高考数学立体几何专题

1、专题三立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题.选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几 何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考 查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考 查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.试题在突出对空间想象能力考查的同时， 关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究.【考点透析】立体几

2、何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特 征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断 与证明，空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的 应用等.【例题解析】题型1空间几何体的三视图以及面积和体积计算例1某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为J6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a和b的线段，则a + b的最大值为A. 2 2B, 2、3C. 4D. 2 5分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决.解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽

3、高分别为m, n,k,由题意得 Jm2 +n2 +k2 =用,4m2+k2=J6= n=1,Jl+k2 =a, ,1 +m2 = b,所以(a2 1)+(b2 1) = 6-2.2_22_2_22 一.=a2 +b2 =8, (a+b) =a +2ab+b =8+2ab8 + a +b =16= a+b4当且仅当a = b =2时取等号.点评：本题是高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决.例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A. 9 bB. 10 冗 C. 11 uD.

4、12 7t正视图侧视图O俯视图分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答.解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1,母线长是3,球的22.半径是1 ,故其表面积是 2冗父1父3+2父n父1 +4n父1 =12几，答案D.点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则.例3已知一个正三棱锥 P - ABC的主视图如图所示，若PC =后，则此正三棱锥的全面积为 .分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一条边垂直，这样就知

5、道了这个三棱锥的各个棱长.解析：这个正三棱锥的底面边长是3、高是J6 ,故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是 3 = : 3 ,故这个正三棱锥的侧棱长是,、,3：62=3,由此知道这个正32三棱锥的侧面也是边长为 3的正三角形，故其全面积是 4 x 32 = 973 ,答案9百.4点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视 图”要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心.题型2空间点、线、面位置关系的判断例4已知m,n是两条不同的直线， 久，P为两 个不同的平面，有下列四个命题：若 m_La,n_LP, m_Ln,则a_l_F；若 m/a,n/P,m_Ln,则

6、a / B ；若 m_l_,n/ P,m _Ln,则 ctP ；若 m_L%n/ S 产 / P ,则 m _L n .其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断.解析：我们借助于长方体模型解决.中过直线m,n作平面1 ,可以得到平面a,P所成的二面角为直二面角，如图（1）,故a _L P正确；的反例如图（2）；的反例如图（3）；中由m a,a |_| P可得m 1 P ,过n作平面飞可得n与交线g平行，由于m _L g,故m _1_ n点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是通过这个模型中提供的空间

7、线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的.例5设m, n是两条不同的直线，a, P是两个不同的平面，下列命题正确的是A.若m_Ln,m_Lo（,nP,则口 B .若mo（,nP,aP,则mnC.若 m _La,n P, 口 P ,则 m _L n D .若 m n, mc（, n P，则u P分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断.解析：对于a / P ,结合m _La,n/ P,则可推得m _L n .答案C.点评：从上面几个例子可以看出， 这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异， 但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系

8、的判定和性质定理为目标设计的，主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度.题型3空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算 （文科解答题的主要题型）例efI_ BDi ；第二问转化为线面垂直进行证6.如图所示，在棱长为 2的正方体 ABCD ABC1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点.（1）求证：EF / 平面 ABC1D1；（2）求证：EF_LB1C;（3）求三棱锥VB_EFC的体积.分析：第一问就是找平行线，最明显的就是明；第三问采用三棱锥的等积变换解决.解析：（1）连结BD1,如图，在ADD1B中,E、F分别为D1D , DB的中点，则EF /DiBD

9、iBu 平面 ABC1D1 H EF/平面 ABC1D1 .EF值平面ABGD(2)B1c _ ABBiC _ BC1AB, BiCu 平面 ABCiDiB1C _L 平面 ABCi Di 1BDi u 平面 ABCi DiB1c _ BDi=：EF _ BiCEF /BDiABD BCi -B(3) ；CF _L平面 BDDiBi , CF _L 平面 EFB1 且 CF = BF = ” ,：EF=1bDi=73, BiF = JbF2 + BB； = J(V2)2+22 ;而,B1E = BD厂DE2 = 12 (2.2)2 =3 EF2 +BF2 = B1E2即/EFB =90,_ 1

