《不等式》专题6 基本不等式最值分析（中下）专题讲义（Word版含答案）

1、不等式专题6-1 基本不等式最值分析（中下）（6套13页）典型例题：若，且，则：（ 答案：6，12；）（1）的最大值为 ；（2）的最大值为 ；（3）的最大值为 ；不等式a212a中等号成立的条件是( 答案：B； 解析a212a(a1)20，a1时，等号成立)Aa1 Ba1 Ca1 Da0若a1，则aeq f(1,a1)与1的大小关系是 答案：aeq f(1,a1)1； 解析:因为a1，即1a0,所以eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(1,a1)(1a)eq f(1,1a)2 eq r(（1a）f(1,1a)2.即aeq f(1,a1)1._若，的最大值为 答案：； （多选）设正实

2、数，满足，则（ 答案：AD； ）A有最小值4 B有最小值C有最大值1 D有最小值（多选）已知a，b0且2ab1，则的值不可能是（ 答案：ABD； ）A7 B8 C9 D10已知，则的最大值为 答案：6； .随堂练习：若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是( 【答案】C【解析】a0，b0，且a+b=1；1=a+b2ab；ab14；ab有最大值14，选项A错误；a+b2=a+b+2ab=1+2ab1+214=2，a+b2，即a+b有最大值2，B项错误.1a+1b=a+bab=1ab4，1a+1b有最小值4，C正确；a2+b2=a+b22ab=12ab1214=12,a2+b2的最小值是1

3、2，不是22，D错误)Aab有最小值14Ba+b有最小值2C1a+1b有最小值4Da2+b2有最小值22已知ab，则eq f(ba1,ba)ba的最小值为( A 解析：因为a0，由基本不等式可得eq f(ba1,ba)ba1eq f(1,ba)(ba)12eq r(f(1,ba)（ba）)3，当且仅当eq f(1,ba)ba(ba)，即当ba1时，等号成立，因此，eq f(ba1,ba)ba的最小值为3,故选A.) A3 B2 C4 D1已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9对任意x、y为正实数恒成立，则正数a的最小值为_ 答案：4；解析 展开后

4、，利用基本不等式，而后解不等式可求a值(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)1eq f(ax,y)eq f(y,x)aa12eq r(a)(a0)，要使原不等式恒成立，则只需a12eq r(a)9，即(eq r(a)2)(eq r(a)4)0，故eq r(a)2，即a4，正数a的最小值是4._（2020浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数，则的最小值是（ 【答案】B【解析】，当且仅当，即，时取等号.故选B ） A BCD（多选）现有以下结论：（1）函数的最小值是2； （2）若且，则；（3）的最小值是2； （4）函数的最小值为其中，不正确的是（ 答案：

5、ACD； ）A.（1） B.（2） C.（3） D.（4） 桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？（ 解析：(1)由题可得，xy1 800，b2a，则yab63a6，S(x4)a(x6)b(3x16)a(3x16)eq f(y6,3)1 8326xeq f(16,3)y(x6，y6，x

6、y1 800)(2)方法一S1 8326xeq f(16,3)y1 8322eq r(6xf(16,3)y)1 8324801 352，当且仅当6xeq f(16,3)y，xy1 800，即x40，y45时，S取得最大值1 352方法二S1 8326xeq f(16,3)eq f(1 800,x)1 832eq blc(rc)(avs4alco1(6xf(9 600,x)1 8322eq r(6xf(9 600,x)1 8324801 352，当且仅当6xeq f(9 600,x)，即x40时取等号，S取得最大值，此时yeq f(1 800,x)45）知识点（选讲）：对钩函数图像: 令ab，求

7、最值点x，x代入，求出最值y。一般在给定区间中求最值、范围，用图像比较好。 没有要求记图像，不过如果熟悉几个不同的图像，分析问题会比较方便，建议各位同学记一记。典型例题（选讲）：画出以下函数图像，并标注其最值点。 ； ； ； 函数，若，最小值为 最大值为 ； 若，的值域为 答案：4，5，； ；若，的最小值为 最大值为 答案：0，； 随堂练习（选讲）：画出以下函数图像，并标注其最值点。 ； ； ；函数，若，最小值为 最大值为 ； 若，的值域为 答案：，； ；若，的最小值为 最大值为 答案：，0； ；不等式专题6-2 基本不等式最值分析（中下）已知非负实数a，b满足2a3b10，则最大值是（ 答案

