第五课时 利用导数研究函数零点专题

1、第五课时利用导数研究函数零点专题专题概述利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一,也是高考考查的热点题型,常作为解答题的一问出现,难度较大.解决此类问题一般是利用转化与化归思想把问题转化为相应的方程根的问题或函数图象交点问题.考点一 利用函数图象研究函数零点考点专项突破 在讲练中理解知识 【例1】 已知函数f(x)=2x3-3x.若过点P(1,t)存在三条直线与曲线y=f(x)相切,求t的范围.x(-,0)0(0,1)1(1,+)h(x)-0+0-h(x)-3-1过点P(1,t)存在三条直线与曲线y=f(x)相切等价于直线y=t与曲线y=h(x)的图象有三个交点.如图作出y=h(x)的图象.从

2、图可以看出,当-3t-1时,函数y=t和y=h(x)的图象有3个交点.综上,t的取值范围是(-3,-1).反思归纳 含参数的函数零点个数,可转化为方程解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,用x表示参数的函数,作出该函数图象,根据图象特征求参数的范围.【即时训练】 已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.解:(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,所以a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3.由f(x)

3、=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性,可知f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,又f(-3)=-191,结合f(x)的单调性,可知m的取值范围是(-3,1).利用函数性质研究函数零点考点二反思归纳 利用函数性质研究函数的零点,主要是根据函数最值或极值的符号确定函数零点的个数,此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.【即时训练】 导学号 18702142 已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=4时,

4、求函数y=g(x)在x=0处的切线方程;解:(1)当a=4时,g(x)=(-x2+4x-3)ex,g(0)=-3,g(x)=(-x2+2x+1)ex,g(0)=1,所以,所求的切线方程为y+3=x-0,即y=x-3.(2)如果关于x的方程g(x)=2exf(x)在区间 上有两个不等实根,求实数a的取值范围.【例3】 导学号 18702143 已知函数f(x)=aln x-(其中aR).若函数f(x)有唯一零点,求a的取值范围.反思归纳 函数有唯一零点的求解方法(1)函数在定义域上单调,满足零点存在性定理.(2)若函数不是严格单调函数,则其最小值等于0或最大值等于0.(3)分离参数后,数形结合,

5、参数所在直线与函数图象只有一个交点.【即时训练】 设函数f(x)=ln x+x.当m0时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,求m的值.构造函数法研究函数零点问题考点三【例4】 (2014全国卷)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k0.当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+)没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.反思归纳 含参数两函数y=f(x)与y=g(x)图象交点问题,若不能作出两函数图象,常转化为函数h