中值定理-导数的应用(外)教学课件

1、第四章 中值定理与导数的应用 4.1 中值定理 4.2 罗彼塔法则 4.3 函数的单调性 4.4 函数的极值 4.5 最大值与最小值,极值的应用问题 4.6 曲线的凹向与拐点 4.7 函数图形的作法 4.8 导数在经济分析中的应用4.1 中值定理教学内容：微分中值定理（罗尔定理；拉格朗日定理；柯西定理）（1）知道罗尔定理，拉格朗日定理和柯西定理的条件与结论及其相互间的关系与区别。（2）掌握罗尔定理，拉格朗日定理的一些简单应用。重点：罗尔定理，拉格朗日定理的一些简单应用。难点：罗尔定理，拉格朗日定理和柯西定理的理解和运用。教学要求：4.1 中值定理定理的几何意义：如果在连续曲线一、罗尔定理定理4

2、.1 如果函数满足条件：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）则在区间内至少存在一点，使两个端点的纵坐标相等，那么曲线上至少存在上，处处有不垂直于轴的切线，且曲线段的 在图4-1中，在曲线的最高点或最低点处切线是水平的，这就启发我们去证明在函数的最大值点或最小值点处的导数为零.一点，使得在该点处的切线平行于轴(见图4-1).图4-1在(0 , 3)内均有定义, 所以在0,3上连续;又 所以在(0 , 3)内可导;中的 罗尔定理的所有条件？如果满足，请找出定理例1 问在0 , 3上是否满足0,3在解:因为内有定义,又解之得易见因此可取为求值,可令例2 不求导数，判断函数的有几个实根，并指出它们所

3、在导数方程的区间是初等函数,它在其定义域解:因为内连续,在区间0，3上满足罗尔定理的条件故因此由该定理知: 所以在1,2和2,3上均连续,而显然在(1,2),(2,3)内均可导,且所以在1，2，2，3上满足了罗尔定理的条件在（1，2）内至少存在一点使得即是方程的一个实根；在（2，3）内至少存在一点使得即是方程的一个实根；两个实根，分别在（1，2）及（2，3）内. 是二次多项式，所以 又因为 只有或(4.1.1)从几何上看(4.1.1)（1）在上连续；（2）在内可导,则在区间内至少存在一点，使图4-2的斜率,式的右边恰好是直线而左边是曲线在的切线斜率是 点二、拉格朗日定理定理4.2 如果函数满足

4、条件：的切线，在该点的切线平行于该曲线两端点的连线如果连续曲线除端点外,处处有不垂直于 轴那末在曲线上至少存在一点，使得曲线 所以Lagrange定理的几何意义是：图4-2例3 证明证: 令又且所以有设是任取的两个实数,且使得它在内可导,因此满足了拉格朗日定理的全部条件.由拉格朗日定理知存在所以在上因是初等函数,它在定义域R内显然,且连续,连续.的任意性知，在由内是常数. 因为在内恒有故所以,必有使得可导,即满足了拉格朗日定理的全部条件，因此,在闭区间上必连续,证明 任取不妨设则的导数都等于零，则在内是一个常数推论1 如果函数在区间内任一点内而在开区间 例4 证明证明: 令由于 所以 又因为

5、所以推论2 如果在区间 内,有内最多相差一个常数，则与在区间即且注1: 显然当拉格朗日定理增加一个条件时,三、柯西中值定理（1）在上连续；（2）在内可导,定理4.3 如果函数满足条件：与则在区间内至少存在一点，使尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.可见拉格朗日定理是罗尔定理的推广;其结论即转化为罗尔定理的结论,反之,罗 反之, 拉格朗日定理是柯西定理的特殊情形.可见柯西定理是拉格朗日定理的推广;即转化为拉格朗日定理的结论.注2: 显然当时,柯西定理的结论4.2 洛必达法则教学要求：（1）理解未定式的定义.（2）掌握洛必达法则,并会求未定型的极限.重点：教学内容：洛必达法则难点：型；型未定型的极限.

