高三第二轮复习专题测试题六数学-立体几何

1、测试六立体几何综合、选择题1、在正四面体 P ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是BC平面 PDFDF，平面 PAE（C）平面PDF1平面ABC(D)平面 PAEL平面 ABC2、一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积的比为1 : 3,则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为1: 31: 21:31 ： 73 -13、正四面体P- ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（A）普3V3丁(D)管34、正四棱锥的侧棱与底面成45角，则侧面与地面所成二面角的正弦值是5、一个三棱锥 S ABC的三条侧棱 SA SB SC两两互相垂直，且长

2、度分别为1, V6 ,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为16兀32 兀36 兀64 %6、在棱长为a的正方体 ABCD- A1B1C1D1中,P、Q是对角线A1C上的点,a ,PQ=2，则二棱锥 P- BDQ的体积为（A）岛3(B)蟒a3（C）靖a3(D)不确定7、若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1 贝 UP到平面 ABC的距离为(A)管6,6V,3方,3(D)V8、将半径都为4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为(A).3 +2.62 .62+32 .64+3(D)4,3 +2 69、PA PB PC是从P点出

3、发的三条射线,每两条射线的夹角均为60 ,那么直线 PC与平面PAB所成角的余弦值是（A）2(B)号(D)10、正方体ABCD-A1B1GD1中，任作平面”与对角线ACi垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点,设得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则(B )(A) S为定值，l不为定值(B) S不为定值，l为定值S与l均为定值(D) S与l均不为定值二、填空题的中点，则=90s, AC=垂足为A,内的射影11、已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为2J6 ,则侧面与底面所成的二面角等于12、如图，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱长都相等 D是A1C14直线AD与平面BQC所

4、成角的正弦值为5513、如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，底面为直角三角形，ZACB6, BC= CC = J2 P是BG上一动点，则 CP+ PA的最小值是_5y214、已知平面ot和平面P交于直线l , P是空间一点，PAla ,PB P ,垂足为B,且PA=1, PB=2,若点A在P内的射影与点B在a 重合，则点P到l的距离为邓. . 115、若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积 S= 2 r (a+b+c)，根据类比思想，若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 G,S3,0,则四面体的体积 V=_1 r (S1+S2+S3+S4 )316、四面体 AB

5、CD中，有如下命题：若 AC BD, AB CD,则ADLBC;若E、F、G分别是BCAB、CD的中点，则/ FEG的大小等于异面直线 AC与BD所成角的大小；若点 。是四面体ABCD外接球 的球心，则 O在面ABD上的射影为 ABD的外心；若四个面是全等的三角形，则 ABCD为正四面体 (填上所有正确命题的序号)三、解答题AiCi由顶点B沿求：17、如图，在正三棱柱 ABCAB1cl 中，AB= 2, AA1 = 2 ,棱柱侧面经过棱 AA1到顶点C1的最短路线与 AA1的交点记为 M ,(I)三棱柱的侧面展开图的对角线长；一 一,、AiM “土(II)该最短路线的长及的值；AM(III)平

6、面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、 逻辑思维能力和运算能力.解： 正三棱柱 ABC A1B1C1的侧面展开宽为2的矩形其对角线长为.62+22 =2布.(II)如图，将侧面 AA1B1 B绕棱AA1旋转侧面AA1cle在同一平面上，点 B运动到点D的图是长为6,120二使其与位置，连接DC1交AA1于M,则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱 AA1到顶点G的最短路线，其长为vDC 2 +CC12 = J42 +22 = 25 .丁 AD M A AC1 MA1 ,，AM = A1 M ,AMAM(III)连接D

7、B, C1B,则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线在iDCB中，DBC =/CBA ABD =6030 = 90 ,CB _ DB,又C1C，平面CBD,由三垂线定理得 C1BIDB .J./C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角);侧面C1 B1BC是正方形.C1 BC =45=.故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为 45 =.18.(本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1GD1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.(I)试确定点F的位置，使得 DEL平面ABiF;(II)当DEL平面AB1F时，求二面角C1EF- A的大

8、小(结果用反三角函数值表示)B1本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和心理运算能力 解：（I）连结A1B,则A1B是D1E在面ABBiA;内的射影AB11A1B,D1EAB1,于是 DEX平面 ABF= D1EAF.连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.DCD1.D1E，AF= DE AF. ABCD是正方形，E是BC的中点.当且仅当F是CD的中点时，DE，AF, 即当点F是CD的中点时，DiE，平面ABiF.(II)当DiE，平面ABiF时，由(I)知点F是CD的中点. 又已知点E是BC的中点，连结 EF,则EF/ BD. 连结AC, 设AC与EF交于点H,贝

