高三数学第一轮复习直线方程与两直线的位置关系通用版

1、高三数学第一轮复习：直线方程与两直线的位置关系通用版【本讲主要内容】直线方程与两直线的位置关系直线斜率的概念、直线方程的几种形式、两条直线的位置关系、两条相交直线的夹角和 到角公式、点到直线距离公式。【知识掌握】【知识点精析】.直线斜率的概念：(1)直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a ,那么a就叫做直线的倾斜角。当直线和 X轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为00。因此，直线的倾斜角 a的取值范围是00 a 1800。(2)直线的斜率：倾斜角 a W90O的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常

2、 用 k 表示，即 k=tan a ( a w90o)。(3)直线的方向向量：设Fl(Xl, yi)、F2(X2, 丫2)是直线上不同的两点， 则向量Fi F2 =( X2-V2 Vixi, V2- y1)称为直线的方向向量。向量 F1F2=(1,注4)=(1, k)也是该直线的方X2 - X1X2 - X1向向量，k是直线的斜率。(4)求直线斜率的方法：定义法：已知直线的倾斜角为a ,且a W90O,则斜率k=tan aV2 一 V1公式法：已知直线过两点P1(X1, V1)、P2(X2, V2),且X1WX2,则斜率k=上八X2 - X14一 n方向向量法：若 a=(m, n)为直线的方向

3、向量，则直线的斜率为k= m说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。斜率的图象如图：尸.直线方程的几种形式：(1)点斜式：V - V1 =k (xX1),其特例是：V=kX + b (斜截式)；(2)两点式： 工 =X ,其特例是： x+V =1 (截距式)；V2 - V1 X2 - X1a b一般式：Ax+By+C=0 (A、B 不同日为 0)说明：使用直线方程时，要注意限制条件。如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率； 截距式的使用条件是两截距都存在且不为0;两点式的使用条件是直线不与x轴垂直，也不与y轴垂直。.两条直线的位置关系：(1 )当直线方程为 li

4、: y = kix +b、 I2 : y = k2x + t)2 时，若 li / I2 ,则 k1 =k2Hb1 0b2 ；若 l1、l2重合，则 k1 =k2Hb1 = b2 ；若 l1，l2，则 k1k2 = 1。(2)当两直线方程为 l1 : Ax + B1y + C1 =0、l2 : A?x + B2y + C2 =0 时，若 l1 / L , 则 AB2 =A2B1且AC2 # 4cl或B1c2rB2G ; 若 l1 、 l2 重合， 则 AB2 =431且AC2 = A2G且B1C2 = B2c1；若 l1，l2，则 A1A2 + B1B2 = 0。说明：利用斜率来判断两条直线的

5、位置关系时，必须是在两直线斜率都存在的前提下才行，否则就会得出错误结论，而利用两条直线的一般式方程的系数来判断就不易出错。例如：已知直线l1 ：(a+1 + y2=0与直线l2 :ax + (2a+2)y + 1 =0互相垂直，则 实数a的值为()A.-1 或 2B.-1 或-2C. 1 或 2D. 1 或-2解析：l1，12y (a+1a + (2a+2)=0u a = 1或a = 2,故选 b。.点到直线的距离、直线到直线的距离：,Ax0 + By。+ C(1)点P仅0, y0到直线Ax + By + C =0的距离为：d =,A2 B2(2)当 l1 / l2 ,且直线方程分别为 l1

6、: Ax + By+C =0、l2 : Ax + By + C2 =0时,C1 -C2|两直线间的距离为：d = I 121A2 B2.两直线的夹角：若直线l1、l2的斜率分别为kp k2,则(1)直线l1到l2的角日满足：tan日=k2 k1 (k1 k2丰-1)1 k2k1rr kc k L(2)直线l1、l2所成的角(简称夹角)日满足：tanB =卜(1)1 十 k2k1若直线l1、l2的斜率至少有一个不存在时，可根据图象直接求出所求的角。.两直线的交点:两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数。.对称问题：(1)中心对称：设平面上两点P(x, y和已9，% )关于点A(a

7、,b)对称，则点的坐标满足：x+Xl =a, y + y1 =b ;若一个图形与另一个图形上任一对对应点满足这种关系，那么这22两个图形关于点 A对称。(2)轴对称：设平面上有直线l : Ax + By +C = 0和两点P(x, y ) Pi(x1，y)，若满足下列两个条件：(i)PR,直线 l ；(ii) ppi的中点在直线l上，则点P、已关于直线l对称；若一个图形与另一个图形上任意一对对应点满足这种关系，那么这两个图形关于直线l对称。对称轴是特殊直线的对称问题：对称轴是特殊直线的对称问题可直接通过代换求解：(i)关于x轴对称，以一y代y ；(ii)关于y轴对称，以一 x代x ;(iii)

