电工技术第3章课件

1、一、基本内容：1、正弦量的基本概念、相量法；2、基本无源元件的正弦交流电路；3、阻抗和导纳；4、正弦交流电路的功率和功率因数的提高；5、正弦交流电路稳态分析；6、电路的谐振、频率响应。第3章 正弦交流电路稳态分析二、教学要求：1、理解正弦量的三要素、相位差、有效值和相量表示法。2、掌握电路定律的相量形式和相量图，掌握基本无源元件的伏安关系相量形式和阻抗的概念。3、掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法。4、正确理解有功功率、无功功率和视在功率的概念并掌握相关计算。第3章 正弦交流电路稳态分析5、了解提高功率因数的方法及其经济意义。6、正确理解谐振的定义，掌握谐振频率的求解以及谐振时各元件、各支

2、路的电压、电流特性。理解谐振时电路中的能量和功率变化规律。7、掌握频率特性和网络函数的概念，了解滤波器的概念、类型和几种典型的滤波器电路。第3章 正弦交流电路稳态分析3.1.1 正弦量 返回主目录 电路中随时间按正弦函数规律变化的电流或电压统称为正弦量。以电流为例，正弦量的一般解析式为： 波形如图3-1所示：图 3-1 正弦量的波形返回主目录 其中Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当t=0时的相位 叫初相位，简初相； ， 叫正弦量的角频率。（ 180）初相、最大值和角频率称为正弦量三要素 返回主目录3.1.2 周期和频率 因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加 2，则

3、角频率、周期T和频率之间关系为： 工频f=50HZ， =314rad/S，T=20mS正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期，用字母表示，单位为S。单位时间内正弦量变化的次数叫做频率，用字母表示，单位为（赫兹）。 正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期，用字母返回主目录3.1.3 幅值和有效值 有效值是按等效应概念来定义的，如热效应。让周期电流和直流电流流过等值的电阻，在相同时间T（周期电流的一个周期）内，若两者产生的热效应相等，则称直流电流的数值为周期电流的有效值。 有效值 正弦量变化过程中的最大瞬时值称为幅值，采用大写字母加 下标表示，如 。 3.1.4 相位差 设有两个同频率的正弦量为：

4、 相位差也是在主值范围内取值，即。 显然两个同频率正弦量的相位差等于初相之差，是一个与时间无关的常数。 返回主目录(a)图为同相， (b)图为反相。3.2.1 复数及其基本运算1、复数的四种表示形式1)代数形式 A = a +jb 复数的实部和虚部分别表示为： ReA=a ,ImA=b 。3)根据图 3.2 得复数的三角形式： 图3-2 复数的复平面表示返回主目录2)图3.2为复数在复平面的表示。 或两种表示法的关系：根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：4)指数形式有时改写为极坐标形式：返回主目录2、复数的运算(1) 加减运算 采用代数形式比较方便。若 则 即复数的加、减运算满足

5、实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。 图3.2返回主目录(2) 乘除运算 采用指数形式或极坐标形式比较方便。 即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模相除，辐角相减.若则返回主目录 式中旋转复变量 即为复常数 以角速度 绕坐标原点逆时针旋转时的表达式， 称为旋转因子，该复变量在虚轴上的投影就是正弦量: 返回主目录3.2.2 正弦量的相量表示 设有正弦交流电压：根据欧拉公式该正弦交流电压可以表示为： 因此正弦量可以通过旋转复变量在虚轴上的投影来表示。如图3-5所示。图3-5 相量与其对应的正弦曲线 当正弦量给定以后便可以构造一个复常数和旋转因子 乘积的复变量使其虚部等于已知的正弦量，

6、由于在线性电路中正弦交流响应为同频率的正弦量，因此可以用该复常数表示和区别正弦量，并将该复常数定义为正弦量的相量。为了区别于一般的复数，正弦量的相量用大写字母加“ ”表示。例如正弦电流 的相量为:返回主目录有效值相量： 对于正弦电流 和正弦电压 3.2.3 基尔霍夫定律的相量形式对于电路中的任一结点上连接的K条支路，根据KCL有：返回主目录 对于电路构成任一回路的K条支路，根据有KVL：当式中电流和电压均为同频率的正弦量时： 上式即为基尔霍夫定律的相量形式。 设流过的电流为:电压为:3.3 基本无源元件的正弦交流电路3.3.1 电阻元件的正弦交流电路图3-6返回主目录 电阻元件上的电压和电流为