10、Vb1 _EFC - Vc _B1EF = S B1EF CF 3i i一EF BiF CF 3 2i i x x73x 疵x 近=i .3 2点评：空间线面位置关系证明的基本思想是转化,根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证明线线垂直，但问题不能只局限在线上, 要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上， 证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又得借助于线线垂直,断的相互转化中达到最终目的.立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形，通过 在不 可以通过“换顶点”实行等体积变换，这也是求点面距离的基本方法之一.例7

11、.在四棱锥P -ABCD 中，/ABC =/ACD =900 , /BAC =/CAD =600 , PA _L平面ABCD , E为PD的中点，PA =2AB =2 . (1)求四棱锥P ABCD的体积V;(2)若F为PC的中点，求证 PC _L平面AEF ；(3)求证CE /平面PAB .分析：第一问只要求出底面积和高即可； 第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明； 第 三问的线面平行即可以通过证明线线平行、 利用线面平行的判定定理解决， 也可以通过./ACM =600.而/BAC=600,PN .证明面面平行解决，即通过证明直线CE所在的一个平面和平面 PAB的平行解决.解析：(1)在 R

12、t AABC 中，AB=1/BAC=60 . BC=3, AC=2.在 RtAACD 中，AC =2,/ACD=60, CD =2T3,AD =4.11115 TOC o 1-5 h z . SABCD = AB BC AC CD = 132 2 3=.3 .22222则 V5 .3 2 =5 .,3 . 3 23(2) PA =CA, F 为 PC 的中点， . AF _L PC . PA，平面 ABCD , PA1CD , . AC _L CD , PAQ AC = A, . . CD _L 平面 PAC , CD .L PC . E 为 PD 中点，F 为 PC 中点，. EF / CD

13、，则 EF _L CD , AF。EF = F , PC _L 平面 AEF .(3)证法一：取AD中点M ,连EM ,CM .则EM / PA，: EM 0平面PAB , PA 仁平面PAB ,EM / 平面 PAB .在 RtAACD 中，/CAD =60 , AC =AM =2 ,MC / AB . MC 0平面PAB , AB 仁平面PAB ,MC / 平面 PAB . EM CMC = M , 平面 EMC /平面 PAB . EC u 平面 EMC , EC / 平面 PAB .证法二：延长 DC ,AB ,设它们交于点 N ,连 PN . /NAC =/DAC =600, AC

14、_L CD ,.C为ND的中点.E为PD中点，. EC /.EC 辽平面PAB , PN仁平面PAB , EC / 平面 PAB .点评：新课标高考对立体几何与大纲的高考有了诸多的变化.一个方面增加了空间几何体的三视图、 表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了 三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念与性质、球的性质与球面距离， 删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明(主要是平行与垂直)题型4空间向量在立体几何中的应用例8.如图，在棱长为2的正方体 ABCDAB

15、C1D1中，E、F分别为AD9DCG的 中点.(1)求证：EF /平面 ACD1 ；(2)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；(3)在棱BBi上是否存在一点P ,使得二面角P-AC P的大小为30：?若存在，求 出BP的长；若不存在，请说明理由.B【解析】解法一：如图分别以 DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D -xyz ,由已知得D (0,0,0卜A(2,0,0卜B 2,2,0、C 0,2,0、4 2,2,2、Di (0,0,2 )E(1,0,2 卜、F(0).(1)取 ADi 中点 G ,则 G (1,0,1 ),TTCG=(1,-2,1),又 EF =(-

16、1,2,-1 ),由 EF =-CG ,. eF与CG共线.从而EF / CG ,. CG仁平面ACD , EF0平面ACD ,EF /平面 ACD1 .(2) AB = (0,2,0 ),cos：葭彘：=JF5l一 A, |EF|.|AB| 2V63异面直线EF与AB所成角的余弦值为 历. 3(3)假设满足条件的点 P存在，可设点P(2,2,t) (0t 2),平面 ACP 的一个法向量为n =(x, y,z5皿n AC =0, 不则w I APn AP = 0.=0,2,tACI -2x 2y = 0, = (-2,2,0 ), _/_ 2y tz = 0,2取 n=(1,1,-；).易知

