弹性力学第2章

1、第二章 平面问题(wnt)的基本理论1共五十五页平面(pngmin)问题的基本理论第二章 平面(pngmin)问题的基本理论2-11 应力函数逆解法与半逆解法2-1 平面应力问题与平面应变问题2-2 平衡微分方程2-3 斜面上的应力主应力2-4 几何方程 刚体位移2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题。相容方程2-10 常体力情况下的简化习题课 2共五十五页一、平面(pngmin)应力问题2-1 平面(pngmin)应力问题与平面(pngmin)应变问题 在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力

2、系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 等厚度薄板，板边承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。z = 0 zx = 0 zy = 0图21平面问题的基本理论3共五十五页平面问题的基本(jbn)理论xy 特点(tdin)：1) 长、宽尺寸远大于厚度2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。问题相反。注意：平面应力问题z =0，但，这与平面应变4共五十五页二、平面应变(y

3、ngbin)问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度(chngd)变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度(chngd)变化。z = 0 zx = 0 zy = 0 x 图 22平面问题的基本理论如：水坝、受内压的圆柱管道等。注意平面应变问题z = 0，但问题相反。，这恰与平面应力5共五十五页2-2 平衡(pnghng)微分方程 无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题，所有物理量均与z无关。 下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并由此导出平衡微分方程。从图21所示的薄板取出一个微小的正平行六面体PABC(图23），它在z方向的尺寸取为一

4、个单位长度。图23 设作用在单元体左侧面上的正应力是 ，右侧面上坐标 得到增量 ，该面上的正应力为 ，将上式展开为泰勒级数：平面(pngmin)问题的基本理论6共五十五页略去二阶及二阶以上的微量后便得 同样 、 、 都一样处理，得到图示应力状态。 对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程 ：将上式的两边除以 得到：令，即略去微量不计，得：平面(pngmin)问题的基本理论7共五十五页 下面推导平面应力问题(wnt)的平衡微分方程，对单元体列平衡方程：平面问题(wnt)的基本理论8共五十五页 整理(zhngl)得: 这两个微分方程

5、中包含着三个未知函数 。因此决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 对于平面应变问题,虽然前后面上还有 ,但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。平面问题(wnt)的基本理论9共五十五页2-3 斜面(ximin)上的应力、主应力一、斜面上的应力 已知弹性体内任一点P处的应力分量 ，求经过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。 设AB面在xy平面内的长度为dS，

6、厚度为一个单位长度，N 为该面的外法线方向，其方向余弦为：平面问题(wnt)的基本理论图2410共五十五页 斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB的平衡条件 可得：除以 即得：同样由 得出： 斜面AB上的正应力 ，由投影可得：斜面AB上的剪应力 ，由投影可得：平面(pngmin)问题的基本理论11共五十五页二、主应力 如果经过(jnggu)P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。1.主应力的大小(dxio)2.主应力的方向 与 互相垂直。平面问题的基本理论12共五十五页

7、2-4 几何方程、刚体(gngt)位移 在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性体受力以后(yhu)P、A、B三点分别移动到P、A、B。图25一、P点的正应变 在这里由于小变形，由y方向位移v所引起的PA的伸缩是高一阶的微量，略去不计。平面问题的基本理论13共五十五页同理可求得：二、P点的切应变(yngbin)线段(xindun)PA的转角：同理可得线段PB的转角：所以平面问题的基本理论14共五十五页因此(ync)得到平面问题的几何方程： 由几何方程可见，当物体(wt)的位移分量完全确定时，形变分量即可完全确定。反之，当

8、形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。平面问题的基本理论15共五十五页2-5 物理(wl)方程 在完全弹性(tnxng)的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的关系根据虎克定律建立如下：平面问题的基本理论16共五十五页 式中，E为弹性模量；G为刚度模量； 为泊松比。三者的关系：一、平面应力问题(wnt)的物理方程且有：平面(pngmin)问题的基本理论17共五十五页二、平面(pngmin)应变问题的物理方程三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换(binhun)关系将平面应力中的关系式：平面问题的基本理论18共五十五页作代换(di hun)就可得到平面(pngmin)应

9、变中的关系式： 由于这种相似性，在解平面应变问题时，可把对应的平面应力问题的方程和解答中的弹性常数进行上述代换，就可得到相应的平面应变问题的解。平面问题的基本理论19共五十五页2-6 边界条件 当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。 按照边界条件的不同(b tn)，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。一、位移(wiy)边界条件 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 ，则有（在 上）：其中 和 表示边界上的位移分量，而 和 在边界上是坐标的已知函数。平面问题的基本理论20共五十

10、五页二、应力(yngl)边界条件 当物体(wt)的边界上给定面力时，则物体(wt)边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件。其中 和 为面力分量， 、 、 、 为边界上的应力分量。 当边界面垂直于 轴时，应力边界条件简化为： 当边界面垂直于 轴时，应力边界条件简化为：平面问题的基本理论21共五十五页三、混合(hnh)边界条件1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别(fnbi)有应力边界条件和位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面有位移边界条件：上下面有应力边界条件：右端面有应力边界条件：图2-6平面问题的基本理论22共五十五