7、同频率、同相位的正弦量。电压有效值:初相:于是有:上式即为欧姆定律的相量形式返回主目录电阻元件的相量模型和相量图如图3-6（b）和图3-6（c）所示。图3-6（b）图3-6（c）电阻元件的瞬时功率返回主目录 由上式可知在正弦激励下电阻的功率表达式包含一个恒定分量和一个频率为激励两倍频的正弦变化分量，其电流、电压波形和功率波形如图3-7所示。iu图3-7 电阻元件的电流、电压波形和功率波形 从瞬时功率的表达式和波形图可以看出，电阻上的瞬时功率始终为正值，这说明电阻元件上能量的交换是不可逆的，电阻元件在吸收电源提供电能的同时以热能的形式散发掉。所以电阻元件是耗能元件。返回主目录工程上通常用瞬时功率

8、在一个周期内的平均值来表征交流电做功能力的大小，用大写字母P表示 在交流电路，通常所说的功率均指平均功率,平均功率又称为有功功率，单位为瓦特(W) 或千瓦(KW)返回主目录【例3-1】把一个额定值为220V，1000W的电阻炉接在220V交流电源上，求电阻炉的电阻R和电流。解：电阻炉的电阻:流过电阻炉的电流为:返回主目录3.3.2 电感元件的正弦交流电路图3-8 电感元件的时域模型、相量模型和相量图（a）（b） （c） 如图3-8（a）所示，在电感元件在电压和电流取关联参考方向的情况下，电压和电流满足 由式上式可知，电感元件上的电压和电流依然为同频率的正弦量，但是电压超前电流 。电压有效值 ，

9、于是有 返回主目录不妨设流过电感的电流相量形式为则初相 ，初相 ，返回主目录 上式即为电感元件上电压和电流关系的相量形式。式中的具有电阻的量纲，单位为欧姆（），称之为电感电抗，简称感抗，用表示，即 感抗具有电阻的量纲，具有阻碍电流变化的作用。感抗与频率成正比，频率越大，感抗越大。在直流情况下， ， 所以电感元件相当于短路。电感元件的相量模型和相量图如图3-8（b）和图3-8（c）所示返回主目录电感元件的瞬时功率为: 由上式可知，电感的瞬时功率以两倍于激励的频率按正弦规律变化，其电流、电压波形和功率波形如图3-9所示。平均功率为:返回主目录图3-9电感元件的电流、电压波形和功率波形【例3-2】已

10、知1H的电感线圈接在10V的工频电源上,求：(1) 线圈的感抗；(2) 设电压的初相位为零，求 电流 ；(3)无功功率。返回主目录 无功功率只表示元件与外部能量的交换，而并非元件实际消耗的功率，为了和有功功率加以区别，无功功率的单位为乏（var)或千乏（kvar）。解：（1）感抗 返回主目录 从图3-9可以看出在 周期内，电流的的电流的绝对值减小，电感储能减少。由此看来，虽然 着能量交换。瞬时功率的幅值反映了电感与表示。即绝对值加大，电感储能增加；在的周期内，上的平均功率为0，但其实它在不停地与电源进行电感交换规模的规模大小，将其定义为无功功率，用电源能量返回主目录(2)设电压初相位为零度，则

11、电流:（3）无功功率:返回主目录3.3.3 电容元件的正弦交流电路 如图3-10（a）所示，在电容元件在电压和电流取关联参考方向的情况下，电压和电流满足 图3-10电容元件时域模型、相量模型和向量图（a）（b）（c）返回主目录不妨设加在电容器两端的电压 ，相量形式为 ，则由上式可知，电容元件上的电压和电流依然为同频率的正弦量，但是电流超前电压 。电流有效值，初相 ，于是有返回主目录该式即为电容元件上电压和电流关系的相量形式。式中的同样具有电阻的量纲，单位为欧姆（ ），称之为电容电抗，简称容抗，用表示，即: 容抗同样具有电阻的量纲，具有阻碍电流变化的作用。容抗与频率成反比，频率越大，容抗越小。在

