空间几何体的结构特征及表面积与体积

1、空间几何体的结构特征及表面积与体积A级夯基保分练.下列说法中正确的是 （）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析：选D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时， 尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故 B错误；由几何图形知， 若以正六边形为底面，且侧棱长相等正六棱锥棱长必然要大于底面边长

2、，故C错误.选D. TOC o 1-5 h z .如图是水平放置的某个三角形的直观图， D是 A B C中，B C边的中点且 A D / y轴，A B , A D , A C三条线段/）对应原图形中的线段 AB, AD, AC,那么（）/A.最长的是 AB,最短的是 AC/B.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AD,最短的是AC解析：选C 由题中的直观图可知， A D /y轴，B C II X,轴，根据斜二测画 法的规则可知，在原图形中AD/y轴，BC/x轴，又因为D为B C的中点，所以 ABC 为等腰三角形，且 AD为底边BC上的高，则有 AB = ACAD

3、成立.（2019吉林调研）已知圆锥的高为 3,底面半彳5长为 4.若一球的表面积与此圆锥的侧 面积相等，则该球的半径长为 （）A. 5B.V5D.3C. 9解析：选B二.圆锥的底面半径 R=4,高h=3, 圆锥的母线1 = 5, .圆锥的侧面积S= #1= 20兀设球的半径为r,则442= 20兀， r = J5.故选B.4.（2020山东省实验中学模拟）我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高 三丈.问积几何？其意思是： 今有上下底面皆为长方形的草垛 （如图所示）, 下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提

4、供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A. 13.25立方丈B. 26.5立方丈C. 53立方丈D.106立方丈解析：选B 由题意知，刍童的体积为(4X2+3)M+(3X2+4)X2X3*=26.5(立方丈),故选B.(2020南昌模拟)正四棱锥V-ABCD的五个顶点在同一个球面上.若其底面边长为4, TOC o 1-5 h z 侧棱长为2 6,则此球的体积为()A. 72/兀B. 36兀C. 9aD.925解析：选B由题意知正四棱锥的高为 276 2- 22 2 =4

5、,设其外接球的半径为R,4-4则R2=(4-R)2+(2/2)2,解得R= 3,所以外接球的体积为4 7R3 = -7tX 33 = 36兀故选B.336.(2019安徽马鞍山第二次质监)如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面.若两个圆锥的体积之和为球的体积的3,则这两个圆8锥的高之差的绝对值为()A.22RB.万D.RJRC.5解析：选D 设球的球心为 O,半径为R,体积为V,上面圆锥的高为 h(hR),体积为V2,两个圆锥共用的底面的圆心为Oi,半径为r.由球和圆锥的对称性可知 h+H=2R, |OOi|= H-R.- Vi + V2=|v,16X4X2V3 3 2i0.（一题两空）

6、母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于凯则该圆锥的底面圆的半径为解析：设该圆锥的底面圆的半径为 r,高为h；母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 黑，侧面展开图的弧长为5*9 8兀又弧长=底面周长，即 8k 2, .-.r=4,一圆锥的图h=52-42 =3, 圆锥的体积 V=3*兀* 42X3=16兀答案：4 16兀.如图，已知正方体 ABCD -AiBiCiDi的棱长为1,P为BC的中点， 过点A, P, C1的平面截正方体所得的截面为M,则截面 M的面积为解析：如图，取A1D1, AD的中点分别为 F, G.连接AF, AP, PC1，C1F, PG, D1G, AC1, PFF为

7、A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点,5.AF=FC1 = AP=PC1 = 2-, PG 触 CD, AF 触 D1G.由题意易知 CD 触 C1D1, PG 统C1D1, 四边形 C1D1GP 为平行四边形，PC1 触 D1G,PC1 触 AF,A, P, C1，F 四点共面，四边形 APC1F为菱形. 73X72=*.答案:.12.已知圆锥的顶点为 S,母线SA, SB所成角的余弦值为 L SA与圆锥底面所成角为845,若4SAB的面积为5班,则该圆锥的侧面积为 解析：如图，: SA与底面成45角， ASAO为等腰直角三角形.设 OA=r,则 SO= r, SA= SB=V2r

8、. sinASB邛在 SAB 中，cos /ASB= 7, 81 SaSAB=2SA SB sin / ASB5亚5,解得=2亚0,，SA=+r=48即母线长1=4平，.S 圆锥侧=1 = TtX 210X4/5=40/2 71 .答案：40小兀B级提能综合练13.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为兀：4.若正方体的棱长为 2,则“牟合方盖”的体积为 ()1616316 C.V 3128解析：选C若正方体的棱长为2,则其内切球的半径 r=1,，正方体的内切球

9、的体积V球=3/ 13=3兀又已知六=4 V牟合方盖=4*4兀=16.故选C.兀 33.(2019河北衡水中学四调)如图所示，某几何体由底面半径和高均为的圆柱与半径为 5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A 2 000 兀C. 81 兀D.128 兀解析：选B 小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为 5,下部 分深入底部半球内.设小圆柱下部分的高为h(0h5),底面半径为r(0r5).由于r, h和球的半径构成直角三角形，即r2+h2=52,所以小圆柱体积 V= 2(h+5)=兀(25- h2)(h + TOC o 1-5 h z 5)(0h5),求导得 V=-兀(35)(h+5).当 0h0,体积 V单调递增；当5Vh5 33 525时，V 2 + 3x2x (1 + 2)X 2X 2=6. 23 2答案：616.(一题两空)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为 ,若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为解析：该三棱锥侧面的斜高为3 乂 3 2+ 12 = 23,则S侧=3X2X2X 竽=2g1S底= 2xy3x2