(随机变量与离散型随机变量)课件

1、 概率论与数理统计第五讲第1页，共37页。第二章 一维随机变量及其概率分布随机变量离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布第2页，共37页。2.1 一维随机变量一、概念 例1 抛一枚质地均匀的骰子一次，观察出现点数. X是一（因）变量（函数），取不同的数值表示试验可能发生的不同结果，且X是以一定概率取值的.第3页，共37页。 例2 设有一批产品10件，其中3件次品.现从中任取2件.第4页，共37页。 X是一变量，取不同的数值表示抽到的不同结果，且X是以一定概率取值的.第5页，共37页。 例3 测试某种电子元件的寿命X（单位：小时）. X 取值由试验结果而定，可为0，+）上任一数. X是一

2、变量，取不同的数值表示抽到的不同结果. 如100X 150:事件被测试的电子元件寿命在100小时在150小时之间.第6页，共37页。 例4 掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现正面、反面. X是一变量，取不同的数值表示出现的不同结果，且X是以一定概率取值的. 这样，上述例子中变量（函数）X是所有试验结果（样本空间）的函数，可记为X = X().第7页，共37页。 这种随机试验的结果与数值的对应关系，在数学上可理解为:.XX() 与高等数学中的函数不同. 定义一个实值函数X= X(), 将第8页，共37页。 X() 随试验结果的不同而取不同的值.故在试验之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取哪

3、个具体的值. 由于试验结果的出现具有一定的概率，所以 “ X() 取每个值或某个确定范围内的值” 也有一定的概率. 称这种定义在样本空间上的实值函数为随机变量，简记为 r.v. ( random variable ) .不同之处：第9页，共37页。定义 随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或希腊字母,等表示. 随机变量的取值一般用小写字母 x, y, z 等表示.第10页，共37页。 这样，随机试验中的各种事件可用随机变量的取值来表示. 如：例1中事件 出现的点数大于4可用X4或X=5 X=6表示. 例2中事件 至少抽到1件次品可用X1或X=1 X=2表示.第11页，共37页。 随机变量概

4、念的产生是概率论发展史上重大的事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律的研究.第12页，共37页。二、随机变量的分类 一维、多维在维数确定后，可按取值分为： 定义 若随机变量X只取有限个或可列无穷多个数值，称X是离散型随机变量.否则，称为非离散型随机变量.如例1,2,4中的X是离散型随机变量. 对非离散型随机变量，只研究连续型随机变量，如例3中的X.第13页，共37页。随机变量连续型随机变量离散型随机变量学习时要注意它们各自的特点及描述方法. 我们所研究的 这两种类型的随机变量因都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方

5、式不同，故又有其各自的特点.第14页，共37页。 设X是一个离散型随机变量，其可能取值为 x1, x2 , . 为描述随机变量 X ，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率.2.2 一维离散型随机变量第15页，共37页。2.2.1 分布律（列）及其性质 称其为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布（密度），也称概率函数.或表格形式或矩阵形式 定义1 ：设离散型随机变量 X 所有可能取值 的概率第16页，共37页。解：依分布律的性质有 例1 设随机变量 X 的概率分布为确定常数 a .用这两条性质判断一个数列是否是概率分布。性质第17页，共37页。从中解得这里用到了幂级数展开式第1

6、8页，共37页。 例2 设有一批产品10件，其中3件次品.现从中任取2件.用X 表示抽到的次品数，求X 的分布律及至少有一件次品的概率.第19页，共37页。例 3如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器.设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立.已知各电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数.求 (1) X 的概率分布；(2) 线路接通的概率.第20页，共37页。解：(1) 记 Ai=第 i 个继电器接通, i =1, 2.因两个继电器是否接通是相互独立的,所以A1和A2相互独立，且 P(A1)=P(A2)= 0.8 .X 的所有可能取值为: 0, 1, 2 . 第21页，共

