数学建模优化模型

1、优化模型(mxng)Max min共一百二十三页优化是人类认识(rn shi)世界和改善自身的重要内容认识世界： 我们身边的许多事物都是大自然优胜劣汰的长期演化(ynhu)的产物，在长期的生存竞争中形成了优化的结构和运动特征。如 鱼的体形 鸟和蜜蜂的巢穴 动物的肌肉、植物的叶片的形状 蝶的飞行线路、鱼的游动轨迹等，从能量消耗、结构稳定和强度、效率等不同指标分析显现优化特征。共一百二十三页因此，优化是深入认识世界(shji)的重要手段。自然界本身也在某些方面显现优化特征。最重要的是任意物体在宏观运动中都遵循“作用量最小”的自然规律。因此，我们观察到的自然现象如 球的弹起轨迹(guj) 水滴的下落

2、时的形状改变 . 等一切运动现象都是优化的结果。当前，“作用量最小”原则是我们描述自然界运动的基本工具。共一百二十三页优化是人类改善(gishn)自身的重要手段节能：对能源使用(shyng)的优化；规划：对管理效率的优化；最优控制：对运动系统效率、性能等的优化；设计、工艺、结构的优化.总之，人类的发展本身就是一个优化的过程。例如，工艺的改善的定量分析归结为工艺的优化；设计的改进的定量分析归结为设计的优化等。共一百二十三页简单(jindn)优化模型在中学和大学微积分中，我们学习过求函数的极值和条件极值问题。这是我们对简单问题优化的基本数学工具。下面讨论(toln)利用这些工具建模的几个例子1、存

3、贮模型 在商业活动中，需要批量订购商品。订购费用为其中c0是批量订购的一次性费用，c1是商品单价。批量越大，单位商品的费用越低。 商品购进后，有一个消化过程(销售或使用)。消化不掉的需要存放，因此形成存贮费用。批量越大，每天存贮费用越高。共一百二十三页生产活动有类似的情况。批量生产费用为其中c0是批量生产的生产准备(zhnbi)费用，c1是产品单位成本。批量越大，单位产品的费用越低。上述问题称为存贮问题。建立数学模型以确定最佳订货周期和批量(p lin)，是存贮问题所要解决的问题。两种问题的数量关系完全相同，下面只讨论商品的批量订货问题。产品生产后，有一个消化过程(销售或使用)。消化不掉的需要

4、存放，因此形成存贮费用。批量越大，每天存贮费用越高。共一百二十三页不允许缺货的存贮(cn zh)模型模型(mxng)假设1. 商品每天的需求量为常数 r；2. 一次性购货费为 c0, 每件商品单价c1，每天每件商品贮存费为 c2；3. T天订购一次(周期), 每次购买Q件，当贮存量 为零时，Q件商品立即到来(不允许缺货)；4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。共一百二十三页问题(wnt)：r, c0,c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。模型(mxng)建立0tqTQrA=QT/2一个周期的总费用是购货费用和存贮费用的和购货费用: P=c0+c1Q无缺货假设： Q=

5、rT平均每天的费用： 存贮费用 : R=c2A=c2QT/2共一百二十三页模型(mxng)求解模型(mxng)分析1、最佳周期长度与商品价格无关；2、共一百二十三页允许缺货的存贮(cn zh)模型原模型假设(jish)：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)。若贮存量降到零时仍有需求r,但 不能立即到货，则出现缺货而造成损失。如果允许缺货，模型应如何修改？共一百二十三页补充(bchng)假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足T0qQrT1tAB一周期贮存费一周期缺货费一周期总费用共一百二十三页为与不允许(ynx)缺货的存贮模型相比，T记作T , Q记作Q每天的费用(f

6、i yong)为共一百二十三页2 . 生猪(shngzh)的出售时机饲养场每天投入4元资金(zjn)，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响?共一百二十三页模型(mxng)分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，寻找最佳出售时机(决策(juc)变量)，使利润最大(目标)。建模及求解生猪体重 w=80+rt出售单价 p=8-gt销售收入 R=pw资金投入 C=4t设生猪重量w，单价p，每天增加体重r，每天单价降低g，t天后出售，则届时利润：共一百二十

