连续系统的时域分析课件

1、第二章 连续系统的时域分析时域分析方法：即对于给定的激励，由系统的数学模型（微分方程）求得其响应的方法。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。第1页，共25页。本章主要内容2.1 LTI连续系统的响应2.2 冲激响应和阶跃响应2.3 卷积积分2.4 卷积积分的性质第2页，共25页。2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+值三、零输入响应四、零状态响应五、全响应第3页，共25页。其经典解：y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解

2、) + yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)一、微分方程的经典解第4页，共25页。表21 不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解yh(t)单实根et ？ r重实根 (Cr-1 tr-1+ Cr-2 tr-2+ C1 t1+C0) et一对共轭复根1,2=je tCcos(

3、t)+Dsin(t)或Acos(t-)其中A e j =C+jDr重共轭复根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+ Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+ A0 cos(t+0) e t齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；第5页，共25页。特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。问：若f(t)=c（常数），特解形式？第6页，共25页。解: 特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2，2= 3。 齐次解: yh(t) = C1e 2t + C2e 3t ？ 因为f(t) = 2e t，故其特解可设为 yp(t) =

4、Pe t将其代入微分方程得Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得P=1于是特解为yp(t) = e t例 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求当f(t)= 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解；第7页，共25页。其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1解得C1 = 3 ，C2 = 2最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t第8页

5、，共25页。二、关于0-和0+值在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。第9页，共25页。三、零输入响应y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。零输入响应，对应的输入为零，所以方程为y(n)(t) + an-1y (n-1)(

6、t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)0若其特征根都为单根，则零输入响应为：由于激励为零，故有yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-), (j=0,1,n-1)第10页，共25页。四、零状态响应方程仍为y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yzs(j)(0-)=0；若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为Czsj 为待定系数，yp(t)为方

7、程的特解第11页，共25页。五、全响应如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t)第12页，共25页。2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为冲激响应。 h(t)=T0,(t)第13页，共25页。冲激响应示意图 x(0)=0第14页，共25页。例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求h(t)。第15页，共25页。二、阶跃响应阶跃响应示意图*阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)时，系统的零状态响应。线性非时变系统g(

8、t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)用g(t)表示阶跃响应第16页，共25页。可根据LTI系统的线性性质和微积分特性求出阶跃响应：第17页，共25页。解：系统的微分方程设图中右端积分器的输出为x(t)，则其输入为x(t)，左端积分器的输入为x(t)。左端加法器的输出为 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t)即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)例2.2-3 如图2.2-3 所示的LTI系统，求其阶跃响应 y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)第18页，共25页。gx(t)满足方程 gx(t) +3 gx(t)+2 gx(t) (t)

9、gx(0_) = gx(0_) =0其特征根11； 22，其特解为0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5) (t) 初始值为gx(0) = gx(0) =0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0; gx(0) =- C1-2C2=0解得 C1-1；C20.5第19页，共25页。所以， gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5) (t) 求出 gx(t)，代入g(t)=- gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1) (t) 解法二：由（1）、（2）式求得系统的微分方程为： y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)当f(t)=(t)时，有先求h(0+)和h(0+)第20页，共25页。令：由（4）式从0-到0+积分得将上三式代入（3）式得由（5）式从0-到0+积分得第21页，共25页。可以求得系统的冲激响应为 h(t)=(3e-t-4e-2t) (t) 当t0,有所以由第22页，共25页。2.3 卷积积分已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和f2