12、直流情况下， ， ，所以电容元返回主目录件相当于开路，具有隔直作用。电容元件的相量模型和相量图如图3-10（b）和图3-10（c）所示。电容元件的瞬时功率为 由上式可知，电容的瞬时功率也以两倍于激励的频率按正弦规律变化，其电流、电压波形和功率波形如图3-11所示。电容上的有功功率返回主目录 瞬时功率表达式的幅值同样表达了电容和外界进行能量交换的规模大小。一般规定电容的无功功率为负值以表明和电感无功功率之间的补偿作用，电容的无功功率用表示，即图3-11电容元件的电流、电压波形和功率波形返回主目录 【例3-3】某电容元件的电压和电流取关联参考方向，已知 ， ，（1）在工频下求电容值C；（2）如果电

13、路中电源频率为时，求电流 。解：（1）由已知条件有:所以电容:返回主目录（2）所以返回主目录思考题1. 判断下列表达式的正误。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）返回主目录3.4 阻抗和导纳3.4.1 复阻抗 阻抗和导纳是正弦交流稳态分析的重要概念。图3-12（a）是一个线性无源网络，当它在正弦激励下处于稳定状态时，端口上的电压、电流将是同频率的正弦量。图3-12 无源一端口的阻抗返回主目录 我们定义端口处的电压相量和电流相量在关联参考方向下的比值为该无源线性网络的阻抗，用字母Z表示，即：式中Z又称为复阻抗，简称阻抗，单位为欧姆，简称欧（ ）。图形符号如图3-12（b）所示。Z的模

14、值称为阻抗模，等于端口电压和电流有效值的比值；辐角 称为阻抗角，它是端口电压和端口电流的相位差。即 返回主目录阻抗是一个复数，实部称为电阻，用R表示；虚部称为电抗，用 表示。其代数形式为阻抗模 ，阻抗角 ，阻抗模、电阻和电抗构成直角三角形，称为阻抗三角形。如图3-13所示。图3-13 阻抗三角形当无源网络内部只含有单个元件时，对应的阻抗表达式分别为返回主目录 当无源网络内部为 元件的串联时，如图3-14所示。 图3-14 R、L、C 串联电路阻抗为：Z的实部就是电阻R，虚部电抗 。、当 ，即 时，端口电压超前于电流，阻抗Z呈感性；、当 ，即 时，端口电压滞后于电流，阻抗Z呈容性；、当 ，即 时

15、，端口电压和电流同相位，电路中电感和电容的作用效果互相抵消，阻抗Z呈电阻性。按照图3-14所示参考方向，根据KVL有返回主目录返回主目录 设电流为参考相量，画出相量图如图3-15(a)所示。用 表示阻抗虚部电抗上的电压，即有效值由相量图可见，总电压 和电阻电压 、电抗电压 三个电压构成一个直角三角形，如图3-15（b）所示。该三角形称为电压三角形。显然电压三角形和阻抗三角形相似。返回主目录图3-15 RLC串联电路的相量图返回主目录3.4.2 复导纳 复阻抗Z的倒数定义为复导纳，即线性无源二端网络端口电流相量和电压相量在关联参考方向下的比值。复导纳简称导纳，用大写字母Y表示。根据定义有 的模值

16、 称为导纳模，等于端口电流和端口电压有效值的比值；辐角 称为导纳角，它是端口电流和端口电压的相位差。 导纳通常表示为 ，实部 称为电导，虚部 称为电纳。导纳的单位为西门子（S）。 当无源网络内部只含有单个元件 时，对应的导纳表达式分别为返回主目录 当无源网络内部为 元件的并联时，如图3-16所示。根据KCL有返回主目录所以 ， 的实部就是电导 ，虚部电纳 。当 ，即 时，导纳 呈容性；当 ，即 时，导纳 呈感性；当 ，即 时，导纳 呈电阻性。返回主目录图3-16 并联电路 由以上分析可知，在分析正弦交流电路的线性无源二端网络时可以将网络等效为一个阻抗或导纳。阻抗可用电阻元件和储能元件的串联等效