7、三页求 t 使Q(t)最大得到(d do)敏感性分析(fnx)求出的生猪最佳出售时间t与参数r和g有关。而这两个参数来源于我们的估计和预测。参数的变化对结果的影响的大小称为结果对参数的敏感性。敏感程度的定义：结果t对参数r的敏感度记为其意义是结果t的增加率和参数r增加率的比。 共一百二十三页参数变化的敏感程度的大小反映出问题(wnt)或模型的稳定性。由于在实际问题(wnt)中，所采集的参数往往有误差,当敏感程度较大时，必须考虑参数的微小变化带来的影响。当参数变化较小时，可以(ky)利用微分作为增量的近似。这时，参数的敏感度计算的近似公式为共一百二十三页生猪出售(chshu)时机问题的解 当r=

8、2，g=0.1时，即如果(rgu)生猪每天体重增加1%，则出售时间延迟3%。共一百二十三页例3：森林(snln)救火当森林失火时，接到报警的消防队需要派出消防队员前去(qin q)救火。派多少人合适呢？模型分析以森林失火造成的损失大小作为目标来优化救火人数。损失包括两部分： 1、因扑火不及，烧掉林木而造成的损失； 2、因派出消防队员而产生的支出。目标：总费用最少。由于地形、风力等的不确定，需要简化问题。共一百二十三页模型(mxng)假设：1、0tt1, 过火(guhu)面积B(t)的导数dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度)2、t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度)3、过火

9、损失与过火面积B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费) 4、每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3森林救火共一百二十三页假设1的解释(jish)：假设1基于以下简化假设：火源向周围匀速蔓延，这样，到t时刻，森林过火区域为B(t)=(vt)2。面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.比例系数称为蔓延率。森林(snln)救火共一百二十三页b0t1t假设1假设2t2假设3、4模型(mxng)建立森林(snln)救火共一百二十三页目标(mbio)函数总费用模型(mxng)求解求 x使 C(x)最小b0t1t2t森林救火共一百二十三页结果(ji gu)解释 / :火势不继续

10、蔓延的最少救火(ji hu)人员数c1烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用, t1开始救火时刻, 火势蔓延速度, 每个队员平均灭火速度. c2 x c1, t1, x c3 , x 为什么?森林救火共一百二十三页例4： 冰山(bngshn)运输背景(bijng) 波斯湾地区水资源贫乏，淡水主要靠海水淡化，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。 专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水。 从经济角度研究冰山运输的可行性。建模数据准备1. 日租金和最大运量船 型小 中 大日租金(英镑) 最大运量(米3)4.06.28.05105106107 冰

11、山运输共一百二十三页2. 燃料消耗(英镑(yn bn)/千米)3. 融化(rnghu)速率(米/天)与南极距离 (千米)船速(千米/小时) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积(米3)船速(千米/小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 冰山运输共一百二十三页建模目的(md)选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用(fi yong)最低，并与淡化海水的费用(fi yong)比较。模型假设 航行过程中船速不变，总距离9600千米 冰山呈球形，

12、球面各点融化速率相同到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水 冰山运输共一百二十三页建模分析(fnx)目的地水体积(tj)运输过程融化规律总费用目的地冰体积初始冰山体积燃料消耗租金船型, 船速船型船型, 船速船型,船速决策变量：船速，船型目标：每立方水的费用如何从离散数据中挖掘出有用的信息？ 冰山运输共一百二十三页模型(mxng)建立1. 冰山融化(rnghu)规律 船速u (千米/小时)与南极距离d(千米)融化速率r(米/天）r是 u 的线性函数；d4000时u与d无关.航行 t 天第t天融化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0

13、.6urd 冰山运输共一百二十三页模型(mxng)建立冰山(bngshn)体积变化规律 冰山初始半径R0，航行t天时半径冰山初始体积t天时体积总航行天数选定u,V0, 航行t天时冰山体积到达目的地时冰山体积 冰山运输共一百二十三页2. 燃料(rnlio)消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料(rnlio)消耗数据 q1(英镑/千米)q1对u线性, 对log10V线性选定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英镑/天)燃料消耗总费用模型建立 冰山运输共一百二十三页3. 运送(yn sn)每立方米水费用

