电磁场课件：第一章 电磁场的数学物理基础

1、电 磁 场COLLEGE OF AUTOMATION , HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY第一章 学习内容1.1 引言1.2 电磁场物理模型的构成1.3 矢量分析1.4 场论基础1.5电磁场基本规律-麦克斯韦方程组本章小结重点内容电磁场的应用教学内容主要知识点场的描述电磁场工程课程体系及学习方法课程考核方式重点和难点场的描述 作业 了解电磁场的理论体系备注1.1 引言1.1 引言1.课程的地位和作用电路理论：提供了计算由集总元件联接起来的网络和系统行为的方法和理论。电磁场理论：提供了解决所有电气工程与电子工程问题的根本计算方法和理论，如集总元件伏安关系的建立和难以用电

2、路理论解决的电磁问题等。电磁学：麦克斯韦方程组的积分形式。它概括了全部已有的宏观电磁现象的实验事实，给出了用积分量描述宏观电磁场的全部规律。电磁场理论：麦克斯韦方程组的微分形式。是在电磁学的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其计算方法的理论，是用数学方法描述空间任意一点、任意时刻电磁现象变化规律的理论。电磁场理论是电气工程与电子工程学科基础课程。电气工程领域：能量的转换、传输、分配和利用，旋转电机、变压器、输电线路与电缆、电容器、电抗器、开关设备、互感器等。电子工程领域：信息的发送、传输、接收与转换，电波设备、天线、雷达、卫星、光纤、遥感、遥测、遥控等。其他工程领域：电磁兼容

3、、生物电磁场、无损电磁探伤、磁悬浮、超导等。电磁场理论是理解、发展和实现一切与电磁现象与电磁效应相关技术必不可少的知识本源。引言1.1 引言2. 什么是场？ 物理上描述：“在遍及一个被界定的或无限扩展的空间内，存在着某种必须予以重视、研究的效应”。例如，温度场T(x,y,z,t)、重力场F(x,y,z,t)，以及电场E(x,y,z,t)、磁场B(x,y,z,t)等对应于相应物理效应客观存在的物理场； 数学意义上的描述：“给定区域内各点数值的集合，并由此规定了该区域内某一特定量的特性”。分类： 标量场、矢量场； 静态场、动态场；3. 本课程的理论体系宏观电磁理论 电磁场理论发展历史引言时 代发

4、明 者现 象公元前600年希腊人摩擦后琥珀吸引微物体公元前300年中国人磁石吸铁1785年法国库仑(1736-1806)电荷之间的作用力、库仑定律1820年丹麦奥斯特(1777-1851)电流产生磁场1820年法国安培(1775-1836)电流之间的作用力、安培定律1831年英国法拉第(1791-1867)时变磁场产生时变电场、电磁感应定律3. 本课程的理论体系宏观电磁理论 1865年英国物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell)建立的著名的麦克斯韦电磁场方程组是宏观电磁理论体系的基础。 宏观电磁理论所涉及的电磁现象和过程的基本特征是： 场域(即场空间)中媒质是静止的，或其运动速度远小于光速；

5、 场域作为点集，点的尺寸远大于原子间的距离。 本课程所讨论的任一场点，即意味着大量分子的集合 场域中的媒质被看作为“连续媒质” 该场点处的电磁性能归结为对应的宏观统计平均效应的表征，即通过宏观等效的物性连续参数(如电导率、磁导率和介电常数)予以描述。 因而，宏观电磁理论也被称为“连续媒质电动力学”，但决不等同于“量子电动力学”或“相对论电动力学”，后者已分别延拓到微观粒子或高速运动体系中电磁现象和过程的研究领域。引言4. 工程电磁场问题的观察点“电磁场的有效控制和利用” 无论从理解近代科学技术成果或者从发展并实现新的科学技术成果评价，电磁场理论及其应用不仅是日趋发展的电工、电子和信息科学技术的