6、型；型的极限。型；型；型；4.2 洛必达法则 在求极限的过程中，常常遇到在自变量的同一变化过程中，分子、分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形. 通常这两类极限分别称为“ ”型或“ ”型 下面介绍计算未定式极限的一种简便方法洛必达法则的未定式例如(一)未定式 则满足条件：定理4.4（洛必达法则1）若函数与可除外）可导，且与点点的某个邻域内（在(二)型或型洛必达法则则与点点的某个邻域内（在定理4.5（洛必达法则2）若函数与满足条件：仍然成立 注意:在法则1和法则2中，把改为可除外）可导，且例1 求解:例2 求解:例3 求解:例4 求解:例5 求解= 例6 求解:(三)洛必达法则可多次使用 则可继续

7、如果满足定理中的条件,使用洛必达法则, 即注:用两次. 例7 求解:， (注:用n次) ， (四)不能使用洛必达法则的未定式举例 例1 求解:因为不存在.事实上,即不满足定理的第三个条件, 故不能用洛必达法则。 存在.例2 求解:因为不存在.， 即不满足定理的第三个条件, 故洛必达法则失效。 事实上,例8 求解:(五)其它类型未定式的未定式后,才能使用洛必达法则.(1)型注: 转换时对数函数和反三角函数一般不能做分母，因为求导后会更复杂。其它类型的未定式要转化为型或型方法：用除法将其转换为型或型.(2)型方法：通过有理化或通分或倒代换化成例9 求 解:型或型.(3)型；型.型；方法：这三种类型

8、通常为幂指函数的极限：因此首先求出则因为所以例10 求 解:利用下列对数恒等式利用下列对数性质而且例11 求所以解: 因为 从上述讨论看到，洛必达法则是一种计算未定式极限的简便方法，但在使用时应注意以下几点:(六)洛必达法则总结 （2）洛必达法则可连续多次使用。但在每次使用前都要判别是否可以使用，每次使用后要将结果化简。的定值，型或型转化为后才能使用洛必达法则。（1）洛必达法则只直接用于型或型未定式而其它类型的未定式的定值只有将它们 (4) 该法则有时不能直接使用, 须进行适当的变形实际上方法（见例）。 的未定式，洛必达法则失效，要用其它的求极限（3）洛必达法则不是万能的。后再使用.例如必达法

9、则:显然,该极限是型的未定式. 而若直接使用洛将分子和分母同时乘上型或型有些例1求解:教学内容：函数的增减性；函数的极值。教学要求：（1）正确理解函数在指定区间上单调性的判别 方法。（2）会用函数的单调性证明不等式。（3）掌握驻点与极值点的关系。（4）掌握求函数的极值的方法。重点：函数增减性的判别定理运用；极值的第一 判别法和第二判别法及运用。难点：函数增减性的判别定理及运用；极值的第 一判别法和第二判别法及运用。 函数y=f(x)的图象有时上升, 有时下降. 如何判断函数的图象在什么范围内是上升的, 在什么范围内是下降的呢？4.3 函数的增减性 f (x)0 f (x)0 因此函数yx3在区

10、间( 0及0, )内都是单调增加的 例4 证明:当时,证:设则当时, 故 函数在上都单调增加.从而,当时,即因此, 当时,从而函数在整个定义域( )内是单调增加的 练习: 证明当时, 习题4-31求下列函数的单调区间： 2.证明:函数 在定义域内单调增加3.证明不等式 教学内容：函数的极值。教学要求：（1）理解函数的极值的概念。（2）理解函数极值的必要条件。（3）掌握驻点与极值点的关系。（4）掌握极值的第一 判别法和第二判别法。（5）掌握求函数的极值的方法。重点：极值的第一判别法和第二判别法及运用。难点：极值的第一判别法和第二判别法及运用。4.4 函数的极值4.4 函数的极值函数的极大值与极小

11、值统称为函数的极值，一、函数的极值的定义极大值点与极小值点统称为极值点函数的极小值点.则称为函数的极小值，此时称点是如果对于该邻域内任意的总有是函数的极大值点;此时称点的极大值，则称为函数总有如果对于该邻域内任意的内有定义，域定义4.1 设函数在点的某个邻 注1:极值具有以下两个特点:局部性.即极大值仅是局部小范围内的最大值,极小值仅是局部小范围内的最小值,它们并非整个区间上的最大值和最小值;双侧性.即极大值必须是比极大点两侧的函数值大才行,而极小值必须是比极小点两侧的函数值小才可以.提问： f(a)和 f(b)是极值吗？x1x2x3x4x5观察与思考： 观察极值与切线的关系. 如果函数f(x