11、页2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移(wiy)边界条件。如图2-7连杆支撑边界条件：如图2-8齿槽边界条件：图2-7图2-8平面(pngmin)问题的基本理论23共五十五页图2-9(a)(b)(c)(d)(e) 在上述四种情况下，离开两端较远的部分(b fen)的应力分布，并没有显著的差别。注意(zh y)： 应用圣维南原理，绝不能离开“静力等效”的条件。平面问题的基本理论2-7 圣维南原理表述1：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。24共五十五页2-8

12、按位移求解平面(pngmin)问题 在弹性力学里求解问题，有三种基本(jbn)方法：按位移求解、按应力求解和混合求解。 按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出形变分量，从而用物理方程求出应力分量。一、平面应力问题在平面应力问题中，物理方程为：平面问题的基本理论25共五十五页由上列三式求解应力(yngl)分量，得：将几何方程(fngchng)代入，得弹性方程(fngchng)：再将式（a）代入平衡微分方程，简化以后，即得：（a)这是用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移求解平面应力问题时所需用的基本微分方程。（1）平面问

13、题的基本理论26共五十五页将（a）式代入应力(yngl)边界条件，简化以后，得：这是用位移表示的应力边界条件，也就是按位移求解(qi ji)平面应力问题时所用的应力边界条件。（2） 总结起来，按位移求解平面应力问题时，要使得位移分量满足微分方程（1），并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件（2）。求出位移分量以后，用几何方程求出形变分量，再用物理方程求出应力分量。二、平面应变问题 只须将平面应力问题的各个方程中 和 作代换：平面问题的基本理论27共五十五页2-9 按应力(yngl)求解平面问题。相容方程 1.平衡(pnghng)方程 按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分

14、量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出形变分量，从而用几何方程求出位移分量。2.相容方程由平面问题的几何方程：平面问题的基本理论28共五十五页可得：即：这个关系式称为变形(bin xng)协调方程或相容方程。（一）平面应力(yngl)问题的相容方程（二）平面应变问题的相容方程平面问题的基本理论3.用应力表示的相容方程29共五十五页 按应力求解平面问题时，无论是平面应力问题还是平面应变问题，应力分量除了满足平衡微分方程(wi fn fn chn)和相容方程外，在边界上还应当满足应力边界条件。平面问题(wnt)的基本理论30共五十五页2-10 常体力(tl)情况下的简化 常体力下

15、，两种平面问题的相容方程(fngchng)都简化为：可见，在常体力的情况下， 应当满足拉普拉斯微分方程（调和方程）， 应当是调和函数。用记号 代表 ，上式简写为：结论 在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量 、 、 的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量 ，以及形变和位移，却不一定相同）。平面问题的基本理论31共五十五页推论(tuln)2 在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以(ky)用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件

16、材料；还可以(ky)用平面应力情况下的薄板模型，来代替平面应变情况下的长柱形的结构或构件。推论1 针对任一物体而求出的应力分量 、 、 ，也适用于具有同样边界并受有同样外力的其它材料的物体；针对平面应力问题而求出的这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同的平面应变情况下的物体。平面问题的基本理论32共五十五页2-11应力函数(hnsh)、逆解法与半逆解法一、应力(yngl)函数 按应力求解应力边界问题时，在体力为常量的情况下，应力分量 、 、 应当满足平衡微分方程：（a）以及相容方程（b) 方程（a）的解包含两部分：任意一个特解和下列齐次微分方程的通解。平面问题的基本理论33共五十五页特解取为

17、： 将齐次微分方程(fngchng)（c）中前一个方程(fngchng)改写为：根据微分方程理论，一定存在某一个函数 ，使得：（c）（d）（e）（f）平面问题(wnt)的基本理论34共五十五页同样(tngyng)将（c）中的第二个方程改写为：也一定存在某一个函数 ，使得：（g）（h）由式（f）及（h）得：因而一定存在某一个函数 ，使得： （i）（j）平面(pngmin)问题的基本理论35共五十五页将式（i）代入（e），式（j）代入（g），并将式（i）代入（f），即得通解(tngji)：（k） 将通解(tngji)（k）与特解（d）叠加，即得微分方程（a）的全解：函数 称为平面问题的应力函数，也

18、称为艾瑞应力函数。（1） 为了应力分量（1）同时也能满足相容方程（b），将（1）代入式（b），即得：上式可简化为：平面问题的基本理论36共五十五页或者(huzh)展开为：进一步简写(jinxi)为：（2）二、逆解法与半逆解法逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程（2）的应力函 数 ，用公式（1）求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种边界形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。 按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程（2）求解应力函数 ，然后用公式（1）求出应力分量，但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。平面问

19、题的基本理论逆解法基本步骤：37共五十五页半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。平面问题(wnt)的基本理论设定求出应力分量求出应变分量求出位移分量代入代入式（l）应力边界条件半逆解法(ji f)基本步骤：反推导出应力表达式得到正确解答满足边界条件满足是是否否式（l）应力边界条件38共五十五页平面(pngmin)问题的基本理论习题课 解：由材料力学知，过 点横截面 上的弯矩为：（1）代入平衡微分方程，（2）练习1 悬臂梁上部受线形分布载荷(zi h)，如图所示。试根据材料力学中 的表达式，再用平衡微分方程导出 和