8、：B； ）B 510 (1)若x3，求y2x1eq f(1,x3)的最大值；(2)已知x0，求yeq f(2x,x21)的最大值（ 解：(1)因为x3，所以3x0.又因为y2(x3)eq f(1,x3)7eq blcrc(avs4alco1(2（3x）f(1,3x)7，由基本不等式可得2(3x)eq f(1,3x)2eq r(2（3x）f(1,3x)2eq r(2)，当且仅当2(3x)eq f(1,3x)，即x3eq f(r(2),2)时，等号成立，于是eq blcrc(avs4alco1(2（3x）f(1,3x)2eq r(2)，eq blcrc(avs4alco1(2（3x）f(1,3x)

9、772eq r(2)，故y的最大值是72eq r(2).(2)yeq f(2x,x21)eq f(2,xf(1,x).因为x0，所以xeq f(1,x)2eq r(xf(1,x)2，所以0yeq f(2,2)1，当且仅当xeq f(1,x)，即x1时，等号成立故y的最大值为1.）函数的值域是（ 答案：C； ） 或 若，的最大值为 答案：； 已知xeq f(5,2)，则yeq f(x24x5,2x4)有( D 解析：yeq f(x24x5,2x4)eq f(（x2）21,2（x2）)eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(（x2）f(1,x2)，因为xeq f(5,2)，所以x2

10、0，所以eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(（x2）f(1,x2)eq f(1,2)2eq r(（x2）f(1,x2)1，当且仅当x2eq f(1,x2)，即x3时取等号故y的最小值为1.)A最大值eq f(5,4) B最小值eq f(5,4) C最大值1 D最小值1（多选）设a0，b0，a2b1，则（ 答案：ABD； ）Aab的最大值为 B的最小值为C的最小值为8 D的最小值为已知，且，则下列不等式；。其中正确的序号是_ 答案：；_.已知a0，b0，eq f(2,a)eq f(1,b)eq f(1,6)，若不等式2ab9m恒成立，则m的最大值为( C 解析：可得6eq b

11、lc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,b)1，所以2ab6eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,b)(2ab)6eq blc(rc)(avs4alco1(5f(2a,b)f(2b,a)6(54)54，当且仅当eq f(2a,b)eq f(2b,a)时等号成立，所以9m54，即m6，故选C.)A8 B7 C6 D5（填空3）若a,b均为非负数且a+b=1, 则 QUOTE 的最小值为 答案：3；_某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每

12、次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱？（ 解设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去eq f(488,x)批，总开支又分为：买卡所需费用240 x，包车所需费用eq f(488,x)40.y240 xeq f(488,x)40(02)，则由eq f(|DN|,|AN|)eq f(|DC|,|AM|)得|AM|eq f(3x,x2).所以S矩形AMPN|AN|AM|eq f(3x2,x2).(1)由S矩形AMPN32，得eq f(3x2,x2)32.又x2，所以3x232x640，解得2x8.所以AN的长度的取值范

13、围为eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(8,3)(8，)(2)因为S矩形AMPNeq f(3x2,x2)eq f(3x2212x212,x2)3(x2)eq f(12,x2)122eq r(3x2f(12,x2)1224，当且仅当3(x2)eq f(12,x2)，即x4时，等号成立所以当AN的长度是4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24 m2.（选做）函数，若，最小值为 最大值为 ；若，的值域为 答案：2，； ；（选做）若，的最小值为 最大值为 答案：-3，0； ； 不等式专题6-3 基本不等式最值分析（中下）eq r(（3a）（a6）)(6a3)的最大值为( B 解析：

14、选B.因为6a3，所以3a0，a60，所以eq r(（3a）（a6）)eq f(（3a）（a6）,2)eq f(9,2).即eq r(（3a）（a6）)(6a3)的最大值为eq f(9,2).)A9B.eq f(9,2) C3 D.eq f(3r(2),2)当时，的最大值为 【答案】-3，-2；【解析】当时，又，,故答案为：-3_，此时x_.已知，且，则的最小值是（ 【答案】B【解析】由知，当且仅当时取等号.故的最小值为4故选：B ） A3B4C5D6若，函数的最大值为 答案：； 若，则的最大值为（ 答案：C； 解： 从而，.即。 ） A. B. C. D.1（多选）设正实数满足，则下列说法正