12、)在点x0处可导, 且在x0处取得极值,那么f (x0)0. 驻点: 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.定理4.7(极值存在的必要条件) x1x2x3x4x5答:不一定.例如x=0是函数y=|x|的极小值点 但在点x=0处不可导 结论：(1)极值点不一定是驻点.(2)驻点也不一定是极值点.(3)可导函数的极值点一定是驻点.(2)驻点是否一定是极值点？但不是函数的极值点.答:不一定.例如x=0是函数y=x3的驻点, 讨论：(1)极值点是否一定是驻点？ 注2:定理4.7仅是极值的必要条件,并非充分条件,.即驻点并非一定是极值点. 注3:极值点有可能是驻点,也

13、有可能是不可导点.不可导点驻点极值点(1)若当时而当时是函数的极大值；则(2)若当时而当时是函数的极小值；则不是函数的极值.则(3)若当和时,不变号，定理4.8（极值判别法） 设函数在点的某邻域内连续且可导（但可以不存在）.及导数不存在的点；（4）求出各极值点的函数值，即函数的极值. 点，是极大值点还是极小值点；（3）判定驻点或导数不存在的点是否为极值并求出在定义域内的所有驻点（2）求（1）确定函数的定义域；求函数的极值步骤归纳如下：解得 (4)所以函数的极小值是例1 求函数的极值令将函数的定义域分成了三个区间,列表: 解: (1)函数的定义域为极小值非极值解得 所以函数的极小值是例2 求函数

14、的单调区间和极值令当时,不存在.列表如下:将函数的定义域分成了三个区间,和极大值是 解: 函数的定义域为不存在极小值极大值可见在驻点处，若二阶导数存在且不等于零点处有二阶导数，且如果定理4.9（极值判别法） 设函数在时，则该驻点一定是极值点.函数在内单调增加；内单调减少在则该定理不能使用.是函数的极大值；则是函数的极小值；则令因为解:例3 求函数的极值解得驻点所以是函数的极大值;因为所以是函数的极小值.不是极值，这时需用定理4.8来判定. 注:对于的情形.可能是极值也可能例如, 函数且易见可用定理4.8判定如下:又如函数得驻点为令因此不能用定理4.9判定.当时有因此极小值点 .是当时有可用定理

15、4.8判定如下:得驻点为令且易见因此不能用定理4.9判定.因此极值点 .不是时同样有 而当当时有 4.5 函数的最大值与最小值,极值的应用问题教学内容：最大值与最小值；极值的应用问题。教学要求：（1）理解最大值与最小值的概念。（2）弄清极值与最值的区别与关系。（3）会求实际问题中的最值问题。重点：最大（小）值的求法；极值的应用问题。难点：极值的应用问题中函数的建立及求解。 4.5 函数的最大值与最小值,极值的应用问题(一) 函数的最大值与最小值的概念 如果有 定义：设函数在区间上有定义，使得对于任一 都有 则称是函数在区间上的最大值（或最小值）。x1x2x3x4x5Mm最值极值(三) 求最大值

16、与最小值的步骤全局性的概念局部性的概念唯一性不唯一最小值一定不大于最大值极小值可能大于极大值（1）求出在指定定义区间内的驻点和不可导点;（2）求出在驻点、不可导点及区间端点处的函数值；（3）将（2）中的函数值比较，其中最小的就是最小值，最大的就是最大值。 (二) 最值与极值的区别 区间端点函数值可能是最值;区间端点函数值一定不是极值.最小值例1 求函数在上的最大值与解:令解得当时,不存在.因为所以函数在上的最大值为最小值为，令， 因为， 解:例2 求函数在上的最大值与最小值解得所以在上的最大值为最小值为单调减函数单调增函数(四) 两种特殊情况的最大值与最小值的求法1、单调函数 单调函数的最大值

