圆对称性垂径定理

1、关于圆的对称性垂径定理第一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月圆的对称性（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。圆的基本性质 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.第二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月几个重要概念圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.ABCD弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.直径 经过圆心的弦叫做直径（diameter）.注 弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.例如 优弧ACD（记作 ）劣弧ABD（记作 ）ACDAD第三张，

2、PPT共四十一页，创作于2022年6月CD想想做做 如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.MOABBAABABAB第四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCD 如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。MOAM=BM,小明发现图中有:由 CD是直径 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.第五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月如图,小明的理由是:连接OA,OB,OABCDM则OA=OB.在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，RtO

3、AMRtOBM.AM=BM.点A和点B关于CD对称.O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC和BC重合,AD和BD重合.AC =BC,AD =BD.(HL)第六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCD想想做做 如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.MO垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.第七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月垂径定理三种语言定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 想一想 P906OABCDMCDAB,

4、如图 CD是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.第八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月想想做做看下列图形，能否使用垂径定理?为什么? EEE不可以不可以可以可以第九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCD 如图，AB是O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.MO（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。CDAB,小明发现图中有:由 CD是直径 AM=BM可推得AC=BC,AD=BD.第十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCD想想做做 如图，AB是O的弦（不是直径），作一条平分

5、AB的直径CD，交AB于点M.MO逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.第十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCDMO垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. CD是直径, CDAB,AM=BM, AC =BC, AD=BD.第十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD=BD.第十三张，PPT共四十一页

6、，创作于2022年6月OABCDM垂径定理及逆定理条件结论命题垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和它所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.第十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 课时P61-62第十五张，PPT共四十一页，创作于2022

7、年6月2. 圆对称性(2) 垂径定理的应用第十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月ABCDMO垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. CD是直径, CDAB,AM=BM, AC =BC, AD=BD.第十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD=BD.第十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月OABCDM垂径定理及逆定理条件

8、结论命题垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和它所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.第十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月OABCDM按图填空:(1)若CDAB，CD为直径，则_，_，_；(2)若AM=BM，CD为直径，则_，_，_；(

9、3)若CDAB， AM=BM ，则_，_，_；(4)若AC=BC，CD为直径，则_，_，_；第二十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月挑战自我填一填1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）第二十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条

10、弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.第二十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例1、如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径.ABMO垂径定理的应用第二十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形高：弧的中点到弦的距离叫做弓形的高。第二十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月垂径定理三角形已知：如图，直径CDAB，垂足为E .若半径 r = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. 若半径 r = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长

11、.d rh第二十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月d rh垂径定理三角形弦长a，弦心距d，半径r，及弓形高h 四者之间的关系知2求2（1）已知r,d（2）已知r,h（3）已知r,a（4）已知d,h（5）已知a,d（6）已知a,h在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.d + h = r第二十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月垂径定理的应用(测公路的弯道的半径 )解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m.OECD，CF=1/2CD=1/2600=300（m）.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即 R2=3002+（R-90）2解这个方

12、程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.RmF0CDE例2. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点O是 的圆心），其中CD=600m，E为 上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.CDCDCD第二十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).第二十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于

13、点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2第二十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例：在半径为5的圆内，有两条互相平行的弦，长度分别为6和8，求这两条平行弦之间的距离。练：在半径为5的圆内，有一个等腰梯形，它的两底长度分别为6和8，求这个等腰梯形的面积。第三十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月垂径定理的应用2、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. ED 600BAO60

14、0 650DC第三十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月2 . 如图，某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？第三十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月此货船能顺利通过这座拱桥.解:如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O,半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C。根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高由题设得在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R=3.9（m）.在RtONH中，由勾股定理，得第三十三张，PPT共四十一页，

15、创作于2022年6月3、已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半径OA.第三十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.OM第三十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.ABCD0EFGH第三十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月结束寄语形成天才的决定因素应该是勤奋.再见第三十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 这节课我们学习了哪些主要内容?学习了哪些基本观点和方法?应用垂径定理要注意哪些问题?课堂小结第三十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月课堂小结1、本节课主要学习了(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及推论.2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三 角形，便将问题转化为解直角三角形的问题.3、垂径定理的证明，是通过“实验观察猜想证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法. 知识结构第三十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 赵州桥又名