《现代数值计算》课件4.6数值微分

1、3.5数值微分3.5.3 数值微分的外推算法3.5.2 三次样条求导3.5.1 插值型求导公式3.5 数值微分学习目标：掌握几个数值微分计算公式 。 在微分学中，求函数f (x)的导数f (x)通常是可以求得的，但有的f (x)比f (x)复杂得多。另外，有时f (x)仅由表格形式给出，则求f (x)也不容易。根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数的近似值称为数值微分。求数值导数也是实际问题经常遇到的，特别当该函数本身未知，但又需要对其求导数时，数值微分方法显得更为重要。 3.5数值微分按照数学分析的定义，导数 是差商 当 时的极限。如果精度要求不高， 我们可以简单地取差商作为导数的近似

2、值，这样便建立起一种数值微分方法类似地，亦可用向后差商作近似运算 或用中心差商 后一种数值微分方法称中点方法,它其实是前两种方法的算术平均。上述三种数值微分方法有个共同点，它们都是将导数的计算归结为计算f(x)在若干节点上的函数值的线性组合。这类数值微分方法称作机械求导方法。在图形上（参看图3-1），上述三种导数的近似值分别表示弦线AB、AC和BC的低斜率，比较这三种弦线与切线AT（其斜率等于导数值 ）平行的程序，从图形上可以明显地看出，其中以BC的斜率更接近于切线AT的斜率。因此就精度而言，以中点方法更为可取。x图3-1根据微积分中泰勒展开定下,不难推出上述三种方法的截断误差分别为O(h)、

3、O(h)和O(h2) .上面几个公式是很实用的，下面我们再讨论一些常用方法。3.5.1 插值型的求导公式对于列表函数运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似。由于多项式的求导比较容易，统称插值型的求导公式。（3.5.1） 我们取 的值作为 的近似值，这样建立的数值公式 必须指出，即使 与 的值相差不多，导数的近似值 与导数的真值 在某些点仍然可能差别很大，因而在使用求导公式(3.5.1)时应特别注意误差的分析。依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）的余项为式中 在这一余项公式中，由于是x的未知函数，我们无法对它的第二项作出进一步的说明.因此，对于区间a,b内随意的一点 x,误差 是无法

4、预估的.但是，如果我们限定求某个节点上的导数值，那么上面的第二项因 而变为零，这时有余项公式 （3.5.2）1.两点公式下面我们仅仅考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的。 设已给出两个节点 上面的函数值 ，作线性插值公式 对上式两端求导，记 于是有下列求导公式：（3.5.3）（3.5.4）而利用余项公式(3.5.2)知，带余项的两点公式是(当n=1时)，2.三点公式设已给出三个节点 上的函数值，作二次插值令 ，上式可表为 两端对t 求导，有这里撇号表示对变量x求导数。上式分别取t=0，1，2，得到三种三点公式：（*）而利用余项公式(3.5.2)知,带余项的三点求导公式(n=2

5、)如下： 其中的公式(3.5.6)是我们所熟悉的中点公式。在三点公式中，它由于少用了一个函数值 而引人注目。 （3.5.5）（3.5.6）（3.5.7）设已给出五个节点 上的函数值，重复同样的手续，不难导出下列五点公式： 式中 代表一阶导数 的近似值，读者不难导出这些求导公式的余项。 3.五点公式当这里给出其中常用五点公式（3.5.8）例3.5.1 设f(x)=e x ,对h=0.01,计算f (1.8)的近似值。解 由（3.5.5）式有由（3.5.6）有由（3.5.7）式有由（3.5.8）式有精确值 。计算结果显然与它们的余项相一致，由（3.5.8）式计算所得的结果最精确。然而，对于用插值法

6、建立的数值求导公式通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精确度差，高阶导数值的精度比低阶导数值的精度差。所以，不宜用此方法建立高阶数值求导公式。用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式3.5.2 三次样条求导我们知道，三次样条函数S(x)作为f（x）的近似函数，不但彼此的函数值很接近，导数值也很接近。因此用样条函数建立数值微分公式是很自然的。设在区间a,b上，给定一种划分及相应的函数值 再给定适当的边界条件，按三次样条函数的算法，建立关于节点上的一阶导数 或二阶导数 的样条方程组。求得 或 从而得到三次样条插值函数S(x)的表达式。这样，可得数值微分的公式 与前面插值型

7、数值微分公式不同，样条数值微分公式（3.5.9）可以用来计算插值范围内任何一点（不仅是节点）上的导数值。误差估计由（2.3.21）给出。对节点上的导数值，若求得的是则由S(x)的表达式有若求得的是则由S(x)的表达式有3.5.3 数值微分的外推算法 由此看见，仅有两位有效数字。利用Richardson外推法可以提高计算精度。先看一个简单的例子。求 在x=0.004出的一阶导数值。采用中点微分公式（3.5.6），即取h=0.0016，那么得而对于中心差商，记由Taylor级数展开有利用Richardson外推公式，取 则有外推公式（3.5.9）的终止标准是 是预先给定的误差小量。例 3.10 设 设h分别取0.1,0.05,0.025时求出x=0.5出的一阶导数的中心差商,进行外推,并与精确值进行比较。解 先分别取h=0.1,0.05,0.025,求出节点x=0.5处的中心差商值，见表3-6，再按（3.5.9）式进行外推，外推两次，结果列于表3-6中。从表3-6可见，h=0.025时的中心差商值只有3位有效数字，外推一次达到5