14、 冰山初始体积V0的日租金(zjn) f(V0)(英镑)航行天数总燃料消耗费用拖船租金费用冰山运输总费用模型建立 冰山运输共一百二十三页模型(mxng)求解选择船型和船速，使冰山(bngshn)到达目的地后每立方米水的费用最低求 u,V0使Y(u,V0)最小u=45(千米/小时), V0= 107 (米3)， Y(u,V0)最小V0只能取离散值经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5106取几组(V0,

15、u)用枚举法计算 冰山运输共一百二十三页结果(ji gu)分析由于未考虑影响航行(hngxng)的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。大型拖船V0= 107 (米3)，船速 u=45(千米/小时), 冰山到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约0.065(英镑)虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙。 冰山运输共一百二十三页 数学(shxu)规划模型共一百二十三页有约束的优化问题(wnt)的一般数学描述为 共一百二十三页当变量个数和约束

16、条件的个数较多时，像处理简单优化模型那样随意建模很难把问题处理好。因此需要新的建模和求解(qi ji)思路。这种规模较大的优化问题称为规划问题。规划(guhu)问题的建模特点分类研究规范化建模和计算分离共一百二十三页优化模型(mxng)的分类数学(shxu)规划模型线性规划非线性规划整数规划和混合规划动态规划网络优化变分模型连续动态优化共一百二十三页线性规划(xin xn u hu)模型共一百二十三页线性规划模型(mxng)的数学结构线性规划(xin xn u hu)模型的一般形式为matlab中的线性规划函数只处理上述形式的模型，其他形式要先化为上述形式。共一百二十三页求解线性规划(xin

17、xn u hu)问题的基本思路求解线性规划问题的基本方法是单纯形法。考虑一个(y )简单的问题：满足约束条件的点集称为可行域，规划问题就是从可行域中寻找目标函数的最优解。共一百二十三页约束条件l1l2l3l4l5Z=0Z=-2400Z=-3600ABCD目标(mbio)函数 z=c (常数(chngsh) 等值线在B(20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数 可行域为线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。 可行域共一百二十三页奶制品厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品。一桶牛奶可在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或在乙类设备上用8小时加工

18、成4公斤A2。生产的A1,A2全部都能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。加工厂每天能得到50桶牛奶，每天正式工人(gng rn)总的劳动时间为480小时，甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。例1：加工(ji gng)奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 共一百二十三页1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶(ni ni) 480小时(xiosh) 至多加工100公斤A1 每天：制订

19、生产计划，使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？ 共一百二十三页1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶(ni ni)生产A1 x2桶牛奶(ni ni)生产A2 获利 243x1 获利 164 x2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 每天获利约束条件非负约束 线性规划模型(LP)共一百二十三页模型(mxng)求解 软件(run jin)实现 LINDOmax 72x1+64x2st2）x1+x2

20、503）12x1+8x24804）3x1100end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? 20桶牛奶生产A1, 30桶生产

21、A2，利润3360元。 no共一百二十三页结果(ji gu)解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料(yunlio)无剩余时间无剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）

22、x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三种资源“资源” 剩余为零的约束为紧约束(有效约束) 共一百二十三页结果(ji gu)解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=

23、2最优解下“资源”增加(zngji)1单位时“效益”的增量 原料增加1单位, 利润增长48 时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润影子价格 35元可买到1桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！共一百二十三页RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.00000

24、0 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000最优解不变时目标函数(hnsh)系数允许变化范围 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? x1系数(xsh)范围(64,96) x2系数范围(48,72) A1获利增加到 30元/千克，应否改

25、变生产计划 x1系数由24 3=72增加为303=90，在允许范围内 不变！(约束条件不变)共一百二十三页结果(ji gu)解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLO

26、WABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化(binhu)范围 原料最多增加10 时间最多增加53 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最多买10桶!(目标函数不变)共一百二十三页例2 奶制品的生产销售(xioshu)计划 在例1条件下，为增加工厂的利润，开发奶制品深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A

27、2加工成0.75公斤高级奶制品B2。1公斤B1可获利44元， 1公斤B2可获利32元。试为该厂制定生产销售计划(jhu)，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加一小时工作时间，应否作这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？每公斤高级奶制品的获利经常有10%的波动，这对制定的生产销售计划有没有影响？若每公斤B1的获利下降10%，计划应该变化吗？共一百二十三页在例1基础(jch)上深加工1 桶牛奶 3千克A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 0.8千克B12小时,3元1千克获利44元/千克 0.75千克B22小时,3