6、重要基础，而且也是旁及军事、生态、医疗、地质等众多领域新科学技术的生长点。这一切都可聚焦于“电磁场的有效控制和利用”的基本观察点上，例如： 浦东国际机场磁悬浮线（EMS型磁浮列车）和日本山梨磁悬浮试验线（EDS型磁浮列车）； 电磁探测（应用于油、气、矿藏、地层结构探测和气象预测等遥感、遥测技术）； 电子束曝光、离子束注入技术（大规模集成电路芯片制造）； 现代战争中的电磁技术（导弹防御系统、隐身飞机、巡航导弹、GPS系统、信息干扰等）； 广播、电视、移动电话、微波通信和光纤通信等； 电磁热加工技术（感应加热、微波加热和微波炉等)； 生物医学工程中的电磁技术（核磁共振CT、X线透视和肿瘤热疗法等）

7、； 超导储能技术； 高能量密度的百万kW级汽轮、水轮发电机设计、制造（优化）技术； 1000kV超高电压电力系统及其装置的设计、制造（优化）技术； 磁流体发电技术； 纳米微晶磁性材料的应用； 卫星太阳能发电站； 引言5、学习方法 电磁场理论体系完整，内涵丰富、逻辑性强，且内容抽象。同时，应用数学知识与工具较多，涉及知识面宽，故更需要注意科学的学习方法。1)、注重物理概念 实践证明，正确理解物理概念是学习中困难的主要方面，故需抓住此主要矛盾，通过深入钻研，使之得以缓解。2)、强调数学方法 本课程学习将遵循数学建模、分析的主线索展开，因此，除微积分基础知识外，矢量分析与场论、数理方程(偏微分方程)

8、与特殊函数等数学知识和工具都应成为定性乃至定量分析电磁场问题所必备的知识基础。3)、培养抽象思维能力，通过例题和习题充分理解电磁场理论 通过例题、习题等环节不断提高逻辑思维、分析与解题能力，这也是理论联系实际、通过实践能动地理解和深化概念的过程。 科学地安排、计划学习时间，及时做好课程的预、复习。4)、多讨论 引言一、电磁场的物理模型 根据电磁现象和过程分析的物理模型构造的本质，可建立如下电磁场分析与电路分析的物理模型之间的对比关系。理想化假设实际的电工、电子技术装置 电路模型(一种具体的 物理模型)电路模型：理想电路元件(R、L、C) 及其组合理想电压源、电流源(e,i)分析问题以u，i为基

9、 本物理量给定激励(e,i) 求响应(u,i)电路分析：1.1电磁场物理模型的构成一、电磁场的物理模型电磁场分析： 电磁场的物理模型：连续媒质的场空间(、 、 及其相应的几何结构) 理想化的场源(q,i)分析问题以E、B、D、H为 基本物理量(场量)给定源量(q,i),求场 分布(E、B、D、H)理想化假设实际电磁装置中的电磁现象和过程电磁场的物理模型以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为(1)给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；(2)运用相应的分析计算方法；(3)解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。一、电磁场的物理

10、模型1.2 电磁场的基本物理量源量和场量电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。 源量激励（输入） 场量响应（输出） 电磁场模型中的源量：电荷和电流电磁场模型中的基本场量：电场强度E和磁感应强度B在一般情况下，电磁场的源量和场量分布均随所在空间的位置和时间而变化，即可以表述为空间坐标和时间的函数，如两个基本场量的数学函数式可分别记为 、 。一、电磁场的物理模型1. 源量(电荷) q(r,t) 电荷是物质基本属性之一。 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。 19071913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定电子电

11、荷的量值为 e =1.602 177 3310-19 (单位：C) 确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。 宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。一、电磁场的物理模型 类同于由物质密度 给定物质的质量m一样，现引入关于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的方式来给定带电体的电荷量。 理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式： （1）点电荷 q(r,t)： （2）电荷体密度 (r,t)： （3）电荷面密度 (r,t)： （4）电荷线密度 (r,t)：一、

12、电磁场的物理模型2. 源量(电流) i (t) 源于电荷定向运动的电流 i 定义为 可见，电流i为一积分量，不是点函数。 引入对应于源量i(t)分布的点函数形式的描述体电流密度(简称电流密度)J(r,t),其量值为 (单位: A/m2)其方向习惯上定义为正电荷运动的方向。类似，对于面分布电荷引入面电流密度K图 电流体密度矢量图 电流面密度矢量(单位: A/m)一、电磁场的物理模型3. 场量(电场强度)E 1785年法国物理学家库仑（C.A.Coulomb）定量的研究了电场对静止电荷的作用力： (单位：N/C或V/m) 要求试体电荷携带的电荷量必须小到不至于影响被研究的电场。电场强度即单位电荷受