9、U CH，EF,连结CiH,贝U CH是 CiH在底面ABCD内的射影.CiHEF,即/ CiHC是二面角 G EF-C的平面角.在 RtCiCH 中，二CiC=i,i二2ABC所成的二面BiAH ,并延 所成的角.即. AGE =i20CiC.tan / GHC=CHCiHC=arctan2v12 ,从而/ AHCi = n arctan2g2 .故二面角 GEFA的大小为a -arctan22i9、(本小题满分i2分)如图，在斜三棱柱 ABC ABG中，/AAB =AAC , AB = AC ,侧面BBCCi与底面角为i200, E、F分别是棱CBAA的中点。(I)求AA与底面ABC所成的

10、角；(n)证明EA/平面BFC ；(I)解：过 A作平面AH _L平面ABC ,垂足为H .连接长BC交于G ,连接EG ,于是/A AH为A A与底面ABC因为/A1AB =/A AC ,所以AG为的/BAC平分线又因为AB =AC，所以AG _LBC , G且为BC的中点因此，由三垂线定理 AA _ BC因为人八83，且6巳8,所以EG _LBC，于是为/AGE二面角A - BC -E的平面角,由于四边形 AAGE为平行四边形，得 /AAG=60所以，AA与底面ABC所成的角度为600(II)证明：设EG与BG的交点为P,则点P为EG的中点，连结PF.在平行四边形 AGEAi中，因为F是A

11、iA的中点，所以 AE/EP 而EP二平面B1FC , AE值平面BFC ,所以AE/平面B1FC(III)解：连接AC .在4八。和4 AAB中，AC = AB!人一 一ZAAC =ZAAB g AACAAB= AC =AB又因为A1H _L平面ABC ,所以H是4 ABC的外心设球心为O ,则O必在AH上，且OF _LAA【a -在 RtAFO 中，4AO=AF=a cos. AA1H cos30 3以的小工口a v, 4c34（亮343na3球的体积V=-nR =一na =331 3j 2720、如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2, AB=4.(I )证明PQL平

12、面ABCD;(II)求异面直线AQ与PB所成的角；(出)求点P到平面QAD的距离.解(I)取AD的中点，连结 PM, QM.因为PABCD与Q ABCD者B是正四棱锥，所以 ADXPM, ADXQM, 从而 ADL平面 PQM.又PQ U平面PQM,所以PQ AD.同理PQXAB,所以PQL平面ABCD.(II)连结AC、BD设ACnBD=O,由PQL平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.因为 OA= OC, OP= OQ,所以PAQC为平行四边形，AQ / PC.从而/ BPC (或其补角)是 异面直线AQ与PB所成的角.因为 PB =PC =JOC 从而异

13、面直线AQ与PB所成的角是arccos1. +OP2 =；(2v5)2 +22 =2$3 ,所以 cos/BPC=pb2+pc2 -bc22PB PC 12 12 -1612 2.3 23311（山）连结 OM,则 OM = AB =2=PQ ,所以/ PMQ= 90 ,即 PMXMQ. 22由（I）知 AD PM,所以PML平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.在直角 PMO 中，PM =xPO2 +OM 2 =$22 +22 =2鼠.即点P到平面QAD的距离是2版.21 .在正三角形 ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB= CF:FA= CP:P

14、B=1:2 （如图1）。将4AEF沿EF折起到 M1EF的位置，使二面角 Al EF B成直二面角，连结 AB、A1P （如图2）（I ）求证：AJ平面BEP;（II）求直线 A1E与平面A1BP所成角的大小；（出）求二面角 B-A1P- F的大小（用反三角函数表示）解：不妨设正三角形 ABC的边长为3在图 1 中，取 BE 中点 D,连结 DF. AE: EB=CF: FA=1: 2 . . AF=AD=2 而/ A=600 , . .ADF 是正三角形，又 AE=DE=1, . .EFl AD在图 2 中，A1ELEF, BEX EF,/ A1EB为二面角 Al-EF B 的平面角.由题设

15、条件知此二面角为直二面角，A1E BE又BELIEF = E，A1E，平面BEF,即AE,平面BEP在图2中，AE不垂直A1B, A1E是平面A1BP的斜线，又 AEL平面BEP,- A1E BP.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为AQ,且A1Q交BP于点Q,则/ EA1Q就是AE与平面 A1BP所成的角，且BP A1Q.在4EBP中，BE=BP=2 而 / EBP=60 ,EBP 是等边三角形，BE=EP.又 AEL平面 BEP ,，A1B=A1P,Q 为 BP 的中点，且EQ=J3,又 A1E=1,在 R七AEQ中，tan/EAQ =型 = J3, . . / EAQ=60, .直线 A1E与平面 A1BP所成 AE的角为600在图 3 中，过 F作 FM，AP与 M,连结 QM,QF/. CP=CF=1, Z C=600, 1 一 一. FCP是正二角形，. PF=1.又 PQ =3 BP =1 . . PF=PQD,小A1E，平面 BEP EQ = EF=J3 .A1F=A1Q,/ j /MX， Af国AiQP从