28、元1千克获利32元/千克 制订生产(shngchn)计划，使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？50桶牛奶, 480小时 至多100公斤A1 B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？共一百二十三页1 桶牛奶 3千克A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 0.8千克B12小时,3元1千克获利44元/千克 0.75千克B22小时,3元1千克获利32元/千克 出售(chshu)x1 千克 A1, x2 千克 A2， x3千克(qink) B1, x4千克 B2原料供应 加工能力 决策变量 目标

29、函数 利润约束条件非负约束 x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B2附加约束 劳动时间 共一百二十三页运输(ynsh)问题生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费(yn fi)最小，或利润最大？各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少？共一百二十三页例1 自来水输送(sh sn)某城市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A,B,C三个水库供应。四个区每天必须得到的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，此外 ，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。由于水源紧张，三个水库每天最多

30、只能分别供应50，60，50千吨。由于地理位置(d l wi zh)的差别，自来水公司从各水库向各区送水付出的引水管理费不同（见表），其他管理费都是450元/千吨。各区用户按统一标准900元/千吨收费。如何分配用水量能获利最多？ 引水管理费甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/共一百二十三页其他费用:450元/千吨(qin dn) 应如何(rh)分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元/千吨甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费收入：900元/千吨 支

31、出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40水库供水量(千吨)小区基本用水量(千吨)小区额外用水量(千吨)(以天计)共一百二十三页总供水量：160确定(qudng)送水方案使利润最大问题(wnt)分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40 总需求量(300)每个水库(shuk)最大供水量都提高一倍利润 = 收入(900) 其它费用(450) 引水管理费利润(元/千吨)甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/供应限制B, C 类似处理问题2 确定送水方案使利润最大需求约束可以

32、不变共一百二十三页例2 货机(hu j)装运某架飞机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。三个货舱所能装载货物的最大重量和最大体积都有限制(如表1)。并且为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。现有四类货物供该货机本次(bn c)飞行装运，有关信息见表2.应如何安排装机使本次飞行获利最大？前舱 中舱 后舱重量限制10 16 8体积限制6800 8700 5300 重量(T) 空间(m3/T) 利润(元/T)货物1 18 480 3100货物2 15 650 3800货物3 23 580 3500货物4 12 390 2850表 1表 2共一百二十三页如何装运，使本次

33、(bn c)飞行获利最大？ 三个货舱最大载重(zizhng)(吨),最大容积(米3) 例2 货机装运重量(吨)空间( 米3/吨)利润(元/吨)货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例 前仓：10；6800中仓：16；8700后仓：8；5300飞机平衡共一百二十三页决策(juc)变量 xij-第i 种货物装入第j 个货舱(hucng)的重量(吨)i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓)模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并

34、保证不留空隙； 模型建立 共一百二十三页货舱(hucng)容积 目标(mbio)函数(利润)约束条件货机装运模型建立 货物重量 10；680016；87008；5300 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量决策变量共一百二十三页约束条件平衡(pnghng)要求 货物(huw)供应 模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量共一百二十三页 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000

35、 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 货物(huw)2：前仓10,后仓5； 货物3: 中仓13, 后仓3；货物4: 中仓3。模型(mxng)求解 最大利润约

36、121516元货物供应点货舱需求点平衡要求运输问题运输问题的扩展共一百二十三页 如果生产某一类型(lixng)汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？例1 汽车厂生产(shngchn)计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。 小型 中型 大型 现有量钢材(吨) 1.5 3 5 600劳动时间(小时) 280 250 400 60000利润(万元) 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大。汽车生产与原油采购共一百二十三页决策变量(binling)：每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1, x2, x3汽车厂生产(s

37、hngchn)计划 模型建立 小型 中型 大型 现有量钢材 1.5 3 5 600时间 280 250 400 60000利润 2 3 4 线性规划模型(LP)共一百二十三页模型(mxng)求解 3、 模型(mxng)中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