7、37页。第22页，共37页。所以，X的分布律为(2) 因线路是并联电路，所以 P(线路接通) = P(只要一个继电器接通) = PX1 = PX=1+PX=2 = 0.32+0.64= 0.96.第23页，共37页。2.2.2 常见离散型随机变量的概率分布1. 两点分布 设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验, 用= 1, 2 表示其样本空间. P(1) = p , P(2) = 1-p .称X服从参数p的两点分布, 记成 XB(1, p).第24页，共37页。 定义2 设X的分布律为X 1 0P P 1-p称X服从参数为p的两点分布或（01）分布，记为XB(1,p). 例4 从装有6只白球

8、、4只红球的口袋中任取一球，用X表示取到的白球数，求X 的分布律.第25页，共37页。 若试验只有两种结果，可用两点分布来描述， 如：射击是否“中靶”，掷硬币是否“正面朝上”，产品是否“合格”，种子是否“发芽”等.2. 二项分布 每次试验只有两个结果的 n 次独立重复试验称作 n 重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.第26页，共37页。贝努里试验对试验结果有下述要求： (1) 每次试验条件相同；(2) 每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 ,(3) 各次试验相互独立.定义3 则称X服从参数为n、p的二项分布，也称伯努利分布，记XB(n, p).第27页，共37页。 例4 某工厂生产的螺丝的

9、次品率为0.05，设每个螺丝是否为次品是相互独立的，该工厂将10 个螺丝包成一包出售，并保证若发现一包内多于一个次品即可退货，求某包螺丝次品个数X的分布律和售出的螺丝的退货率. 二项分布描述的是：n 重贝努里试验中,事件A发生的次数 X 的概率分布. 二项分布 B(n, p) 和两点分布B(1, p)的关系.当n=1时，二项分布称为两点分布.第28页，共37页。 将试验 E 在相同条件下独立地进行 n 次，记 X 为 n 次独立试验中A出现的次数. 描述第i 次试验的随机变量记作 Xi , 则 Xi B(1, p)，且 X1, X2 , , Xn相互独立 ( 随机变量相互独立的严格定义将在第三

10、章讲述). 则有X= X1+X2+ +Xn . 设试验 E 只有两个结果: A 和 .第29页，共37页。 设随机变量 X的分布律：3. 泊松分布 其中0 是常数， 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记作 X P() .易见第30页，共37页。 实际中，许多现象可用泊松分布来描述：一段时间内电话的呼叫次数；布匹上的疵点数；线路板上的焊接不良处；书页上的印刷错误的个数等.第31页，共37页。 例5 某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数 =3 的泊松分布. 求： (1) 一分钟内恰好收到3次寻呼的概率； (2) 一分钟内收到2至5次寻呼的概率.解: = (32/2!) + (33/3!)

11、 + (34/4!) + (35/5!) e-3 (1) PX=3 (2) P2X5 0.7169.=(33/3!)e-3 0.2240；= PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5第32页，共37页。 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .二项分布与泊松分布的关系 定理(泊松定理): 对二项分布 B(n,p), 当 n充分大, p又很小时,对任意固定的非负整数 k，有近似公式第33页，共37页。 例6 某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02，求:一天内没有出租车出现故障的概率. 解 将观察一辆车一天内是否出现

12、故障看成一次试验 . 因为每辆车是否出现故障与其它车无关, 于是, 观察400辆出租车是否出现故障就是做 400 次贝努利试验. 设 X 表示一天内出现故障的出租车数, 则 X B(400, 0.02).令 = np = 4000.02 = 8 ，于是, P一天内没有出租车出现故障 = PX=0 = b(0;400,0.02) (80/0!)e-8 = 0.0003355.第34页，共37页。几何分布 设随机变量 X的分布律： 则称 X 服从参数为p的几何分布, 记作 X G(p) . 几何分布常用于描述独立重复试验中，某事件首次出现时，已经完成的试验次数. 在独立重复试验中，某事件A在一次试验中发生的概率为p,则在第k次试验时A首次发生的概率即几何分布的分布律.第35页，共37页。超几何分布 设随机变量 X的分布律： 则称 X 服从超几何分布, 记作