13、到的电场力。 电场不只存在于静止电荷的周围空间，在通有电流的导体中，在由交变电流激励的电磁装置的周围空间内都存在着电场。对于电场问题，研究和分析的首要任务是在给定源量的作用下求其电场强度E（r,t）随空间和时间变化的规律性。 一、电磁场的物理模型4. 场量(磁通密度)B 磁通密度也称为磁感应强度是用来描述运动电荷受到的磁场力，其值等于单位运动电荷以单位速度在与磁场相垂直方向上运动时所受到的磁场力。 上式仅表明当B 的方向与运动电荷速度v 的方向相互垂直时B 的数量关系。一般情况下，B的数值和方向应满足下式的关系(单位：T或Wb/ m2)一、电磁场的物理模型对于导体内电流产生的磁场力可以表示为：

14、电流 导线内以速度v运动的元电荷dq，在dt时间内对应的元位移为 因此上式可以表述为元电流Idl在磁场中受到的力。同理，磁场也不只存在于磁铁或恒定电流的周围空间，也存在于电磁波中，存在于由交变电流激励的电磁装置的周围空间内。因此，对于广泛的磁场问题，也将首先聚焦于场分布，即磁感应强度B（r,t）随空间和时间变化规律的分析。 一、电磁场的物理模型1.3 电磁场中的媒质及其电磁性能参数 在电磁场源量的作用下，电磁场物理模型所对应的各种电气装置中的电磁现象，本质上将取决于构成装置和场域的各种媒质的几何结构及其电磁性能。在本课程中，主要研究宏观电磁现象，即研究媒质的微观结构在与电磁场相互作用下所表征的

15、宏观统计平均效应，采用若干个宏观等效的性能参数来描述媒质的电磁性能电导率、磁导率和介电常数。电介质：介电常数反映了材料在电场作用下的极化性能。磁介质：磁导率反映了材料宏观的磁化性能；导电媒质：电导率反映了材料的导电性能；这三个参数在电磁场中的地位相当于C、 L、R在电路问题中的作用。一、电磁场的物理模型 针对媒质中的电磁场问题，在物理电磁学中引入另外两个基本物理量：电通密度（电位移矢量）D和磁场强度H，它们的定义式分别与媒质的电磁性能参数和相关联，构成与基本量E和B之间的关系为:上式称为媒质的构成方程。D、H、和的单位分别是：库/米2（C/m2）、安/米（A/m）、法/米（F/m）和亨/米（H

16、/m）。本构关系一、电磁场的物理模型由以上分析可知，对于电磁场运动状态的描述，在数学上可以归结为研究空间矢量函数，即电场强度E、磁通密度B、电通密度D和磁场强度H随时间和空间变化的规律。 真空作为一种特殊媒质，具有表征其电磁性能的等效宏观电磁参数介质阻抗常数 和 磁导率。这两个分别和电、磁现象相关的真空电磁参数，与真空中电磁波传播速度c一起，构成电磁场物理模型中三个通用常数。二、矢量分析 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示矢量可表示为： 其中 为模值，表征矢量的大小； 为单位矢量，表征矢量的方向； 说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 。教材上的矢量符号即采用印刷体

17、。2.1 矢量代数2.1.1 标量和矢量 标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示二、矢量分析 矢量用直角坐标分量表示zxy二、矢量分析2.1.2 矢量的运算 矢量的加法和减法说明：1、矢量的加法符合交换律和结合律： 2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解： 二、矢量分析 矢量的乘法 矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。 矢量的标积（点积）说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律： 2、两个矢量的点积为标量 二、矢量分析 矢量的矢积（叉积）说明：1、矢量的叉积不符合交