38、2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226结果为小数，怎么办？1、舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2、试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？共一百二十三页LINDO程序(chngx)整数规划(guhu)(Integer Programming,简记IP)“gin 3”表示“前3个变量为整数”，等价于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最优解x1=64，x2=168，x

39、3=0，最优值z=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 模型求解 IP 结果输出共一百二十三页其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较(bjio)目标函数值，再加上整数约束，得最优解：方法(fngf)1：分解为8个LP子模型 汽车

40、厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1,x2, x3=0 或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610共一百二十三页LINDO中对0-1变量(binling)的限定：int y1int y2int y3 方法2：引入0-1变量(binling)，化为整数规划 M为大的正数，可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y

41、1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80最优解同前 共一百二十三页NLP虽然可用现成的数学软件(run jin)求解(如LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法(fngf)3：化为非线性规划 非线性规划(Non- Linear Programming，简记NLP) 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划

42、。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80共一百二十三页例2 原油(yunyu)采购与加工 某公司用两种原油(A和B)混合加工两种汽油(甲和乙)。甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨部分(b fen)8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨部分6000元/吨。该公司应该如何安排原油的采购和加

43、工？共一百二十三页应如何(rh)安排原油的采购和加工 ？ 问题(wnt)分析市场上可买到不超过1500吨的原油A： 购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨； 购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨； 购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。 售价4800元/吨 售价5600元/吨库存500吨 库存1000吨 汽油甲(A50%) 原油A 原油B 汽油乙 (A60%) 共一百二十三页决策(juc)变量 目标(mbio)函数问题分析 利润：销售汽油的收入 - 购买原油A的支出 难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂甲(A50%) A B

44、 乙(A60%) 购买xx11x12x21x224.8千元/吨 5.6千元/吨原油A的购买量,原油A, B生产汽油甲,乙的数量c(x) 购买原油A的支出利润(千元)c(x)如何表述？共一百二十三页原油(yunyu)供应 约束条件 x 500吨单价(dnji)为10千元/吨； 500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨 x 1500吨，超过1000吨的6千元/吨。 目标函数购买xx11x12x21x22A B 库存500吨 库存1000吨 共一百二十三页 目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划； 对于用分段函数定义(dngy)的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和

45、求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。 汽油含原油A的比例(bl)限制 约束条件甲(A50%) A B 乙(A60%) x11x12x21x22共一百二十三页x1 , x2 , x3 以价格(jig)10, 8, 6(千元/吨)采购A的吨数目标(mbio)函数 只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2方法1 非线性规划模型，可以用LINGO求解模型求解 500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨增加约束x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 共一百二十三页方法(fngf)1：LINGO求解Model:Max=

46、4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0;x2 0;x3 0;end Objective value: 4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.0000 0.0000000E+00X21 500

47、.0000 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得到(d do)的是局部最优解，还能得到(d do)更好的解吗？ 用库存的500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4,800千元。 共一百二十三页y1, y2 , y3=1 以价格(j

48、ig)10, 8, 6(千元/吨)采购A增加(zngji)约束方法2 0-1线性规划模型，可用LINDO求解y1,y2,y3 =0或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 5

49、00.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000 购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元 。x1 , x2 , x3 以价格10, 8, 6(千元/吨)采购A的吨数y=0 x=0 x0 y=1优于方法1的结果共一百二十三页方法(fngf)3 b1 xb2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z20, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x12000900050000500100015

50、00b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 直接处理(chl)处理(chl)分段线性函数c(x) 共一百二十三页IP模型，LINDO求解，得到(d do)的结果与方法2相同.处理分段(fn dun)线性函数，方法3更具一般性bkxbk+1yk=1,否则,yk=0方法3 bkxbk+1 ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(

51、bk)+zk+1 c(bk+1 ).c(x)x1200090005000050010001500b1 b2 b3 b4对于k=1,2,3共一百二十三页分派(fnpi)问题接力队选拔(xunb)和选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。共一百二十三页丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进步(jnb)到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？如

52、何(rh)选拔队员组成4100米混合泳接力队?例1 混合泳接力队的选拔 甲乙丙丁戊蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的百米成绩穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。共一百二十三页ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4目标(mbio)函数队员(du yun)i参加泳