17、；导纳可用电导和储能元件的并联等效。返回主目录3.4.3 阻抗的串并联 阻抗的串并联计算形式上和电阻的串并联计算是一致的。对于图3-17所示的 个阻抗串联而成的电路，由KVL可知其等效阻抗第 个阻抗上的电压:上式即为阻抗串联时的分压公式返回主目录图3-17 阻抗串联电路及其等效电路同理，对于 个阻抗（导纳）并联而成的电路，其等效阻抗：返回主目录当只有两个阻抗并联时，等效阻抗为：流过两个阻抗上的电流分别为：返回主目录【例3-5】在 串联电路中，已知 ， ， ，电路端口电压 求（1）电路的阻抗；（2）电路中电流的大小；（3）端口电压和电流之间的相位关系。解：由端口电压表达式 可得所以返回主目录（1

18、）感抗：容抗：阻抗：返回主目录(2) 电流(3) 端口电压和端口电流的关系所以端口电压滞后电流 ，电路呈容性。返回主目录3.5 正弦交流电路的功率3.5.1 有功功率 前面已经讨论了三个基本无源元件 上的有功功率和无功功率情况，本节讨论无源二端网络的功率。图3-18 无源二端网络 如图3-18所示的无源二端网络在正弦稳态情况下，设 根据第一章所讲的关于功率计算的概念，若端口电压和电流取关联参考方向，则瞬时功率式3-35式中 ，为电压和电流之间的相位差。上式的波形如图3-19所示。+图3-19 正弦交流电路瞬时功率波形图 图3-19表明瞬时功率有正有负，能量在电源和负载之间来回交换，正负部分面积

19、的差值就是负载在一个周期内消耗的电能。 从式（3-35）可知瞬时功率的第一部分是恒定分量，第二部分是两倍于电压电流频率的正弦分量。根据平均功率的定义，该恒定分量恰好和平均功率相等。即3.5.2 无功功率对式（3-35）进行数学变形有式（3-37） 由于 所以式（3-37）的第一项始终大于等于零，是瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的可逆部分，说明电路中的储能元件在和电源之间进行着能量的交换。为了衡量电路中含有的储能元件和电源进行能量交换的规模大小，引入无功功率的概念，用大写字母 表示，定义为它是储能元件和电源之间进行能量交换的最大值，无功功率的单位为乏（var）或千乏(kvar)，有时

20、 也被称作无功功率因数。3.5.3 视在功率 在交流电路中端口电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用大些字母 表示，即 为了和有功功率、无功功率进行区分，视在功率的单位采用伏安 或千伏安 。因为所以:显然视在功率 、有功功率 和无功功率 构成了一个直角三角形，称该三角形为功率三角形，如图3-20所示。 图3-20 功率三角形可以证明，在正弦交流电路中有功功率和无功功率都守恒，但是视在功率不守恒。【例3-6】如图3-21所示的正弦交流电路的相量模型，已知端口电压 ，试求该二端网络的有功功率、无功功率、视在功率及功率因数。图3-21解：由图3-21可知由KCL得:所以:思考题 1. 功率三角形和电

21、压三角形、阻抗三角形是否相似？如果相似，分析其对应边比例系数的意义。2. 怎样理解有功功率、无功功率和视在功率的概念？能否认为电路中的有功功率一定是消耗在电阻元件上的？返回主目录3.6 功率因数的提高 负载的低功率因数运行会使电源设备的容量得不到充分利用。交流电源的容量是根据其额定电压和额定电流确定的，视在功率就是电源的额定容量，它表示电源能输出的最大有功功率。但是电源究竟能向负载提供多少有功功率取决于负载的大小以及负载的性质。负载的功率因数越低，电源设备输出的有功功率就越小，电源的利用率降低。返回主目录 电路的功率因数低还会影响供电质量，增加线路的损耗。在一定的电源电压下，负载所需的有功功率

