极限及其性质课件

1、14 多重積分 Multiple Integration14.1 逐次積分和平面上的面積14.2 重積分和體積14.3 積分變數變換：極坐標14.4 質心和慣性矩14.5 曲面面積14.2 二重積分和體積(Double integrals and volume)一個在 xy-平面中區域 R上的非負連續函數 f (x, y)。欲求出介於 xy-平面和 z = f (x, y) 曲面之間立體區域的體積，如圖14.8。先在區域 R上畫好長方形的小格子，如圖14.9，其中完全落在 R 內的長方形構成 R 的一個內部分割，的範數 | 就定義為所有中各長方形對角線長的最大值。然後，在第 i 個長方形中任選

2、一點 (xi, yi)，向上架一個以 f (xi, yi) 為高的長方柱體，如圖14.10。由於第 i 個長方形的面積是Ai，因此第 i 個長方柱體的體積是 f (xi, yi)Ai。這些柱體體積的和稱為一個黎曼和，可作為立體區域體積的近似值，如圖14.11 所示。P.621Ch14 多重積分P.621Ch14 多重積分圖14.8P.621Ch14 多重積分圖14.9 在 R 內的長方形形成 R 的一個內部分割。P.621Ch14 多重積分圖14.10 長方柱體的底面積是Ai，高是 f (xi, yi)。P.621Ch14 多重積分圖14.11 以長方柱體的體積和近似立體區域的面積。例 1 近

3、似立體的體積請用邊長為 的正方形分割求在拋物面之下，正方形區域 R(0 x 1, 0 y 1) 之上立體體積的近似值。解先將 R 分割為邊長 的小正方形。為方便起見，我們選擇小正方形的中心來計算相關的 f (x, y)。P.622Ch14 多重積分圖14.14P.622Ch14 多重積分例 1（續）由於每一個正方形的面積都是，作為近似值的黎曼和是圖14.14 顯示此一近似立體區域的長方柱。體積的準確值是 2/3（見例 2）。如果選取更細的分割，近似的程度會更佳。例如，若取邊長為 1/10 的正方形分割，近似值是0.668。P.622Ch14 多重積分P.621Ch14 多重積分圖14.11 以

4、長方柱體的體積和近似立體區域的面積。圖14.13P.622Ch14 多重積分二重積分的定義P.623Ch14 多重積分f 是定義在 xy-平面中一個有界閉區域 R 上的函數，如果極限存在，我們就稱 f 在 R 上可積（分），而以表此極限值，稱為 f 在 R 上的二重積分。立體區域的體積如果 f (x, y) 0，並且在平面區域 R 上可積，則定義在 R 之上，在 f 的圖形之下的立體區域體積為P.623Ch14 多重積分定理14.1 二重積分的性質P.623Ch14 多重積分圖14.14 如果兩個區域的交集面積為 0，就稱它們互不重疊。在此圖中，R1 和 R2 的交集是一條線段，線段的面積為

5、0。P.623Ch14 多重積分計算二重積分如圖14.15 所示，有一個以平面 z = f (x, y) = 2 x 2y和三個坐標平面為界的立體區域。此立體的每一個與yz平面平行的鉛直截痕都是一個三角形，它的底是 y = (2 x)/2，高是 z = 2 x。這表示對一個固定的 x，上述三角形截痕的面積是由7.2 節，已知截痕面積的立體區域體積公式是：P.624Ch14 多重積分不管 A(x) 如何求得，均可依照上述過程進行。當然也可用積分求 A(x)，如圖14.16 所示。也就是說把 x 看成常數，將 z = 2 x 2y 從 y = 0 積到 y = (2 x)/2 得到若將上述過程寫成

6、一個式子，就得到下面這個逐次積分若要深入瞭解將二重積分改寫為逐次積分的步驟，最好把上述的積分想像成展線以為面，積面以為體的兩階段動作。對內層的積分來說，是由鉛垂線掃出一個截痕的面積；對外層的積分來說，三角形截痕又掃出整個的體積，如圖14.17 所示。P.624Ch14 多重積分圖14.15P.624Ch14 多重積分圖14.16 三角形截痕。P.624Ch14 多重積分圖14.17P.624Ch14 多重積分定理14.2 Fubini 定理(Fubinis theorem)P.625Ch14 多重積分例 2 以逐次積分計算二重積分計算 式中 R 是由不等式 0 x 1,0 y 1 定出的區域。

7、解由於 R 是一單純的正方形，既是鉛直也是水平單純形，因此可任取一順序求逐次積分。若選擇 dy dx，並在 R 上架一個鉛直的樣本長方形，如圖14.18 所示。進行逐次積分得到P.625Ch14 多重積分例 2（續）P.625Ch14 多重積分圖14.18 立體區域的體積是 2/3。P.625Ch14 多重積分例 3 以二重積分求體積求以拋物面 z = 4 x2 2y2 和 xy-平面為界的立體區域體積。解令 z = 0，可以看出立體區域立基於 xy-平面上的橢圓 x2 + 2y2 = 4，如圖14.19(a) 所示。此一平面區域既是鉛直又是水平單純形，我們選 dy dx 來進行。P.626C

8、h14 多重積分例 3（續）P.626Ch14 多重積分計算體積如下：圖14.19P.626Ch14 多重積分例 4 比較積分的順序如圖14.20，求以曲面f (x, y) = ex2平面 y = 0，平面 y = x 和平面 x = 1 為界的立體區域體積。解立體區域 R 在 xy-平面上的基礎是以直線 y = 0， x = 1 和 y = x 為界的三角形，圖14.21 顯示兩個可能的積分順序。P.627Ch14 多重積分圖14.20 以 y = 0，y = x 和 x = 1 為界的基礎。P.627Ch14 多重積分P.627Ch14 多重積分圖14.21例 5 以兩曲面為界的立體區域體積如圖14.22 立體區域 R 的上緣是拋物面 z = 1 x2 y2，下緣是平面 z = 1 y，請求 R 的體積。解先求 z 的公解，以決定兩曲面相交的曲線落在正圓柱面上，其方程式為1