17、和最小值在区间的端点处取得.， ， 例3 求函数在上的最大值与最小值解:且当且仅当时,上单调增加,所以函数 在 故函数在上的最大值为最小值为2、如果 f(x)在一个区间(有限或无限 开或闭)内可导且只有一个驻点x0 那么 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值 一般求实际问题的最大值或最小值都属于这种情形,可用求极值的方法来求解。 (五) 极值的应用问题举例解决实际的应用型的问题的步骤是：1、分析题意，引进变量，建立目标函数。2、求解目标函数的最值。注:当在某个区间上可导且只有一个驻点，并且这个驻点就是

18、极值点时,那么也为函数的最值点。3、结论（回答问题）。 器。位面积造价的一半，而侧面材料单位面积造价是下底面单位面积造价的一半。使容器的总造价最低? 解：设容器上底半径为米，高为米,上底材料每平方米的造价是元,则例4 要设计一个容积为立方米的圆柱形封闭容从而总造价为: 已知上底材料每平方米的造价是侧面材料单问应怎样设计才能由得答：当容器半径为2米，高为5米时，总造价最低。 是极小值点。由于驻点是唯一的，也是最小值点，此时故即例5 将边长为a的一块正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起作成一个无盖的方盒,问截掉的小正方形边长为多大时,所得方盒容积最大?解:设小正方形的边长为

19、则方盒底的边长为因此,方盒的容积为由得(舍去).当时,当时,是极大值点。由于驻点是唯一的，也是最大值点.故答:当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁时,所做成的方盒容积最大.皮边长的 例6 某工厂生产某种产品，年产量为 （百台）, 总成本 （万元),其中固定成本为2万元,每生产1百台，成本就增加1万元，市场上每年可销售此种产品4百台，其销售总收入 是 的函数备用题: , 可知 点是函数 的极大值点，又因为函数 仅有唯一一个极值点,所以这个极大值点就是函数 的最大值点即每年生产百台，总利润 最大问每年生产多少百台，可使利润最大？解 由题意知 ，所以 显然当 时， 不会取得最大值，所以只考虑 在

20、内， 令 解得 又 )(xL内容小结应用题可根据问题的实际意义判别 .(一) 函数的最大值与最小值的概念 (二) 最值与极值的区别 (三) 最大值与最小值的求法(四) 两种特殊情况的最大值与最小值的求法(五) 极值的应用问题举例最值点应在极值点和边界点上找 . 习题4-41求下列函数的极值：2利用二阶导数， 求下面函数的极值： 3求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： 4证明函数 无极值 5欲做一个上下底为相同的正方形、容积为108 的长方体开口容器，问此容器的底边长和高各为多少时，所用的材料最省? 6设某商品的需求函数为 （其中为 需求量， 为价格），若生产该产品时的固定成本为100百元，

21、若多生产一个单位产品，成本增加2百元，且工厂自产自销，产销平衡，试问如何定价，才能使工厂获得最大利润？ 4.6 曲线的凹向与拐点教学内容：曲线的凹向与拐点.难点：曲线凹凸的判定及拐点的求法.重点：求曲线的凹凸区间与拐点.教学要求：（1）理解曲线凹向和拐点的概念.（2）会求曲线的凹凸区间与拐点. 在研究函数图象的变化状况时，仅了解单调性还不能完全反映它的变化规律如图1，虽然函数的图象始终是上升的，但却有不同的弯曲状况从左向右，曲线先向上弯曲，通过点P后改变了弯曲方向，变为向下弯曲4.6 曲线的凹向与拐点一、曲线的凹向单调递增P拐点图1凹凸 在图1中,虽然函数的图象始终是上升的，但有着不同的弯曲状

22、况因此，研究函数图象时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的.我们观察曲线向上弯曲与向下弯曲有何不同?单调递增P拐点凹凸图1演示函数曲线的凹向凹易见,曲线上任何一点的切线均在该曲线的下方凸易见,曲线上任何一点的切线均在该曲线的上方演示结束 曲线向上弯曲的弧段位于这弧段上任意一点的切线的上方；而向下弯曲的弧段则位于该弧段上任意一点的切线的下方我们给出如下定义： 定义4.2 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在此区间内是凹的(或上凹的)；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在此区间内是凸的(或下凹的)那么如何判断曲线的凹凸性呢?请观察曲