53、姿j ，则记xij=1, 否则记xij=0 0-1规划模型 cij(秒)队员i 第j 种泳姿的百米成绩约束条件每人最多入选泳姿之一 每种泳姿有且只有1人 决策变量共一百二十三页模型(mxng)求解 MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 =1 x41+x42+x43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1END INT 20 最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1

54、, 其它(qt)变量为0;成绩为253.2(秒)=413”2 输入LINDO求解 甲乙丙丁戊蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳58”653”59”457”2102”4甲 自由泳、乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳.共一百二十三页丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4 57.5, 方案是否(sh fu)调整？ 乙 蝶泳、丙 仰泳(yngyng)、丁 蛙泳、戊 自由泳IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。最优解：x

55、21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成绩为417”7 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解 指派(Assignment)问题：每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大. 讨论甲 自由泳、乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳.原方案共一百二十三页为了选修课程门数最少，应学习(xux)哪些课程 ？ 例2 选课策略：某学校规定(gudng)：运筹学专业学生必须至少学习两门数学、三门运筹学和两门计算机。这些课的名称、学分、类别和先修课程如下表。课号课名学分所属类别先修课要求1微积分5数学2线性代数4数学3最优化4数学；运筹学微积分；线代4数

56、据结构3数学；计算机计算机编程5应用统计4数学；运筹学微积分；线代6计算机模拟3计算机；运筹计算机编程7计算机编程2计算机8预测理论2运筹学应用统计9数学实验3运筹；计算机微积分；线代选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？ 共一百二十三页0-1规划(guhu)模型 决策(juc)变量 目标函数 xi=1 选修课号i 的课程（xi=0 不选） 选修课程总数最少 约束条件2门计算机课。 课号课名所属类别1微积分数学2线性代数数学3最优化方法数学；运筹学4数据结构数学；计算机5应用统计数学；运筹学6计算机模拟计算机；运筹学7计算机编程计算机8预测理论运筹学9数学实验运筹学；计算机最少2门数学

57、课三门运筹学课共一百二十三页先修课程(kchng)要求最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它(qt)为0；6门课程，总学分21 0-1规划模型 约束条件x3=1必有x1 = x2 =1模型求解(LINDO)课号课名先修课要求1微积分2线性代数3最优化方法微积分；线性代数4数据结构计算机编程5应用统计微积分；线性代数6计算机模拟计算机编程7计算机编程8预测理论应用统计9数学实验微积分；线性代数共一百二十三页学分最多多目标优化的处理方法(fngf)：化成单目标优化。两目标(mbio)(多目标)规划 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少

58、以学分最多为目标，不管课程多少。 以课程最少为目标，不管学分多少。最优解如上，6门课程，总学分21 。最优解显然是选修所有9门课程 。共一百二十三页多目标(mbio)规划 在课程最少的前提(qint)下以学分最多为目标。最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总学分由21增至22。注意：最优解不唯一！课号课名学分1微积分52线性代数43最优化方法44数据结构35应用统计46计算机模拟37计算机编程28预测理论29数学实验3 LINDO无法告诉优化问题的解是否唯一。可将x9 =1 易为x6 =1增加约束 ，以学分最多为目标求解。共一百二十三页多目标(m

59、bio)规划 对学分数(fnsh)和课程数加权形成一个目标，如三七开。 最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1，其它为0；总学分28。课号课名学分1微积分52线性代数43最优化方法44数据结构35应用统计46计算机模拟37计算机编程28预测理论29数学实验3共一百二十三页讨论(toln)与思考最优解与1=0，2=1的结果(ji gu)相同学分最多多目标规划 最优解与1=1，2=0的结果相同课程最少共一百二十三页 饮料厂的生产(shngchn)与检修单阶段生产(shngchn)计划多阶段生产计划 生产批量问题 企业生产计划考虑与产量无关的固定费

60、用给优化模型求解带来新的困难外部需求和内部资源随时间变化共一百二十三页 如何安排生产(shngchn)计划, 满足每周的需求, 使4周总费用最小？每周有剩余(shngy)时，要支付存贮费:每周每千箱饮料 0.2千元。 例1 饮料厂的生产与检修计划 在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周? 周次需求量(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计100135生产某种饮料4周的需求量、生产能力和成本如下表。共一百二十三页问题(wnt)分析 除第4周外每周的生产能力超过每周的需求(