8、关于直线 y=x对称，x、y互换；(过)关于直线x + y =0对称，以x代y ,同时以一 y代x；(v)关于直线 x = a对称，以2a -x代x ；(vi)关于直线 y = b对称，以2b -y代y ；对称轴是一般直线的对称问题，可根据对称的意义，由垂直平分列方程找到坐标之间的关系：设点 P(xi,yC Q(x2,y2 氏于直线 l : Ax + By+ C = 0AB = 0)对称y2 -yi =旦则广2一 xi 一 AAb g2 c 二02【解题方法指导】例1.若日为三角形中最大内角，则直线l:xtan+y + m= 0的倾斜角的范围是()B.一，一 M3 2；2 3 ）匚 2 2f2

9、n、D. 0, 2 I ，冗 Ik 2J13)解析：: 6是三角形中的最大内角，一w8vn , 3，直线 l 的斜率 k = -tan6 w (0, +(-00,.32 2 2 Q 2n 它的倾斜角的范围是0, b , I 2J 0)，直线I2 : 4x + 2y+ 1 = 0和直线 l3 :x+y 1 = 0,且11与l2的距离是工展。k1 k3210(1)求a的值；(2)求13到11的角日；(3)能否找到一点P ,使得P点同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P1点到11的距离是 P点到12的距离的一；P点到11的距离与P点到13的距离之比是 2J2： J5；若能，求p点的坐标；若不能，

10、说明理由。 TOC o 1-5 h z 1-斛析：(1) 12 即 2x-y-=0 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 22a，U ., 一I 217J51i与12的距离d = ,=22-1 210bT 厂 275、5 一 10(2)由，1i 即 2xy +3=0 . k1 = 2,而 13 的斜率 k3 = 1. tan?=k - k32 - -112-1. 0 w 日 v n ,6 = n - arctan 3(3)设点P(x0, v。),若P点满足条件. , .则P点在与11、12平行的直线1 :2x y+C=0上C -3 5iC 22 、

11、5“13 V 11即C =，或C = 一1311，2x0y（）+=0,或2*0-丫0+=0；2x y + 32 2 x + y0 1= X1 55226若P点满足条件，由点到直线的距离公式，有即 2x0 y0 +3 = x0 +y0 1X0 2y。+4 = 0,或3x0 +2=0；由P点在第一象限，3x0 + 2 = 0不可能_13 _联立方程2x0 - y0 - 一 = 0和 x0 - 2 y0 4 = 02x0 - 3解得1应舍去1x0 二937y。=一18匕二2；-11 _由12x% +万=0,解得X0 -2y0 +4=0,3737 i即为同时满足三个条件的点9 18，评述：与直线Ax+

12、By +C = 0平行的所有直线总能设为 Ax+By + C1 = 0的形式（称为平行直线系方程），而两条平行直线间的距离除用公式表示外，总能看成是其中一条直线 上的任一点到另一直线的距离，最终化归为点到直线的距离。【考点突破】【考点指要】关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角 与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求，既有选择题、填空 题，也有解答题，所占的分值为 510分，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后 高考考查的热点。考查通常分为三个层次：层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；层次二：考查不同条件下的直线方程的求法

13、；层次三：考查直线与其它知识的综合。解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。【典型例题分析】.-2.2例4. （2006上海）已知圆x -4x-4 + y =0的圆心是P ,则点P到直线xy 1=0的距离是答案：-22,| 2 10 (-1) -1|d 二J2 (-1)2,22解析：由题意圆的方程x24x4 + y2=0可化为(x 2)2 + y2=8，圆心P(2,0,代入点到直线距离公式得评述：此题主要体现对基本公式的考查。例5. (2006上海)若曲线y2 = x+1与直线y=kx+b没有公共点，则k、b分别应满足的 条件是。答案：k=0 且-1b0 一, 一 ,口解

14、析：由y =|x|+1 = 回出图象得-x 1 , x ：: 0设图象与y轴的交点分别为 A(01 ) B(0,-1),过点A、B作平行于x轴的直线，根据题意，直线y =kx+b与曲线没有公共点，则只能与x轴平行且在虚线区域内移动。评述：由于曲线方程中含有绝对值，所以先分情况去掉绝对值符号，若联立方程组2 22 2y = x +1 ,、 y = _x +1r x 1或/ x 1,分别利用判别式“0”去求解没有公共点的情况，题目会y = kx b y = kx b变的非常烦琐。借助于图象既快捷又直观，利用数形结合是解决这类题目非常有效的方法。*7例6. (2006湖北)设过P(x, y)点的直线

