高斯求积公式课件

1、 优点：代数精度高： ，问题：代数精度最大是多少？如何寻求数值稳定的方法？本节内容：介绍插值型求积公式的特例，Gauss型求积公式。优点： 1、代数精度最高； 复习：给定n+1个节点，插值型求积公式： 缺点：数值不一定稳定。NC公式：Simpson公式梯形公式2、数值稳定，收敛。插值基函数第1页，共14页。2.1 最高代数精度求积公式 分析：四个未知量A0，A1，x0，x1，并知道插值型求积公式的解： 具有尽可能高的代数精度。 例4 求节点 ，使插值型求积公式问题：结论：本节问题关键2 Gauss型求积公式插值型代数精度最高。因此按插值型求积公式来求A0，A1。第2页，共14页。第3页，共14

2、页。一般地，对于任意求积节点，任意求积系数，求积公式分析：第4页，共14页。Gauss型求积公式的构造利用正交多项式的根构造分析：引理1：证明： 代数精度最高的求积公式第5页，共14页。定义3 正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正n+1个节点(a x0 xn b)的求积公式(2.2)若其代数 精度m=2n+1，即达到最高，称之为Gauss型求积公式, 并称其节点为Gauss点。交多项式的根？第6页，共14页。2.2 Gauss点与正交多项式的关系定理4分析：Gauss点ax0 xn b是a,b上关于权 的n+1次正交多项式的根。求积公式(2.2)是Gauss型的 “充

3、分性”即是引理1的结论。以下只证必要性只需证 关于 正交。证明：注：本定理说明Gauss求积公式的唯一性。 “必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。代数精度m=2n+1第7页，共14页。2.3 Gauss求积公式的余项（截断误差）证明思路,由引理1知, xi(i=0,1,n)是Gauss点,则m=2n+1,定理5，则Gauss求积公式(2.2)的余项为 分析： 由n+1个点,确定2n+1次多项式。自然就想到Hermite插值多项式。证明：若f(x)的Hermite插值多项式H2n+1(x) 满足插值条件第8页，共14页。Gauss型求积公式是数值稳定的2.4 Gauss求

4、积公式的数值稳定性和收敛性1、稳定性第9页，共14页。证明 : 上的连续函数可以用代数多项式一致逼近, 对任意给定的存在某个多项式2、收敛性引理2上的任何连续函数对于有限闭区间第10页，共14页。3、结论： 定理6 Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的优点：（1）收敛、稳定；缺点: （1）Gauss点难求（即多项式的根难求）；（1）f(x) 赋值量大；使用情况：（2）计算的积分多。 连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确积分值。（2）计算量小，代数精度高。（2）Gauss点是无理数， Gauss求积系数也是无理数。第11页，共14页。2.5 几个常用的G

5、auss型求积公式 Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有1、Gauss-Legendre （勒让德）求积公式2、Gauss- chebyshev （切比雪夫）求积公式3、Gauss-Laguerre （拉盖尔）求积公式4、Gauss-Hermite 求积公式以下几种求积公式。第12页，共14页。本课重点：理解掌握Gauss型求积公式及其代数精度并会求Gauss型求积公式。 说明：（1）插值型求积公式代数精度大于n，多大？最大可达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根。交多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项 （2）虽然对任意的a,b以及a,b上的权函数 都能构造正式那样，归结成一个明确的表达式，也没有明确的规律，因此，借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题。P207 1（2、4）、6作业:理解Gauss求积公式的数值稳定性、收敛性与余项、Gauss点与正交多项式的关系。了解几个常用的Gauss型求积公式。第13页，共14页。2.1 最高代数精度求积公式 2 Gauss型求积公式Gauss型求积公式的构造利用正交多项式的根来构造引理1： 代数精度最高的求积公式定义3 正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正n