23、线的切线的斜率变化.演示函数曲线的凹向凹凸易见当曲线凹时为增函数.亦即随着的增大而增大,易见当曲线凸时为减函数.亦即随着的增大而减小,可见曲线凹时, 单调递增;单调递减.曲线凸时,由此可见有如下定理:在内是凸的.（1）在内，恒有则曲线（2）在内，恒有则曲线在内是凹的.二阶导数， 若定理 设函数在区间内存在 例 判断曲线yx3的凹凸性 解：y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因为当x0时 y0时 y0 所以曲线在0 )内是凹的 拐点的定义: 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 拐点讨论: 1.如何确定点(x0, f(x0)是曲线yf(x)的拐点？ 2. 如果(x0, f(x

24、0)是拐点，问f (x0)=？ 3.如何找可能的拐点？2.使的点不一定是拐点的横坐标.注：1.拐点既然是曲线凹与凸的分界点，那么在拐点的左、右邻近必然异号，坐标处有或不存在.但不是拐点的横坐标(见图)； 如在处，虽然二阶导数为，因而在拐点横二阶导但不是拐点的3.使也不一定是拐点的横坐标.不存在的点如在处，数不存在，横坐标(见图)是否要根据在该点的左右邻近4.使是否为拐点或不存在的点的横坐标，异号来确定.（1）确定函数的定义域；（2）求函数的二阶导数，找出在定义域内使得的点和不存在的点；（3）对（2）中的每一个点检查其左、右邻近的的符号，如果异号，则点是的拐点；曲线如果同号，则点不的拐点。是曲线

25、求曲线拐点的一般步骤如下：解:函数的定义域为令解得例求曲线的凹向区间与拐点 . 把定义域分成三个区间，列表如下： 点拐点拐点凹凹凸在区间下凹.曲线在区间上凹;因此,和该曲线的拐点为拐点拐点解：函数的定义域为 所以该曲线的拐点为例 求曲线的拐点当时, 不存在，一、曲线的渐近线 有些函数的定义域和值域都是有限区间，此时函数的图象局限于一定的范围之内，如圆、椭圆等而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图象向无穷远处延伸，如双曲线、抛物线等有些向无穷远延伸的曲线会趋近于某一条直线，这样的直线叫做曲线的渐近线演示4.7 函数图形的作法1水平渐近线解:因为 例1 求曲线的水平渐近线所以为曲线的水平

26、渐近线为曲线的水平渐近线则称直线设曲线定义域为无限区间，如果 渐近线分为水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线三种解：因为 2铅垂渐近线例2 求曲线的水平渐近线。所以直线为曲线的水平渐近线。垂渐近线或则称直线为曲线的铅如果曲线在点处间断，且线的一条铅垂渐近线又因为解 因为所以直线为该曲线的水平渐近线。所以直线为该曲解 因为 垂渐近线例3 求曲线的水平渐近线和铅所以是其一条铅垂渐近线 .例4 求曲线的铅垂渐近线解：因为例5 求曲线的斜渐近线。所以曲线的斜渐近线为3.斜渐近线用公式求出后代入方程即得到斜渐近线. 1确定函数的定义域； 2判断函数的奇偶性或周期性或有界性； 3求函数的一阶和二阶导数并确定函

27、数的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点； 4确定曲线的渐近线； 5由曲线方程计算出一些特殊点的坐标(包括曲线与坐标轴的交点、极值点、拐点等) 6根据上述情况描点绘图二、函数图形的作法 综合前面讨论函数的各种性质，就可以较为准确地描绘出函数的图象具体方法及步骤如下：解:（1）该函数的定义域为 例1 作函数的图象因此只讨论上该函数的图形（2）该函数是偶函数，其图象关于轴对称.因为 y0 函数的图形在x轴的上方.不是周期函数. 令f (x)=0 得 x=0令f (x)=0 得 x = -1和x =1 （5）因为只列的部分：极大拐点(1, +)1(0, 1)0 x f (x) f (x) yf(x)的图

28、形 00所以直线为水平渐近线（6）描点绘图 先作出区间(0,+)内的图形 然后利用对称性作出区间(-, 0)内的图形。 极大拐点(1, +)1(0, 1)0 x yf(x)的图形 4.8 导数在经济分析中的应用本节介绍导数概念在经济学中的两个应用一、边际分析1边际函数记作即 并称为函数在处的边际函数值,称为函数的边际,记作即定义1 经济学上把经济函数的导数边际分析和弹性分析(1)成本函数 总成本函数: 平均成本函数:边际成本函数:为可变成本.为固定成本 ,为产量, 其中例1 已知某商品的成本函数为平均成本为得 解:(1)由求:(1)当时的总成本,平均成本及边际成本;(2)当产量为多少时,平均成

