最优化方法试卷与答案5套

1、最优化方法1一、填空题：1最优化问题的数学模型一般为：，其中称为目标函数，称为约束函数，可行域D可以表示为,若,称尤*为问题的局部最优解，若，称x *为问题的全局最优解。2 .设f(x)= 2x2 + 2气x2 -气+ 5x2 ,则其梯度为,海色矩阵 ，令x = (1,2)T,d = (1,0)T，则f(x)在x处沿方向d的一阶方向导数为 ，几何意义为,二阶方向导数为，几何意义为。设严格凸二次规划形式为：min f (x) = 2x2 + 2x2 - 2x - xst.2x + x 0 x 0则其对偶规划为。4.求解无约束最优化问题：min f 3）,x g Rn，设xk是不满足最优性条件的第

2、k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向dk =用Newton法求解时，搜索方向dk =用共轭梯度法求解时，搜索方向dk =二.（10分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。三（25分）计算题（10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：min f （x） = 2x3 - 3x2 一 6x x （x - x -1）.（15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题:minf （x） = x xst.c（x） = x2 + x2 -1 = 012的最优解和相应的乘子。四.证明题（共33分）1.（10 分）设 f （x） =xtGx + rTx +

3、 5 是正定二次函数，证明一维问题 2min 中(a) = f (xk + adk)的最优步长为ak =一七.(10分)证明凸规划min f (x),x e D (其中f (x)为严格凸函数，D是凸集)的最优解是唯一的(13分)考虑不等式约束问题minf (x)s.t.c (x) 0, i e I = 1,2,A , m其中f (x),c (x)(i e I)具有连续的偏导数，设x是约束问题的可行点，若在x处 d满足W(x)Td 0,Vc (x)Td 0,i e I(x)则d是x处的可行下降方向。最优化方法2一、填空题：最优化问题的数学模型一般为：，其中称为目标函数，称为约束函数，可行域D可以

4、表示为，若，称x *为问题的局部最优解，若，称x *为问题的全局最优解。2 .设f(x)= x2 + 2气x2 -10气+ 5x2，则其梯度为，海色矩阵，令无=(1,0)T,d = (1,-1)T，则f(x)在亍处沿方向d的一阶方向导数 为，几何意义为 二阶方向导数为，几何意义为 O设严格凸二次规划形式为：min f (x) = x2 + x2 2x 一 xs.t.x + x 0 x 0则其对偶规划为 O4求解无约束最优化问题：min f (x),x g Rn，设xk是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向dk =用Newton法求解时，搜索方向dk =用共轭梯度法

5、求解时，搜索方向dk =二.(10分)简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。(200 字左右)三(25分)计算题3.(10分)用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：min f (x) = 2x3 - 3x2 - 6x x (x - x -1).(15分)用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问 题：minf (x) = xpii=1s.t.c(x) = x -a = 0i=1其中 p 1, a 0.四.证明题(共33分)(10 分)设 f (x) =xtGx + rrx + 5 是正定二次函数，证明一维问题 2min 中(a) = f (xk + a

6、dk)的最优步长为a =-箜Ml.kdkTGdk(23分)考虑如下规划问题minf (x), x e Rns.t.c (x) -5 x , x 0、1212可行方向集为（），下降方向集为（）。二、选择题min f = (x - 2)2 + x21.给定问题12st - x + x2 0，则下列各点属于K-T点的是x - x 0A)(0,0) TB) (1,17C) (1，穿7D)1 1、(2,尹2.下列函数中属于严格凸函数的是( )Af (x) = x2 + 2x x -10 x + 5xB)11 212C)f =2 气2 3 2 X2 - 6 ”3D)三、求下列问题min f (x) = 2

