离散系统的分析与校正课件

1、第七章 线性离散系统的分析与校正7.1 离散系统的基本概念连续系统：如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数，则这样的系统称为连续时间系统，简称连续系统。离散系统：如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，这些信号仅定义在离散时间上，则这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统1、采样控制系统检流器每隔T秒与电位器接触一次，每次接触时间为离散模拟信号用 表示* , he该脉冲序列在时间上是离散的在幅值上是连续的。,.T连续时间函数经采样开关采样后变成重复周期为 的时间序列称采样脉冲序列（1）信号采样和复现t0T02T03T04T05T06T0(1).采样周期:(2).采样频率:(3)

2、采样角频率:(4).采样脉冲序列:(5).采样过程:, 将连续时间函数经过采样开关的采样而变成脉冲序列的过程称为采样过程（2）采样系统典型结构图小口径高炮高精度伺服系统2、数字控制系统C-rA/D数字计算机D/A被控对象T0m保持器数字控制器被控对象-rT0mC保持器定义：组成：(1).框图(2).工作过程(3).简化框图数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。3、离散控制系统的特点效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制率易于改变，控制灵活；可有效的抑制噪声，提高系统的抗干扰能力；允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度；可用一台计算机

3、分时控制多个系统，提高设备利用率；对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定。7.2 信号的采样与保持t0T02T03T04T05T06T01、采样信号的数学描述：02、采样定理(Shannon)3、采样周期的选取4 信号保持t一.零阶保持器(zero order holder)信号保持是指将离散信号 脉冲序列转换成连续信号的过程。用于这种转换的元件为保持器。零阶保持器特性：低通特性相角滞后特性；时间滞后特性二.一阶保持器与零阶保持器相比，一阶保持器复现原信号的准确度较高。但一阶保持器 的幅频特性普遍较大，允许通过的信号的高频分量较多，更易产生纹波其相角滞后比零阶保持器大

4、 因此，一般采样零阶保持器。7-3 Z变换理论1： Z变换的定义由拉氏变换引出Z变换拉氏变换有采样信号为便于应用Z变换令其中 z 为一个复变量广义上讲T=1记作2：Z变换方法（1）级数求和法对于常用函数Z变换的级数形式，写出其闭合形式。例1：（2）部分分式展开法 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E（s),然后将有理分式函数E（s)展成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的Z变换是已知的，于是可方便求出E（s)对应的Z变换E（z)。例：已知连续函数的拉氏变换为试求相应的Z变换E（z)。解因为P289表7-2 Z变换表3.Z变换的基本性质(1)线性定理(2)实数位移

5、定理(a)迟后定理说明:(1)迟后定理说明,原函数在时域中延迟K个采样周期,相当于Z变换乘以Z-K。 (2)算子Z-K的物理意义: Z-K代表迟后环节,它把采样信号延迟K个采样周期。(b)超前定理例1:用实数位移定理计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。例2：计算延迟一个采样周期的指数函数e-at的变换。解：解：(3)终值定理(4)初值定理例3:设Z变换函数为:使用终值定理确定e(nT0)的终值。解:4.Z反变换(inverse z-transfirms)(1)长除法例.试求取 的Z反变换X+(t)。解：(2)部分分式法例.试求 的Z反变换。解：(3)留数计算法解：例.试求 的Z反变换

6、。5 Z变换的收敛域收敛域：当 为有界时，令上述级数收敛的 的所有可取的值的集合称为收敛域1）比值判别法2) 根值判别法例：收敛区发散区lal例：右边序列7.4 离散系统的数学模型 线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式。这里主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的基本概念以及开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的建立方法。1、离散系统的数学定义：变换为输出序列的一种变换关系记作：其中可以理解为时，系统的输入序列和输出序列T为采样周期将输入序列的变换关系是线性的的变换关系是非线性的，线性离散系统非线性离散系统线性离散系统满足叠加定理：线性定常离散系统：输入与输出不随时

7、间而改变的线性离散系统。2、线性定常差分方程及其解法n阶后向差分方程n阶前向差分方程差分方程的求解经典法：齐次方程的通解+ 非齐次方程的特解迭代法Z变换法1、迭代法已知差分方程，并且给出输入序列，输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步算出输出序列例7-16：已知差分方程输入序列初始条件试用迭代法求输出序列解很难找出递推通用公式2、用Z变换解差分方程r(n-j),c(n-i)均为右移序列两边取Z变换初始状态例：完全解里面已含有初始条件例：试用Z变换方法解下列二阶差分方程解：3、脉冲传递函数 差分方程的解可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性，但不便于研究参

8、数变化对离散系统性能的影响。因此，需要研究线性定常离散系统的另一种数学模型脉冲传递函数脉冲传递函数的定义零初始条件下系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比零初始条件：是指在t0时，输入脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T),以及脉冲输出序列各采样值c(-T),c(-2T),均为零。开环离散系统实际开环离散系统对大多数实际系统而言，输出c(t)往往是连续信号，而不是采样信号c*(t)，因此在系统输出端虚设一个理想采样开关，它与输入采样开关同步，该采样开关不存在，只表明了脉冲传递函数所能描述的c*(t)值。脉冲传递函数的意义在线性定常离散系统中，输入采样信号系统的输出序列为脉冲传递函