22、一定时，由 可知，随着功率因数的下降，输电线路的电流将会增加，线路上的电压降也随之增加，用户端的电压于是随之降低，影响供电质量；同时，电流变大，线路上的功率损耗正比于电流的平方，功率因数的下降会引起损耗的明显增加。返回主目录（a）（b）图3-22 并联电容提高功率因数返回主目录 图3-22（a）所示的感性负载电路通过并联电容提高功率因数，图3-22（b）为其相量图，因为并联前后感性负载两端的电压和电流没有发生变化，所以并联前后电路消耗的功率不变，即所以: （3-41）（3-42）返回主目录（3-43）由图3-22（b）可知将式（3-41）、（3-42）代入（3-43）有: (3-44)将电容器

23、支路电压电流关系，代入式（3-44）有(3-45)这就是把功率因数由提高到所需并入电容值的计算公式。应该注意，感性负载并联电容提高功率因数时，随着并联电容值的增大，功率因数会增大。如果电返回主目录容选择得适当，则可以使，即。但是电容过度补偿，会使总电流超前于电压，反而会使功率因数降低。因此，必须合理地选择补偿电容。返回主目录思考题1. 对于感性负载，能否采取串联电容器的方式提高功率 因数?为什么？2. 结合相量图说明，并联电容量过大，功率因数反而下降的原因。3. 列表分析感性负载并联电容提高功率因数过程中电路变量的变化情况。返回主目录3.7 正弦交流电路稳态分析 相量法是正弦交流电路稳态分析的

24、有效方法。引入相量法和阻抗等相关概念后，正弦稳态电路分析和前面讲过的线性电阻电路分析依据的电路定律形式上是相似的。因此，电阻电路的各种分析方法和电路定理可以直接推广到正弦稳态分析中来。返回主目录 【例3-7】如图3-14所示的 串联电路，已知 端电压为求: 的表达式。返回主目录解：由已知有 所以 注意到 ，有返回主目录返回主目录【例3-8】电路如图3-23（a）所示，已知，分别用结点电压法和电源等效变换法求电流。，。(a) (b) (c) 图3-23 例3-8题图返回主目录解：（1）结点电压法参考点如图3-23（a）所示，则点的电位为所求电流 返回主目录(2)等效变换法将图3-23（a）中电压

25、源与阻抗的串联等效变换为电流源与阻抗的并联，如图3-23（b）所示；然后将两个并联的电流源进一步等效为一个电流源，如图3-23（c）所示。由分流公式有:代入数据求解得:返回主目录【例3-9】 电路如图3-24（a）所示，知 试用叠加定理求电流返回主目录（a） （b） （c） 图3-24 返回主目录解：（1）当电流源单独作用时电路如图3-24（b）所示返回主目录(2) 当电压源单独作用时电路如图3-24（c）所示。(3)根据叠加定理有返回主目录3.8 电路的谐振 在正弦交流电路的稳态分析中，由于阻抗是频率的函数，所以当电路的参数或频率发生变化时阻抗就会发生相应的变化，进而引起电压和电流相位差的变

26、化。当电路中电压和电流同相位时，电路呈电阻性，这种现象称为谐振。 谐振的基本类型分为串联谐振和并联谐振两种。3.8.1 串联谐振 如图3-26所示的 串联电路，当 变化时，感抗和容抗都会随着发生相应的变化，当感抗和容抗相等时，则电路中的总电压和总电流同相位，电路呈现纯电阻性，将电路的这种状态称为谐振。返回主目录发生在 串联电路中的谐振称为串联谐振。图3-26此时的频率称为谐振频率，用 和 表示，谐振频又称为电路的固有频率.返回主目录可知当电路发生串联谐振时，由于感抗和容抗相等，电抗为零，所以此时:阻抗为最小值，在输入电压不变的情况下，电流达到最大，即返回主目录谐振时的感抗或容抗称为特征阻抗，用