15、分别与x轴、y轴的正半轴交于 A B两点， T T点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若 BP = 2PA且OQ，AB = 1,则点P的轨迹 TOC o 1-5 h z 方程为() HYPERLINK l bookmark65 o Current Document 23 223 2A. 3x y =1(x 0, y 0)B. 3x - y =1(x 0, y 0) HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 223 22x -3y =1(x 0, y 0)2答案：D3 22x 3y = 1(x 0, y 0) 2解析：设过点P(x, y)的直线方程为y

16、 =kx+b(k 0),则A,I：0, b卜由题意知点Q与点P关于y轴对称，得Q(-x, y),又O(0,0 )一 . J b - (x 0, y b )=2 x,0 y,b-0 =1I- r b)1(-x-0,y -0)10-l-b 3-=-xk 2即 b =3yb-x by = 1 k，得 x2 3y2 = 12k 0), 那么I2的方程为( )A. bx ay c = 0B. ax -by c = 0C. bx ay - c = 0D. bx - ay c = 08.已知两条直线1i : ax + by + c = 012 : mx + ny + p = 0 ,则an = bm是直线l

17、/ L的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二.填空题：.设a+b =k(k为常数)，则直线ax + by=1恒过定点。.实数 x、y满足 3x2y-5 =0(1w xw3),则y的最大值、最小值分别是 。x.若直线y = x与y =kx+1有两个交点，则k的取值范围是 。.设点P在直线x +3y = 0上，且P到原点的距离与 P到直线x + 3y - 2 = 0的距离相等，则P点坐标是.已知两点A（m,2 B（3,1）,求直线AB的斜率与倾斜角以及倾斜角的范围。.已知直线l过P（2,3）,且和两条平行直线l：3x+4y 7=0, L：3x + 4y+

18、 8= 0分别相交于A、B两点，如果 AB =3j2,求直线l的方程。.5.等腰直角AABC的斜边AB所在的直线方程是3x-y + 2= 0, CAC和直线BC的方程及AABC的面积。【综合测试】一.选择题1.（2004湖南）设直线ax+by+c=0的倾斜角为a ,且sin a +cos a =0,贝U a、b满足（）2.3.4.A. a+b=1C.a+b=0B. a-b=1D. a-b=0（2006潍坊）过点P（-1,2）且方向向量为a = （-1,2 ）的直线方程为（2x y = 0C. x -2y = 0 x -2y 5 =0D. x 2y。5 = 0（2005南京）与直线3x+4y+5

19、 =0的方向向量共线的一个单位向量是（A. 3,4B. 4, -3 C.3,4；5 5JD.已知三条直线xy=0, x+y1=0, mx + y+3 = 0不能构成三角形,则m的取值范围是A. 1,-1：B.C. %, -1D.1 -1 -J 75. （2006山东）已知两条直线 l1： y=x, l2:ax-y=0 （其中a是实数）,当这两条直线的夹角在 0, 内变动时，a的取值范围是（ 12；A. 0,1B. ,.3D. 1,、36. （2006 黄冈）点（sinH,cosH 闽直线 x1 一 一.cosH + y，sin 9+1 = 0的距离小于一，则日的 27.取值范围是（）（2006

20、豫南三市联考）如果点（5,B.kn5兀,-，kn12；2尸）/冗,.n. n Y.D. kn , kn - i k 二 Z )36)a）在两条平行直线6x8y+1 = 0和 TOC o 1-5 h z 3x 4y+5 =0之间，则整数 a的值为（）A. 5B.-5C. 4D.-4（2006海淀）在平面直角坐标系内，将直线 l向左平移3个单位，再向上平移 2个单位后，得到直线l, l与l的距离为V13 ,则直线l的倾斜角为（） HYPERLINK l bookmark69 o Current Document “2323A. arctan B. arctan C. .奠 一arctanD.以 一

21、 arctan一 HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 3232.填空题:（2005上海）在平面直角坐标系中，若定点A(,2 用动点 P(x, y )满足 OP OA = 4,则点P的轨迹方程是10.光线从点 A（-3,4 ）出发射到x轴上，被x轴反射到y轴上，又被 y轴发射后到点B（-1,6 ）,则光线所经过的路程长为 。.过点P（1,4 X乍一直线，使其在两坐标轴上的截距为正，当其和最小时，这条直线的方 程为。. （2006江西九校联考）将一张坐标纸折叠一次，使得点 （0,2 ）与点（-2,0 ）重合，且点（2003,2004）与点（m,n ）

22、重合，则 n-m =。.解答题:.设直线l : 2x + By _1 =0的倾斜角为a(1)试将ot表示为B的函数；2 二(2)右 a ，试求B的取值范围；63(3)若B w (-o,-2L(1,)，求a的取值范围。14.已知直线系方程为(2+m )x + (1 2m)y + (4 3m) = 0(1)求证：不论 m为何实数，直线过定点；(2)过这定点引一直线分别与 x轴、y轴的负半轴交于 A B两点，求AAOB面积的 最小值及此时直线l的方程。(2004宣武)如图，一列载着危重病人的火车从O地出发，沿射线 OA方向行驶，其中sin a =*。在距离O地5a(a为正常数)千米、北偏东P角的N处

