2 B2 C 2 dudvD5.5.2 向量场的曲面积分的计算3例3 计算积分 I S x( y z)dy dz ( x y)dx dy .其中S : x2 y2 1 , 0 z 2 外侧解 将积分改写成 S v ndS .其中 vr x( y z)i ( x y)k , nr xi yj .n vr nrdS x2 ( y z)dSSS曲面的参数方程:x cos , y sin , z z (0 2 ,0 z 2) .dS d dz . x2 ( y z)dS c

7、os2 (sin z)ddz 2 .S0 20 z2nr dS 1 ( x, y, z)dxdy .zznvr xzi yzj z2k ，vr nrdS ( x2 y 2 z2 ) .y xzdydz yzdzdx z2dxdy .xS vr nr dS ( x2 y 2 z2 )dxdy Sx2 y 2 R2 R2dxdy R4 .x2 y 2 R2S : z R2 x2 y 2 ( x2 y2 R2 ) .例2计算曲面积分z xzdydz yzdzdx z2dxdy .nSS : z R2 x2 y 2 上侧.解 令 vr xzi yzj z2k 则y xzdydz yzdzdx z2dx

8、dyxS S v n dS .n dS (zx ,zy ,1) f 2f 2 f 2f 2 1 ( x ) ( y ) dxdy1 ( x ) ( y ) (z ,z ,1)dxdy 1 ( x, y, z)dxdy .xxz注释dx dy cos dS|dx dy | 是 dS 在 xOy 平面上的投影的面积 .是 xOy 平面上的面积元素 可以记作d xy . dx dy 的符号与cos 一致.当 为锐角时 , dx dy d xy ;当 为钝角时 , dx dy d xy .同样 当 为锐角时, dz dx d zx ;当 为钝角时, dz dx d zx .当 为锐角时, dy dz

9、d yz ;当 为钝角时 , dy dz d yz .于是S v n dS S X ( x, y, z)dS cos Y ( x, y, z)dS cos Z ( x, y, z)dS cos .引入记号 dy dz cos dS , dz dx cos dS ,dx dy cos dS .就得到向量场曲面积分的坐标形式：S v n dS S X ( x, y, z)dy dz Y ( x, y, z)dz dx Z ( x, y, z)dx dy S X ( x, y, z)dydz Y ( x, y, z)dzdx Z ( x, y, z)dxdy第二型曲面积分经常以下面的坐标形式出现:S

10、 X ( x, y, z)dydz Y ( x, y, z)dzdx Z ( x, y, z)dxdy .S X ( x, y, z)dy dz Y ( x, y, z)dz dx Z ( x, y, z)dx dy .这个积分与S vr nr dS关系？假设vr( x, y, z) X ( x, y, z)i Y ( x, y, z) j Z ( x, y, z)k .用 , , 表示 nr 与三个坐标轴正向的夹角.则有) .4例6 计算曲面积分I S ( y z)dy dz (z x)dz dx ( x y)dx dy .S : y x2 z2 (0 y h) 外侧 .znr解 将积分写成

11、向量形式yI S v ndS .其中xrvr ( y z)i (z x) j ( x y)k .y ir rj y ryyrxz kdS 1 ( )2 ( )2 dxdz .n ,xz1 ( y )2 ( y )2ry r r y rxzndS (i j k )dxdy .xzrz r z r rxir yjrzndS x i y j k k .x2 y2vr x2ir y 2 rj z2 r .knx3 y3 2yv ndS ( z )dxdy x2 y 2x33I vr nrdS x y ( x2 y 2 )dxdyS22x2 y 2 h2x y ( x2 y 2 )dxdy r2 rdr

12、d h4 .x2 y 2 h2rh2例5z计算 I ( x2 cos y 2 cos z2 cos )dS .SS : x2 y2 z2 (0 z h) 外侧.其中 cos , cos , cosn是 S 的外法向量 nr 的方向系数.y解 令 vr x2i y 2 j z2k则有xI S v ndS .z ir z rj k其中 nr xy , dS 1 ( z )2 ( z )2 dxdy .1 ( z )2 ( z )2xxxy计算 vr nrdS .znrS42S4 : z 1 x y ,( x, y) D .nr3n4D 0 x y,0 y 1 x.ydS 3dxdy . nr 1

13、(ir rj r) .43kxn 1 r r222S v ndS ( x y z )dxdy 40 x10 y 1 x110 d 4 .令 vr x2i y 2 j z2k . 则有z x2dy dz y2dz dx z2dx dyn4S n3n2S v ndS ( )vr nrdSyS1S2S3S4在 S 上nr1x1vr nr vr (k ) z2 0 .1所以S v ndS z 2dS 0dS 0 .1S1S1同理 S v ndS S v ndS 0 .23例4 计算曲面积分：zn4 x2dy dz y 2dz dx z2dx dy .Sn3n2其中S 是区域 的边界 外侧y 由平面 x

14、 y z 1 , x y z 0 围成.解 S S1 S2 S3 S4 .xnr1S1, S2 , 和 S3 分别是位于三个坐标面上的三角形.S1, S2, 和 S3 的法向量分别是nr r rr rr1k , n2 i , n3 j .S4 是斜面 x y z 1 上的三角形,法向量是 nr 1 (ir rj r) .43k5rnr Ai Bj Ck .A2 B2 C 2由此可以得到：S v n dS S X ( x, y, z)dS cos Y ( x, y, z)dS cos Z ( x, y, z)dS cos . D ( XA YB CZ )dudv .例题： x2dy dz y 2dz dx z2dx dy .SS : x2 y2 z2 a2 , 外侧.则cos A ,A2 B2 C 2cos B , cos C,A2 B2 C 2A2 B2 C 2于是dx dy cos dS CA2 B2 C 2 dudv Cdudv ,A2 B2 C 2dy dz Adudv ,dz dx Bdudv .第二型曲面积分的另一种计算方法写出曲面的参数方程，化为对参数的二重积分假设曲面S 的参数方程为x x(u, v), y y(u, v), z z(u, v) , (u, v) D .dS A2 B