17、平面ABC的一个法向量 BB1 =(0,0,2),依题意知，： BB1 ,n； =30；或 150 ,| -4|8s BBi，n；.t 4 -y2一 434,即3=(2 + ),解得t =t24t2.6P ,当BP的长为时，二面角P - AC - B3.6匚(0,2，在梭BB1上存在一点 3的大小为30” 解法二:AC =(-2,2,0 ),(1)同解法一知 EF = (1, 2： )1 , AD =(-2,0,2 ),1EF = AC - ADi , . EF、AC、AD1 共面.又 EF 0平面 ACD1 ,EF /2平面ACD1 .(2)、(3)同解法一.解法三：易知平面 人0的一个法向

18、量是 DB1=(2,2,2).又EF =(1,2,1 ),由EF DB1 =0 .,EF _L DB1，而 EF 0平面 ACD1 , . EF / 平面 ACD1 .(2)、(3)同解法一.点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力.利用空间向量证明线面平行的方法基本上就是本题给出的三种，一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线，二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据共面向量定理作出结论；三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.例9已知几何体 A-BCED的三视图

19、如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形.(1)求异面直线 DE与AB所成角的余弦值；(2)求二面角A-ED B的正弦值；(3)求此几何体的体积 V的大小.A俯视图(1)取EC的中点是F ,连结BF ,则BF|_| DE ,/FBA或其补角即为异面直线DE 与 AB 所成的角.在 ABAF 中，AB = 4衣，BF =AF =2 韭.异面直线DE与AB所成的角的余弦值为(2) AC _L平面 BCE ,过 C 作 CG _L DE 交 DE 于 G ,连结 AG .可得DE，平面ACG，从而AG _L DE , ，/AGC为二面角AEDB的平面角.在 Rt M

20、CG 中，NACG =90, AC = 4 ,“8、5、5CG =,tan/AGC =.52Asin . AGC,5一 3面角AEDB的的正弦值为“、1八一一、，.(3) V = Sbced AC =16，几何体的体积 V 为 16. 3方法二：(坐标法)(1)以C为原点，以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则 A(4,0,0), B(0, 4,0) , D(0,4,2) , E(0,0,4 ),T TDE =(0, 42), AB =(-4,4,0),T T . 10cos DE,AB = 5，异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 义05(2)平面BDE的一个法向量为

21、CA = (4,0,0),设平面ADE的一个法向量为n=(x, y,z), T . T T Tn _ AD,n _ DE, AD =(-4,4,2), DE -(0, -4,2)二0,二0从而-4x 4y 2z = 0, -4y 2z = 0 ,令 y =1,则：=(2,1,2) , cosCA,n r-2 3二面角A-ED -B的的正弦值为.3，1(3)V ,Sbced AC 16 ,几何体的体积 V 为 16. 3点评：本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法.空间向量对解决三类角(异面直线角、线面角、面面角)的计算有一定的优势.对理科考生 来说除了要在空间向量解决

22、立体几何问题上达到非常熟练的程度外，不要忽视了传统的方法，有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量.题型5距离(点到平面，线与线、线与面、面与面)求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例10如图，正三棱柱 ABC MB1cl的所有棱长都为2, D为CC1中点(I )求证：ABi，平面 A1BD ；(n)求二面角 a_aD _B的三角函数值；(出)求点C到平面ABD的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.解答过程：解

23、法一：(I )取BC中点O ,连结AO .ABC为正三角形，,-p AO BC .1正三棱柱 ABC-A1B1cl中，平面 ABC，平面BCGB1,AO 平面 BCCi Bi -连结BO,在正方形BB1cle中，O, D分别为BC, CCi 的中点，BO BD ,二 ABi BD -在正方形 ABBA中，ABLAB，二AB，平面ABD-(II)设AB与A B交于点G ,在平面A BD中，作GF，A D于F ,连结AF ,由(I )得AR，平面A BD -j.AFAD, ，/AFG为二面角 AADB的平面角.在4AAD中，由等面积法可求得 AF =纪5 ,又 TagJab =6,AG .2 si