23、住有一位医学专家， -3 其中sin P 。现120指挥中心紧急调离 O地正东p千米B处的救护车，先到 N处载上 医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C处相遇。经测算，当两车行驶的路线与OB所围成的三角形 OBC面积S最小时，抢救最及时。(1)在O以为原点，正北方向为 y轴的直角坐标系中，求射线 OA所在的直线方程；(2)求S关于p的函数关系式 S = f ( p )；(3)当p为何值时，抢救最及时?m东【达标测试答案】一.选择题：Cb解析：由bx + ay = ab得斜率k = 一一 v o ,倾斜角a =a- x b-arctan -aD解析：直线方程可化为 y = -ax-2知过

24、定点P(0,-2 ),kPA5 L 4%b=-3. A解析:显然 ABC的面积为9 一且0va2,设x=a与AC、AB的交点分别为 E、F,2则只要求出E、F点的坐标， AEF的面积可用含有a的代数式表示。由 S AEF1XV.S施BC便可求出a, lAC :-=12:23=1 .一得 E a,33a万卜同理求得F(a,3)ll Q 3a、3a EF =3 3 i =2 J 2是 S.AEF解得 a = v13 ( a = - v3 舍)B解析：画出坐标系，作B关于x轴对称点 B,连结AB并延长与X轴交于P点，则P点 即为所求。. PB = PB, PA PB = PA PB=AB,其他位置,

25、PA - PB AB由两点式AB方程=二3=,从而求得P点的坐标为(13,0)。2 -35 -1A解析：过点A与OA垂直的直线即为所求。,八一 1一一 koA =2,故所求的直线方程为 y2 = x-1 ,即x + 2y5 = 02D解析：分析 1：直线关于点的对称直线一定是与原直线平行，所以排除A、C.在2x+3y 6=0上取一点(3,0),它关于(1, 1)的对称点是(1, 2),此点在直线2x +3y +8 =0 上。分析2：设P(x, y)是对称直线上的任一点，则它关于点(1,-1)的对称点(2 -x, -2 -y )在已知直线上，即为直线2(2x )+3(2 y )6 = 0 ,整理

26、后得 2x +3y +8 =0 为所求。A解析：易知li和l2关于直线y=x对称，设P(x, y)是12上任一点，则它关于 y=x的对称点(y, x庐li上，所以有bx+ay+c = 0即为所求。B解析：当an =bm时li与12有可能重合，故 an = bm不一定有I1/I2；当 11 / 12 时，若 a = 0 ,则 m = 0 有 an =bm , b =0 亦然；,- a m右 ab#0,有一 =an=bm b n故 l1 / l2= an = bm.填空题:解析：a = k - b 代入 ax + by = 1 得 kx - b(x - y )= 147=上” 11、，此直线恒过1

27、 的父点，即点 一，一? = kk k ?10. 2-13解析：设k,则3表示线段AB:3x 2y 5 = 0(1w xw3)上的点与原点连线的斜x x率。A(1,-1) B(3,2)由图易知，卫3 x min=koA11. -1k1解析：y = x是i, n象限角的角平分线， 直线y = kx+1是过定点(0,1 )的直线系方程,由图象易知-1 3时,. 一 一 ，1-k0, . a = arctan,am -30,2;当m3时,k二11-解得k = 或k = 一77.1,、.1 的方程为 y -3=y(x-2 双 y_3 = _7(x2)即 x -7y +19 =0或7x + y 17 =

28、 015.解析：kAB =3,设与直线AB夹45o角的直线斜率为k,则k -31 3k=tan 4514I5直线AC、BC 的方程为 y- =- xigy2 = 2 x5215 J 5 i即x2y 2 =0或2x + y6=0,又C到直线AB的距离d =J1011i ,1-SAbc =一 AB d =- 200 710 =10 922【综合测试答案】一.选择题D解析：由 sin u + coset =0a得：tanu=-1, 一- = 一1, a-b=0bA解析：.方向向量为a =(1,2)直线的斜率k = -2,又过点P(-1,2)由点斜式求得直线方程为2x - y = 0D解析：直线3x+4y+5=0的方向向量为 (4,-3),因此与它共线的单位向量为B解析：当m = 1时，mx+y+ 3 = 0与x - y = 0平行当 m = 1 时，mx + y+ 3 = 0与 x + y 1 =0 平行x _y = 0与x + y -1 = 0的交点是1把一，一：代入 mx + y + 3 = 0 2J得 m = -7C解析：l1: y =x是固定的，l2: y=ax可以绕着原