27、 表示，即:发生谐振时由于电抗为零，电压和电流同相位，功率因数 电感电压和电容电压的有效值相等，相位相反，互相抵消，电源电压全部加在电阻元件上，电感和电容两端等效阻抗为零，相当于短路。 从功率的角度分析，谐振时电感和电容上无功功率大小相反，完全补偿，恰好可以彼此交换；电源只提供电阻消耗的功率，电源供出的视在功率等于电路的有功功率，即 。返回主目录串联谐振时电感或电容上的电压与总电压的比值叫做电路的品质因数，用 表示，即 品质因数的数值一般在几十到几百。品质因数很大时，电感和电容上的电压将大大超过电源电压。根据这一特点，串联谐振又叫电压谐振。返回主目录并联谐振同样是指端口电压和电流同相的工作状态

28、。在如图3-27所示的 并联电路中，由KCL有3.8.2 并联谐振图3-27 并联谐振电路电感和电容元件上的电流大小相等，方向相反，从电路的总阻抗达到最大，即 ， ，返回主目录当时，电压和电流同相位，发生并联谐振。谐振频率为此时电路的导纳端子看进去相当于开路，阻抗为无限大。但在回路中存在环流，称为振荡电流，振荡电流担负着磁场能量和电场能量的交换任务。因此，并联谐振又称为电流谐振。返回主目录和串联谐振一样，并联谐振时电容或电感支路上的电流和总电流的比值定义为品质因数，用 表示，同样大于总流。时，很大，电感和电容上的电流当将会远远发生并联谐振时，阻抗角功率因数 总的无功功率等于零，即电路和电源之间

29、没有能量交换，电感的磁场能量和电容的电场能量彼此相互交换。 工程上经常采用的电感线圈和电容并联的谐振电路如图3-28所示。电感线圈用 和 的串联组合来表示，电路的导纳返回主目录图3-28 工程上的并联谐振电路返回主目录根据谐振的定义得谐振条件（3-53）由式（3-53）解得谐振频率（3-54）显然只有当 时，才会有实数解，所以当时，电路不会发生谐振。当电路发生谐振时，由于通常线圈的电阻是很小的，于是式（3-54）可以化简为（3-55）返回主目录这和串联谐振的谐振频率计算公式一致。思考题1. 列表比较串联谐振和并联谐振的特点。2. 分析发生谐振时电路中的能量消耗和交换情况。3. 说明 串联电路中

30、低于和高于谐振频率时电路的性质。返回主目录3.9 频率响应 在线性电路中，激励和响应始终为同频率的正弦量，所以在应用相量法研究的过程中省略了频率这一要素。但由于阻抗是频率的函数，当电路中激励的频率发生变化时，感抗和容抗都会随之改变，电路的响应也就会发生变化。电路的响应和频率之间的关系称为电路的频率响应或频率特性，其中幅值和频率之间的关系称为幅频特性，相位和频率之间的关系称为相频特性。 所谓滤波器是指能有选择的使某一频率范围的信号顺利通过或者得到抑制的电路网络。滤波电路一般可以分为高通、低通、带通和带阻四种类型。本节简单介绍由 构成的低通滤波器和高通滤波器。返回主目录3.9.1 RC 低通滤波器

31、图3-29（a）是一个是由元件组成的串联电路，为输入激励；是输出响应。图3-29（a）（b）低通滤波器及其频率特性返回主目录根据串联分压有令称作网络函数，式中表示输出电压和输入电压的幅值之比，它随频率的变化就是电路的幅频特性;返回主目录表示输出电压超前输入电压的相角，它随频率的变化就是电路的相频特性。频率特性如图3-29（b）所示。 由计算结果和幅频特性曲线可知，随着频率 升高，输出电压的幅值越来越小，说明该电路只允许频率较低的信号通过，不允许频率较高的信号通过，这样的电路称为低通滤波器。工程上将幅频特性 下降到其最大值的 （0.707）时所对应的频率称为截止频率，用 表示。此时相对功率而言已降到一半，所以此点又称为半功率点。对于图3-29（a）所示的 低通滤波器，返回主目录截止频率 . ,当 时，号不能通过网络，角频率从0到 的范围称为通频带。由图3-29（b）相频特性可知 低通滤波器的输出信号总是滞后于输入信号。 时， ，输出信号和输入信号同相； 时， ，输出信号滞后输入信号 ；随着频率的增高，输出信号和输入信号的相位差趋于 ，因此又将 低通滤波器称为（相位）滞后网络。返回主目录3.