24、n/AFG =AF 4_55所以二面角AAD-B的正弦值为 也4（山） AABD 中，BD=AD=T5, AB =272, SA ABD =而，Sabcd =i -在正三棱柱中， A到平面BCCBi的距离为 8.设点C到平面abD的距离为d .由 VA, _BCD=VC 21BD，付 3 s BCD LT3 = 3 SA A1BD _d 53Sa bcd 2S ABD2，点C到平面ABD的距离为解法二：（I ）取BC中点O, ABC为正三角形，AO 2连结AO.;在正三棱柱ABC -ABC 中，平面 ABC,平面 BCGBi，二 AD 1 平面 BCCi B -取BG中点O1，以。为原点,OB

25、 , OO,，OA的方向为x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0), D(1,1,0), A(0,2,神),A(0,0,察). AB1 =(1,2, - 3)，BD =(-210)，鼠=(-1,2,园V ABi_BD =-2+2+0=0，AB1LJbA =+4-3=0,二 AB1 BD，AB, BA j.ABi,平面 AiBD .（n ）设平面A1AD的法向量为nKx, y, z).AD=(1,1,73), AA =(0,2,0).AD =0,AA =0,!-x y -：;3z =0, 2y =0，Zfy =0, x - - . 3 z.令7=1得门=（3,01）为平面

26、A AD的一个法向量.由（I）知AB1，平面ABD，T、一一，二AB1为平面ABD的法向重面角A-ADB的大小为arccos4（出）由（n） , ab1为平面ABD法向量,；京=（,0,0）,短=（12,同.点C到平面ABD的距离d =吧空_PI =W2 .一 AB1-2.2 2小结：本例中（出）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的 B点到平面AMBi的距离转化为容易求的点K到平面AMBi的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法； 解法一采用了等体积法， 这种方法可以避免复杂的几何 作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法例2. 如图，已知两

27、个正四棱锥 P-ABCDf QABCD勺高分别为1和2, AB=4.（I ）证明PQL平面ABCD（n）求点P到平面QAD勺距离.命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 .过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离 和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一 般方法.解答过程：方法一 （I）取AD的中点，连结 PM QM 因为P- ABCDf Q-ABCDTB是正四棱锥， 所以ADL PM AD QM从而ADL平面PQIM 又PQU平面PQM所以PQL AD 同理PQLAB所以PQL平面 ABCD11（I

28、I） 连结 OM 则 OM =AB=2= OQ.22所以/ MQP45 .由（I）知 ADL平面PMQ所以平面 PMQ平面 QAD过P作PH, QMF H, PFU平面 QAD从而PH的长是点P到平面QAD勺距离.3, 2 又 PQ =PO QO =3, PH =PQsin45 =.即点P到平面QAD勺距离是W2.22方法二(I )连结 AC BD 设 AC BD =O .由P-ABCDf Q- ABCDTB是正四棱车B,所以 POL平面ABCD QOL平面ABCD从而P、O Q三点在一条直线上，所以 PQL平面ABCD(n )点 D的坐标是(0, 2& ,0), AD =(-26,-2五,0

29、),= (0,0,3),设 =(x, y, z)是平面QAD勺一个法向量，由n AQ =0n AD u0-,2x +z =0 x y =0所以点P到平面QAD勺距离d题型6割补法：割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何变换，其主要思 想是把不规则问题转化为规则问题，这个方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.例6. 1若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为J3,则其外接球的表面积是 .分析：将其补成一个正方体.解析：这样的三棱锥实际上是正方体被一个平面所截下来的，我们考虑在原来的正方体中解决这个问题.设原来的正方体的棱长为J3,则本题中的三棱锥和原来的正方体具

30、有同一个外接球，这个球的直径就是正方体的体对角线，长度为73父/3 = 3,即球的半径是3 ,故这个球的表面积是 4nf3 1 =9几.22点评：三条侧棱两两垂直的三棱锥习惯上称为“直角三棱锥，它就隐含在正方体之中，在解题中把它看作正方体的一个部分，在整个正方体中考虑问题，往往能化难为易，起到意想不到的作用.例6. 2如图，已知多面体 ABC -DEFG中，AB, AC, AD两两互相垂直，平面 ABC/ 平面 DEFG ,平面 BEF II 平面 ADGC , AB =AD =DC =2 , AC =EF =1 ,则该多面体 的体积为A. 2B. 4C. 6D. 8分析：这个几何体即可以看作