18、换律，但符合分配律： 2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式qsinABq二、矢量分析 例题1-1 试说明图中从源点S（x,y,z） 指向场点P（x,y,z）的距离矢量R 可以 表示为 并写出其单位矢量二、矢量分析 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。2.2 三种常用的正交坐标系二、矢量分析2.2.1 直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0

19、,z0)0yy=（平面） o x y z0 xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx二、矢量分析2.2.2 圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系二、矢量分析说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积：二、矢量分析2.2.3 球面坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量二、矢量分析说明：球面坐标系下矢量运算： 加减：标积：矢积：二、矢量分析2.2.4 坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球

20、坐标系直角坐标与球坐标系oxy单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系oz单位圆 柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系二、矢量分析三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分布。三、场论3.1 标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场

21、。时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：三、场论3.1.1 标量场的等值面 标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为 ，则等值面方程为：3.1.2 方向导数方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。 方向导数定义：方向导数与选取的考察方向有关。三、场论 方向导数物理意义：，标量场 在 处沿 方向增加率；，标量场 在 处沿 方向减小率；，标量场 在 处沿 方向为等值面方向（无改变） 方向导数的计算

22、 的方向余弦。 式中： 分别为 与x,y,z坐标轴的夹角。 三、场论 梯度的定义式中： 为场量 最大变化率的方向上的单位矢量。3.1.3 标量场的梯度图 标量场梯度的图示 下面证明G的方向垂直于等值面： 结合下图，在过P点的切平面内，沿任何方向场函数的空间变化率必为0，因此沿过p点的切向单位矢量et 方向，必有三、场论 梯度的性质 标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影三、场论 梯度的运算 直角坐标系：哈密顿算符 球面坐标系： 柱面坐标系：三、场

23、论 梯度运算相关公式式中： 为常数； 为坐标变量函数； 三、场论3.2 矢量场的通量与散度3.2.1 矢量线（力线）矢量场的通量 矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：为矢量 沿有向曲面 S 的通量。3.2.2 矢量场的通量矢量线OM 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 三、场论 1) 面元矢量 定义：面积很小的有向曲面。：面元面积，为微分量，无限小：面元法线方向，垂直于面元平面。说明：2) 面元法向 的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方

24、向 若S 为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 三、场论 若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正源； 若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。 通过闭合面S的通量的物理意义：三、场论3.2.3、矢量场的散度 散度的定义 在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为： 即流出单位体积元封闭面的通量。三、场论 散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)； 矢量场的散度是标量； 矢量场的散度是空间坐

25、标的函数； 矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。( 正源) (负源)( 无源） 若 处处成立，则该矢量场称为无散场 若 ，则该矢量场称为有散场，为源密度 讨论：在矢量场中，三、场论 在直角坐标系下： 在圆柱坐标系下： 在球面坐标系下： 散度的计算三、场论3.2.4 散度定理（矢量场的高斯定理） 该公式表明了矢量场 的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。 散度运算相关公式三、场论3.3 矢量场的环量及旋度磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线磁场的环流：三、场论3.3.1 矢量的环量在场矢量 空间中，取一有向闭合路径 ，则称 沿 积分的结果称

26、为矢量 沿 的环量。即： 线元矢量 ：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。 环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况讨论： 环量的定义三、场论3.3.2 矢量的旋度 环流面密度称为矢量场 在M点处沿 方向的漩涡源密度。定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流：1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。2) 任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：三、场论 矢量场的旋度 矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为 ，即：式中： 表示矢量场旋度的方向； 旋度的物

27、理意义 矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度三、场论 旋度的计算 直角坐标系：三、场论 柱面坐标系： 球面坐标系：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零 旋度计算相关公式：证明证明三、场论讨论：散度和旋度比较 三、场论3.3.3 斯托克斯定理由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理的证明：得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。 注意：ds和dl的方向构成右手螺旋关系曲面的剖分方向相反大小相等抵消三、场论3.4 无旋场与无散场3.4.1 无旋场

28、 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无旋场。 结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。 重要性质：根据矢量恒等式 ，可引入标量辅助函数表征矢量场，即例如：静电场三、场论3.4.2 无散场 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 重要性质：根据矢量恒等式 ，可引入矢量函数的旋度表示无散场例如，恒定磁场三、场论（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部