15、确的是（ 答案：ABD； ）A的最小值为4 B的最大值为C的最小值为 D的最小值为（多选）设，给出下列不等式恒成立的是（ 【答案】ACD【解析】设，成立，不成立，当且仅当即时取等号，故成立，当且仅当，即时取等号，故成立，故选： ）.A B C D已知，若不等式恒成立，则的最大值为_ 【答案】9.【解析】由得恒成立，而，故，所以的最大值为.已知，不等式恒成立，则的取值范围是 答案：； （答案写成集合或区间格式）某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低eq f(3

16、x,4)元，在售价不变的情况下，年销售量将减少eq f(2,x)万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为z(单位：万元)(纯利润每件的利润年销售量投入的成本)(1)求z的函数解析式；(2)求z的最大值，以及z取得最大值时x的值（ 解(1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为eq blc(rc)(avs4alco1(1000f(3x,4)元，每件产品的利润为eq blc(rc)(avs4alco1(200f(3x,4)元，年销售量为eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,x)万件，故zeq blc(rc)(avs4alco1(200f(3x,4)eq blc

17、(rc)(avs4alco1(1f(2,x)x198.5eq f(400,x)eq f(x,4)eq blc(rc)(avs4alco1(2x0)(2)x0，225xeq f(3602,x)2eq r(2253602)10800.y225xeq f(3602,x)36010440.当且仅当225xeq f(3602,x)时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元（选做）函数，若，最小值为 最大值为 ； 若，的值域为 答案：-10，-6，； ；（选做）若，的最小值为 最大值为 答案：，-1； ； 不等式专题6-4 基本不等式最值分析（中下）若实数，满足，则的最小

18、值为 【答案】4【解析】因为，所以，当时取“”，所以的最小值为4，故答案为4._求下列函数的最值（1）已知xeq f(5,4)，求f(x)4x2eq f(1,4x5)的最大值（ 解析：因为xeq f(5,4)，所以4x50f(x)4x53eq f(1,4x5)eq blc(rc)(avs4alco1(54xf(1,54x)32eq r(54xf(1,54x)31当且仅当54xeq f(1,54x)时等号成立，又54x0，所以54x1，x1所以f(x)maxf(1)1）函数的值域是 答案：；提示：；所以函数的值域是。 。若对任意，恒成立，则的取值范围是 答案：； 【解析】因为，所以（当且仅当时取

19、等号），所以有，即的最大值为，故 函数yeq f(x25,r(x24)的最小值为( 答案：B；解析yeq f(x25,r(x24)eq r(x24)eq f(1,r(x24)eq r(x24)2，而eq f(1,r(x24)eq f(1,2)，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数yxeq f(1,x)在(1，)上是增函数，在2，)上也是增函数当eq r(x24)2即x0时，ymineq f(5,2).)A2 B.eq f(5,2) C1 D不存在（多选）设，则（ 答案：ABD；【解析】，得，当且，时取等号，故A正确；，当且仅当，时取等号，故B正确；，当且仅当时取等号，故C错

20、误；，当且仅当，时取等号，故D正确，故选ABD ）Aab的最大值为 B的最小值为C的最小值为8D的最小值为给出下列结论：若a0，则a21a. 若a0，b0，则eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)a)eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,b)4.若a0，b0，则(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)4. 若aR且a0，则eq f(9,a)a6.其中恒成立的是 答案：； 解析因为(a21)aeq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2eq f(3,4)0，所以a21a，故恒成立因为a0，所以aeq f(1,a)2，因

21、为b0，所以beq f(1,b)2，所以当a0，b0时，eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,b)4，故恒成立因为(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)2eq f(b,a)eq f(a,b)，又因为a，b(0，)，所以eq f(b,a)eq f(a,b)2，所以(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)4，故恒成立因为aR且a0，不符合基本不等式的条件，故eq f(9,a)a6是错误的_已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围（ 【答案】.【解析】由，则当

22、且仅当即时取到最小值16若恒成立，则）函数yloga(x3)1 (a0，a1)的图象恒过点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则eq f(1,m)eq f(2,n)的最小值为_ 答案：8；解析A(2，1)在直线mxny10上，2mn10，即2mn1，mn0，m0，n0.eq f(1,m)eq f(2,n)eq f(2mn,m)eq f(4m2n,n)2eq f(n,m)eq f(4m,n)242eq r(f(n,m)f(4m,n)8.当且仅当eq f(n,m)eq f(4m,n)，即meq f(1,4)，neq f(1,2)时等号成立故eq f(1,m)eq f(2,n)的最小值为8.