31、两个三棱柱拼合而成的，也可以看作是从一个正方体割下来的.解析一(割)：如图，过点C作CH _LDG于H ,连结EH ,这样就把多面体分割成一 个直三棱柱 DEH -ABC和一个斜三棱柱 BEF -CHG .于是所求几何体的体积为1V =$ DEHAD +SAbefDE =一父2父1 X2+I-X2X1 父2=4.2解析二（补）：如图，将多面体补成棱长为 2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半.于是所求几何体的体积为vM 23 =4 .2点评：割补法是我们解决不规则空间几何体体积的最主要的技巧，其基本思想是利用割补将其转化为规则空间几何体加以解决.【专题训练与高考预测】一、

32、选择题.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）（ ）A. 6,37： B. 18 J3 4二 C. 18 2、13 二D.32 二正叔用左鞅用.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A. 3.23 B. . 2 3 3 C. 2.2 -3.3D. 3.2-2 3正福用上视图3.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 则此几何体的外接球的表面积为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，（ ）A.C.16n3B.D.332 Ji3一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45：，腰和上底长均为1的等腰梯 TOC o 1-5 h z

33、 形，则这个平面图形的面积是（）A - -B. 1 C. 12D. 2 2 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 222一个盛满水的三棱锥容器 S - ABC ,不久发现三条侧棱上各有一个小洞D, E,F ,且知SD: DA=SE: EB=CF : FS=2:1 ,若仍用这个容器盛水， 则最多可盛原来水的（）A 23B. 19C 30D. 2329273127点P在直彳5为2的球面上，过 P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是（ ）A,空B.遮C UD. U5555.正方体ABCD ABCD中，AB的中点

34、为 M ,DD的中点为N，异面直线BM 与CN 所成的角是（）A 30；B. 90；C. 45D. 60：.已知异面直线a和b所成的角为50 P为空间一定点，则过点P且与a,b所成角都是30 的直线有且仅有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条.如图所示，四边形 ABCD 中，AD/BC, AD= ARN BCD= 45 / BAD= 90,将 ABD沿BD折起，使平面 ABD _L平面BCD ,构成三棱锥 A-BCD ,则在三棱锥A BCD中，下列命题正确的是（）A.平面ABD _L平面ABCB.平面 ADC _L平面BDCC.平面ABC _L平面BDCD.平面 ADC _L平面ABC

35、.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线； x、y是直线，z是平面； z是直线，x、y是平面； x、y、z均为平面.其中使“乂，2且丫，2n x / y”为真命题的是（）A. B. C. D. .已知三条不重合的直线 m、n、l两个不重合的平面 a、口，有下列命题若 m/ /n, n 二G，则 m/ /二；若 l_Lu, m_LP 且 l|_m,则 a|_|P；若 mu a, mu a, m|_| B ,n _ B ,则 口口 B ；若 s_lP, uP|P=m，nuP, n_Lm,则n_La.中正确的命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D, 4.直线AB与直

36、二面角a -l -P的两个面分别交于 A,B两点，且A, B都不在棱上，设直线AB与平面a, P所成的角分别为 句中，则9十中的取值范围是A (0,-) B . 0二C.(三，二)D. -2222二、填空题.在三B隹 PABC 中，PA = PB = PC =2 , /APB =/BPC =/CPA = 30 , 一只蚂蚁从 A点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到A点，则蚂蚁经过的最短路程是.四面体的一条棱长为 X,其它各棱长为1,若把四面体的体积 V表示成X的函数f(x则f(X )的增区间为,减区间为.如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中： BM与ED平行； CN与BE是异面直线；CN与B

37、M成60角； DM 与BN垂直.以上四个说法中，正确说法的序号 依次是.已知棱长为1的正方体 ABCDABC1D1中，E是AB1的中点，则直线 AE与平面 ABCi Di所成的角的正弦值是 .三、解答题.已知，如图是一个空间几何体的三视图.(1)该空间几何体是如何构成的；(2)画出该几何体的直观图；(3)求该几何体的表面积和体积.如图，已知等腰直角三角形RBC,其中/RBC=90。，RB = BC = 2 .点A,D分别是RB , RC的中点，现将 ARAD沿着边AD折起到A PAD位置，使PA _L AB ,连结PB、PC .(1)求证：BC _L PB ；(2)求二面角 A-CD -P的平