29、本最小?时,总成本为当边际成本为(2)由平均成本函数得令得(舍去).因为 时平均成本最小.所以 (2)收益函数需求函数:总收益函数:平均收益函数:边际收益函数:为 销售量.为价格, 其中解:总收益函数:平均收益函数:边际收益函数:例2 已知某商品的价格与销售量的关系为求当时的总收益,平均收益及边际收益.平均利润函数:(3)总利润函数:边际利润函数:际利润三者间的关系为:边际成本边际收入和边均利润与边际利润求销量为9个单位时的总利润，平成本的函数关系为与销量例3 设某产品的价格是销量的函数:解:总收益函数为:总利润函数为:9个单位时的总利润:9个单位时的平均总利润:边际利润函数:9个单位时的边际

30、利润:即注意:在应用问题中解释边际函数值的具体意2边际的经济意义我们知道,当很小时有义时，常常略去“近似”二字时表示函数值增加了;反之表示函数值减小了).增加1件,或减少1件)，因此,取则而在经济学上的最小值只能取1(例如产品 所以函数在处的边际表示在处，当自变量增加1个单位时，其函数值近似地改变个单位了解:由得， 销售多1个单位产品，则总收入将增加12个单位；和50及70时的边际收入，并说明经济意义求量，为价格）,求（1）边际收入函数；例5 设某产品的需求函数为为需(2)当经济意义为：当需求量为20个单位时，若再销售当量为50个单位时，若再多销售1个单位产品，则总收入不会改变；而当销售量为7

31、0个单位时，若再多销售1个单位产品，则总收入反而会减少8个单位二、弹性分析1函数的弹性（1）相对改变量 设有甲、乙两种商品,其单价分别为5元和1000元,现在让这两种商品的价格均上涨一元.我们会发现甲商品的价格变化比较大,而感觉乙商品的价格变化微乎其微.因此甲商品的需求量必会发生很大的波动,而乙商品的需求量不会发生多大变化.先看一例 为什么均涨价了一元,而需求量的变化又不同呢? 其原因显然是原来价格的差异造成了涨价的幅度实际上不同甲商品涨价的幅度是: % 20%乙商品涨价的幅度是: % 0.1% 对于函数 ， 称 为自变量在 点处的相对改变量，称 为函数 在 点处的相对改变量（2）弹性的定义

32、定义2 设函数 在点 处有定义,给自变量在 点一个增量 ,则有函数 有相应的增量 , 如果当 时,函数的相对增量与自变量的相对增量之比的极限:存在,则称该极限值为函数 在 点处的弹性.记作注意:由定义易见因此常常用公式 求弹性.2弹性的经济意义 函数 在 点处的弹性 表示在 点处,当自变量增加1%时，函数值会在原来基础上改变 %注意:当 为正数时,函数值会增大 %,当当 为负数时,函数值会减少 %, 反映了 对 的相对变化率，即 对 变化的灵敏度例1 例2 3.需求函数与供给函数 需求是由多种因素决定的,其中价格是一个主要因素.这里如果P表示商品的价格,用Q表示需求函数.一般来说,当价格P上升

33、时,商品需求Q降低,而价格P降低时,商品需求Q升高.当然这也不是绝对的,有时要看具体情形.通常用一些简单函数来拟合需求函数,如:同样也可以定义供给函数:当然也有线性函数关系,幂函数关系和指数关系. 当供给与需求相等时的价格,称为均衡价格. 当价格低于均衡价格时,市场上出现供不应求,会形成商品短缺;而如果价格大于均衡价格时,供大于求,这会导致商品滞销. 一般地,供给函数为单调增加函数.商品价格高,供给多;商品价格低,供给少.那么边际需求是当然也有所谓的边际需求,即如果需求函数是解:由,得4.需求弹性与供给弹性 例 设某商品需求函数为 求(1)需求弹性函数. (2)P=3,5,6时的需求弹性,并说明