29、分无旋场部分无散场部分三、场论3.5 拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中： 矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：三、场论 常用矢量恒等式总结(V) = V + V (A) = A + A(A) = A + A(AB) = B(A) A(B)V = 0(A) = 0V = 2V (A) = (A) 2A三、场论 例题1-2图中从源点S（x,y,z）指向场点P（x,y,z）的距离矢量R 可以表示为三、场论3.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 若矢量场F(r)在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域

30、V中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即 ：注意，式中 是源点(r) 到场点(r)的距离，算子和积分均对源点坐标进行运算和展开。三、场论3.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，且任意矢量场可表示为：说明： 矢量场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即：已知矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电、磁场散度电、磁场旋度场域边界条件亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。 若矢量场 在某区域V内，处处有： 和

31、则 由其在边界面上的场分布确定。 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。三、场论四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组4.1 电磁感应定律 法拉第电磁感应定律积分形式 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路所围面积的磁通量发生改变时，回路中将产生感应电动势，其大小等于回路磁通量的时间变化率。 数学表示： “-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组 法拉第电磁感应定律微分形式令感应电场为 空间内，一般还存在着静电场 ，导体内总电场为 。 由前面讨论可知： 为保守场，即 则 法拉第电磁感应定律微分形式四、电磁场的基本规律麦克斯韦方

32、程组对法拉第电磁感应定律微分形式的讨论 式中等式右边为B对t的偏导数，该式适用于分析时变场 式中的E是磁场随时间变化而激发的，称为感应电场 感应电场是有旋场，即随时间变化的磁场会激发旋涡状的电场 对任意回路（不一定有导体存在）成立 磁场不随时间变化时，有 ，与静电场的形式相同，可见静电场是时变场的特殊情况法拉第电磁感应定律所揭示的物理规律：随时间变化的磁场将产生电场。 四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组 例 在时变磁场 中，放置有一个 的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与 成角，如图所示。试求： （1）线圈静止时的感应电动势； 解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故

33、（2）线圈以角速度 绕 x 轴旋转时的感应电动势。xyzabB时变磁场中的矩形线圈四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组 假定 时 ，则在时刻 t 时， 与y 轴的夹角 （2）线圈绕 x 轴旋转时， 的指向将随时间变化。四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组4.2 位移电流一、安培环路定律的局限性 如图：以闭合路径 为边界的曲面有无限多个，取如图所示的两个曲面S1,S2。结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不适用于时变场问题对S2面：则对S1面：矛盾问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是否会产生磁场？四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组 安培环路定理的修正 位移电流的引入 由电流守恒

34、定律，有 安培环路定律的修正而在时变场情形下，即： ，则全电流传导电流位移电流 用全电流来代替安培环路定律中的传导电流，则可修正因时变条件下传导电流不守恒而产生的矛盾。 麦克斯韦提出了位移电流假说。他认为：在时变场空间中，存在着因变化的电场而形成的位移电流，位移电流与传导电流共同形成全电流，全电流满足电流守恒关系:电流守恒电流不守恒四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组 位移电流 3、引入位移电流后，用全电流代替安培环路定律中的传导电流 , 则安培环路定律在时变场中仍然适用。2、在理想介质中，无传导电流，但可能有位移电流； 在理想导体中，无位移电流，但可能有传导电流； 在导电介质中，既可能有传导电

35、流，又可能有位移电流。1、位移电流决定于电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。关于位移电流的几点说明四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组 安培环路定律广义形式 一般时变场空间同时存在真实电流(传导电流)和位移电流，则安培环路定律广义形式(全电流定律)物理意义：当电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源(位移电流)，从而激发起磁场关于位移电流假说 位移电流是一种假想电流，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性。四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组物理基础库仑定律电场强度与真空中的静电场安培定律法拉第电感定律位移电流假说电位移矢量与介质中静电场磁感应强度与真空中静磁场磁场强度与介质中的静磁场高斯定理磁通连续电感定律全电流定律麦克斯韦方程组边界条件四、电磁场的基本规律麦克斯韦方程组4.3 麦克斯韦方程组4.3.1 麦克斯