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1、第七节 无穷小量与无穷大量一.无穷小量1.定义如果在某变化过程中,变量的极限为零,则称为无穷小量.注(1)七种变化过程、数列及一般函数都成立.(2)谈无穷小量时指明自变量变化过程.(3)区分无穷小量与一个非常小的数.(4)是无穷小量.(5)精确性定义.2.性质必要性因所以故为无穷小量记为则充分性由得定理2.17证 此性质是把极限和无穷小量联系起来的一个性质,如有涉及极限与无穷小量的题型，想到这个性质.郑重声明应首先有限个无穷小量的和、差、积注(1)本性质只对有限个无穷小量成立.补充无穷小量与极限不为零的变量的商(2)本性质无穷小量的商不成立.定理2.18仍为无穷小量.仍为无穷小量.无穷小量与有

2、界变量的乘积设则对恒成立此时定理2.19仍为无穷小量.证无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.设所以从而故即为无穷小量.推论常数与无穷小量的乘积为无穷小量.定理2.19证例1求解因为所以注二.无穷小量的比较定义设在某一过程中,都是无穷小量(1)如果称高阶的无穷小量.记作:(2)如果称是同阶无穷小量.特别地,当时,称是等价无穷小量.记作:(3)低阶的无穷小量如果称如果则称(4)阶无穷小量.的注：并非任意两个无穷小量都可进行比较例时与都是无穷小量.但不存在故二者不可进行比较注(1)首先是无穷小量.(2)比值极限存在(或).(3)常见的等价无穷小:时(4)在求极限的过程中,等价无穷小量可互相代换.设

3、则证注本性质只适合乘除,对加减失效.例2求解原式原式例3已知时,是等价无穷小,求常数解由题设有又故(05年考研真题4分)极限解(04年考研真题4分)若则解因故从而三.无穷大量定义如果在某变化过程中,变量的绝对值无限增大则称在该变量变化过程中为无穷大量.注(1)七种变化过程、数列及一般函数都成立.(2)谈无穷大量时指明自变量变化过程.(3)区分无穷大量与一个非常大的数.(4)精确性定义.定义如果在某变化过程中,变量无限则称在该变化过程中变量为正无穷大量.增大定义如果在某变化过程中,变量则称在该变化过程中变量无穷大量.且绝对值无限增大取负值为负复习基本初等函数,找出特殊无穷大量、注正无穷大量、负无穷大量.定义设在某一过程中,都是无穷大量(1)如果称低阶的无穷大量.(2)如果称是同阶无穷大量.特别地,当时,称是等价无穷大量.(3)高阶的无穷大量如果称四.无穷大量的比较五.无穷小量与无穷大量的关系(1)如果变量是无穷大量,则是无穷小量.(2)如果变量是无穷小量,则是无穷大量.并且证因,由无穷大量定义对,从而成立,成立则总结本节重点:无穷小量的定义、性

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