9、数的含义：系统脉冲传递函数G(z)等于系统加权序列K（nT）的z变换。加权：当对一个连续信号采样时，每一个采样时刻的脉冲值等于该时刻的函数值。脉冲传递函数与差分方程的关系脉冲传递函数的求法：查表例：已知开环系统的试求相应的脉冲传递函数。4：开环系统脉冲传递函数开环离散系统由几个环节组成时，其脉冲传递函数的求法与连续系统情况不完全相同。即使两个离散系统的组成环节完全相同，但由于采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会截然不同。1）采样拉氏变换的两个重要性质周期性2）有串联环节时的开环系统脉冲传递函数串联环节之间有采样开关：串联环节之间无采样开关：有零阶保持器的开换系统脉冲传递函数例：

10、求下列三种情况下系统的脉冲传递函数(a)(b)已知(a)(b) 从上述三种情况分析可知，三者极点完全相同，仅零点不同。零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。闭环传递函数 由于采样器在闭环系统中可以有许多种配置的可能性，所以闭环离散系统没有唯一的结构图形式。比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。设图中所有的理想采样开关都同步工作，采样周期T，虚线所示的理想采样开关是为了便于分析而虚设的，输入采样信号和反馈采样信号事实上并不存在。误差脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环离散系统的特征方程：为开环离散系统脉冲传递函数注意：闭环离散系统脉冲传递函数不能从求Z变换得来。例7-22：设闭环离散系统结构图

11、如P311图7-27所示，试证其闭环脉冲传递函数为例7-23：设闭环离散系统结构图如P311图7-28所示，试证其输出采样信号的Z变换函数为自己看书：典型闭环离散系统及输出Z变换函数P312表7-3证明2、4、6、87-5 离散系统的稳定性与稳态误差主要讨论如何在Z域或域中分析离散系统的稳定性，同时给出计算离散系统在采样瞬时稳态误差的方法。1：S域到Z域的映射 为了把连续系统在S平面上分析稳定性的结果移植到在Z平面上分析离散系统的稳定性，首先要研究S域到Z域的映射的关系。（1）S平面虚轴在Z平面上的映射S平面00Z平面（2）等 线映射S平面0Z平面0（3）等 线映射S平面0Z平面02:离散系统

12、稳定的充分必要条件定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的（1）时域中离散系统稳定的充分必要条件齐次差分方程为设通解为则差分方程的特征方程设特征方程各有不相同的特征根则差分方程的通解为式中系数Ai可由给定的n个初值条件决定当特征方程的根i=1, 2, n,必有故系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程所有特征根的模则相应的线性定常离散系统是稳定的 （2）Z域中离散系统稳定的充分必要条件设典型离散系统结构图如图所示：其特征方程式为不失一般性，设特征方程的根或闭环脉冲传递函数的极点为各不相同的z1,z2,，zn。由S域到Z域的映射关系知：S平面Z平面稳定

13、区域不稳定区域临界稳定Z域中离散系统稳定的充分必要条件：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在Z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即 ，相应的线性定常离散系统是稳定的。系统是否稳定？例：设离散系统如图所示其中试 分析系统的稳定性由已知解：可以求出开环脉冲传递函数闭环特征方程为所以系统是不稳定的问题：二阶连续系统是稳定的，二阶离散系统是否是稳定的？为什么？P321离散系统的稳定性判据当离散系统阶次较高时，直接求解差分方程或Z特征方程的根总是不方便的，所以人们还是希望利用间接的稳定判据，这对于研究离散系统结构、参数、采样周期等对于稳定性的影响，也是必要的。连续系统的ROUTH稳定判据

14、，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统稳定性的，在离散系统中不能直接套用该判据，必须引入另一种Z域到域的线性变换，使Z平面上单位圆内的区域映射成平面的左半平面双线性变换或变换。变换1：变换与ROUTH稳定性判据Z平面平面令复变量Z与互为线性变换令复变量Z平面的单位圆周对应于平面的虚轴Z平面的单位圆内对应于平面的左半平面Z平面的单位圆外对应于平面的右半平面结论：离散系统稳定的充分必要条件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根位于Z平面的单位圆内，转换为特征方程1+GH（）=0的所有根位于平面的的左半平面。根据域中的特征方程系数，可以直接应用ROUTH稳定性判据来判断系统的稳定性。域中的ROUTH稳定性判据例：设闭环离散系统如图所示，其中采样周期T=0.1秒，试求系统稳定时K的临界值。T-解：令：为了保证系统稳定所以朱利稳定判据朱利稳定判据是直接在Z域中应用的稳定性判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据，它根据离散系统的闭环特征方程D（Z）=0的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该系统是否稳定。利用特征方程的系数，按照下述构造（2n-3)行、（n+1)列朱利阵列朱利阵列行数朱利稳定判据特征方程D（Z）=0的根全部位于Z平面上的单位圆内的充分必要条件是以及下列（n-1)个约束条件成立例：已知离散系统闭环特征方程为试用朱利判据判断系统的稳定性解：由于n=4,2n-3