38、面角的余弦值.RAB1 一.如下图，在正四梭柱 ABCD - ABC1D1中，AA1 = AB ,点E, M分别为AB,CC1的 2中点，过点 A,B,M三点的平面 ABMN交C1D1于点N .(1)求证：EM 平面 ABGD1 ；(2)求二面角BANB1的正切值；(3)设截面 ABMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1,V2 (V1 V2),求V1 :V2的值.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面为直角梯形， ADBC ,/BAD = 90： PA垂 直于底面ABCD , PA = AD = AB = 2BC = 2 ,M ,N分别为PC , PB的中点.(1)求证：PB _L D

39、M ； (2)求BD与平面ADMN所成的角；(3)求截面ADMN的 面积.如图，正方形 ACDE所在的平面与平面 ABC垂直， M是CE和AD的交点,AC _L BC ,且 AC = BC .(1)求证：AM _L平面EBC ;(2)求直线AB与平面EBC所成的角的大小；(3)求二面角 A EBC的大小.已知斜三棱柱 ABC ABG , / BCA = 90 , AC = BC = 2 , A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D ,又知BA -L AC1.(1)求证：AC1 _L平面ABC；(2)求CC1到平面AAB的距离；(3)求二面角 A ABC的一个三角函数值.【参考答案】1.解析：C该

40、几何体是正三棱柱上叠放一个球.故其表面积为3父2父3+2父史乂21 2 3 +4n1- =18+ 2百+兀.422.解析：b这个空间几何体的是一个底面边长为J3的正方形、高为 J3的四棱柱，上半部分是一个底面边长为&的正方形、高为J2的四棱锥，故其体积为3.解析：C由三视图知该几何体是底面半径为 1,高为13的圆锥，其外接球的直径为4.解析：D如图设直观图为 OABC,建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则,在原来的平面图形中 OC _LOA,且 OC =2 , BC=1, OA = 1+2x =1 + 72 ,21故其面积为-12.2 2 2 ,25.解析：D当平面EFD处于水平位置时，

41、容器盛水最多Vxde1ssDE h1Vc _SAB1 一 一一SD SE sin DSE h 3SDSE 1TlSASB h23 3 27最多可盛原来水得42327 27B.解析：A设三边长为x,2 X, y ,则5x2 +y2 = 4 ,令 x =cosG, y =2sin 日,二 3x +y =3卷 cos6 +2sin 日 AC ,即cos6 sin 中=cos . y ,故 B 中,即 e 十中 ,而当 A B_L l时,2.解析：2金 将如图三棱锥 P-ABC ,沿棱PA展开得图，蚂蚁经过的最短路程应是 AA,又: /APB =/BPC =/CPA = 300 , /APA = 90

42、 ,，AA=2jW .盛，*315.解析： 如图，逐个判断即可.f (x) =2痒F ,利用不等式或导数即可判断. 4.解析： 汇 取CD的中点F ,连接EF交平面ABC1D1于O ,连AO .由已知正方体， 5112易知EO _L平面ABC1D1 ,所以ZEAO为所求.在RtMOA中，EO =- EF =万AD =,AE =1(1)2 +12 =巫，sinZEAO = =.所以直线AE与平面ABCR所成的角.22AE 5的正弦值为工.5AB.解析：(1)这个空间几何体的下半部分是一个底面边长为2的正方形高为1的长方体,上半部分是一个底面边长为 2的正方形高为1的四棱锥.(2)按照斜二测的规则

43、得到其直观图，如图.(3)由题意可知，该几何体是由长方体 ABCD -ABCD 与正四棱锥P-ABCD 构成的简单几何体.由图易得：A B= A D2 , AA 1 , P O, 取 AB中点 Q , 连接PQ ,从而P Q=J PO+ O2 Q= 12力2金,所以该几何体表面积1S =- AB BC CD DA PQ AB BC CD DA AA AB AD =4.2 12.，一116体积 V=2M2M1+，M2M2M1=W.331 一18.解析：（1） .点 A、D 分别是 RB、RC 的中点，AD/BC, AD = 1 BC .2 ./PAD =/RAD=NRBC=90 /. PA 1 AD . PA 1 BC ,. BC _L AB, PA Cl AB = A, . . BC _L 平面 PAB .