7、 x2 + 2 x2 - 5x -10 xs.t 2x - 3x 30 x + 4 x 0取初始点(0,5 V。四、考虑约束优化问题min f (x ) = x2 + 4 x2s.t 3x + 4x 13用两种惩罚函数法求解。用牛顿法求解二次函数f (x) = (x - x + x )2 + (-x + x + x )2 + (x + x - x )2123123123二12 2 J的极小值。初始点x0 =1,1,1六、证明题 1.对无约束凸规划问题 min f (x) = xtQx + ctx， 设从点x eRn出发，沿方2向deRn作最优一维搜索，得到步长厂和新的点y = x + td，试

8、证当V VdTQd = 1 时，12 = 2f (x) - f (顼)。2.设x*= (x*, x*, x*)T 0是非线性规划问题min f(x)=x1+2x2 + 3 x3的最优1 2 3s.t x 4 + x4 + x4 = 10解，试证x*也是非线性规划问题min x4+ x4+ x3的最优解，其中st x + 2 x + 3x = f *f * = x* + 2x* + 3x*。最优化方法试题4一、是非题若某集合是凸集，则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于 此集合。设函数f (x) G C 2，若Vf (x*) = 0，并且V 2 f (x*)半正定，则x*是 min f (x)

9、 的局部最优解。设x*是min f (x)的局部最优解，则在x*处的下降方向一定不是可 行方向。设x*是min f (x)的局部最优解，则x*是min f (x)的K-T点。设函数f (x) g C 2，则用最速下降法求解min f (x)时，在迭代点xk处 的搜索方向一定是f (x)在xk处的下降方向。用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点。二、在区间1,1上用黄金分割法求函数f (x) = x 2 - x + 2的极小点，求 出初始的两个试点及保留区间。三、验证点(土17,1互)T与(0, 3)t是否是规划问题22min f (x ) =x2 + xs.t x2 + x2 1用共

10、轭梯度法求解无约束优化问题min x 2 + 2 x 2 + 2 x x x + x 121212取初始点x = (0,0) r，精度为103。0六、证明题1.设集合S uRn是凸集，f1( x), L fk (x)是S上的凸函数，令 f (x) = max f (x),L f (x) x e S证明f (x)也是S上的凸函数。2 .设 X = x e Rn | X a x b , i = 1,L , m, x 0, j = 1,L , n , x e X，记 TOC o 1-5 h z L Iij j ijILIj=1JI (x) = i e1,L , ml Eax = b ,i JJ(x)

11、 = j e 1,L ,乃l x. = 0,证明：p是Xl在x处的可行方向的充要条件是Y a p 0, i e I (x); p 0, j e J (x)。ij jjj=1最优化方法试题5二、填空题设Q为n阶对称正定矩阵，a为行满秩矩阵，则问题1- b的可行解，则在x处有A G Rmxn , x G Rn , b G Rmax = b , Axb ,其中 A = （ At , At ）t , b = （b, b ）t ，则。0 是 x 的下降方向 11221212的充要条件为（），d 0是x的可行方向的充要条件为（）。二、运用0.618法求min f （x）= x2 一 x + 2在区间一1,

12、3上的极小点。要求最终区间长度不大于原区间长度的0.08倍。（计算结果精确到0.001）三、用最速下降法求解无约束问题 min f （x）= 3（x1 -2* + 4（x2 -3）2，取初始点 xQ） =（4,3。四、证明题1.用牛顿法求函数f （x） = 1 xtAx + bTx + c（A为对称正定矩阵）的极小值 2只需一次迭代；2.罚函数内点法定义惩罚函数G0, r) = f+ rB (x)，(其中B 0)。设 、二(k = 1,L )产生序列)，证明：G (x(k+i), r ) B(x(k)；f ( x (k+1) 0。设 x e D , y * 是问题 P : min Vf ( x)t (y - x)的最优解。2 yeD求：什么条件下x是问题P的K-T点；1什么条件下d = y * - x为x处的可行下降方向.七、某银行有投资资金x0，投资于A,B两个项目，计划5年为一个周 期A,B两个项目的资金回收率分别为a,b( 0 a v 1,0 b v 1)。