23、_近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额成本）；2020年产量为多少（千部）时，企业

24、所获利润最大？最大利润是多少？（ 【答案】（）（）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】（）当时，；当时， .（）若，当时，万元 .若，当且仅当时，即时，万元 .2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.）某商场 答案：D；解析：设每次进x件，费用为y元，由2000， 仅当 时最小。的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，求每次进货量应多少（选做）函数，若，最小值为 最

25、大值为 ； 若，的值域为 答案：6，； ；（选做）若，的最小值为 最大值为 答案：8，； ； 不等式专题6-5 基本不等式最值分析（中下）若0 xeq f(1,2)，则函数yxeq r(14x2)的最大值为( C解析：因为0 xeq f(1,2)，所以14x20，所以xeq r(14x2)eq f(1,2)2xeq r(14x2)eq f(1,2)eq f(4x214x2,2)eq f(1,4)，当且仅当2xeq r(14x2)，即xeq f(r(2),4)时等号成立，故选C.)A1 B.eq f(1,2) C.eq f(1,4) D.eq f(1,8)若a1，则aeq f(1,a1)有最_值

26、，为_ 答案：大1；解析a1，a10，关于代数式2aa2+1，下列说法正确的是( 【答案】A【解析】a0，2aa2+1=2a+1a22a1a=1，当且仅当a=1a即a=1时取等号，故a0，关于代数式2aa2+1有最大值1，没有最小值，故选：A)A有最大值无最小值 B有最小值无最大值C有最小值也有最大值 D无最小值也无最大值若，的最大值为 答案：； 设x1，则函数yeq f(x5x2,x1)的最小值是_ 答案：9；解析x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yeq f(t4t1,t)eq f(t25t4,t)teq f(4,t)52eq r(tf(4,t)59，当且仅当teq f(4,t)，即

27、t2时取等号，此时x1.当x1时，函数yeq f(x5x2,x1)取得最小值为9._（多选）设x，以下四个命题中正确的是（ 答案：AD；解：，即，当且仅当时取“=”，A正确，即，即当且仅当，即时取“=”，最小值为2，B错若，当且仅当即即时取“=”此时矛盾，C错最小值不能是2.，即，当且仅当时取“=”，D正确选AD ）A.若，则S有最小值2 B.若，则S有最小值4C.若，则有最小值2 D.若，则P有最大值1（多选）下列选项正确的是（ 答案：CD； ）A.若，则的最小值为4； B.若，则的最小值为2；C.若，则的最大值为-2； D.若正实数x,y满足，则的最小值为8若，且，恒成立，则实数的取值范围

28、是（ 【答案】A【解析】由基本不等式得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.由题意可得，即，解得或.因此，实数的取值范围是，故选：B. ）AB C D已知：是正常数，且的最小值为18，求的值. ( 答案：； ）已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？（ 【答案】80,280【解析】设总费用为则 当时等号成立，满足条件故最经济的车速是，总费用为280.）某厂家 答案：；解

29、（1）由题意可知当每件产品的销售价格为，2008年的利润（2），（万元）答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2005年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？（选做）函数，若，最小值为 最大值为 ； 若，的值域为 ； 答案：3，；（选做）若，的最小值为 最大值为 答案：，； 不等式专题6-6 基本不等式最值分析（中下）设为实数，若则的最大值是 答案：； 。已知x3，则的最大值是 答案：-1；_.函数的值域为 答案：； 若，的最大值为 答案：； 已知关于的不等式在上恒成立，求实数的最小值；（ 答案：3；） （多选）下列结论不正确的是（ 答案：BC；）A当x0时， B当x0时，的最小值是2C当时，的最小值是 D设x0，y0，且x+y2，则的最小值是（多选）下列结论不正确的是（ 答案：AC