阅读与思考　为什么√2不是有理数

1、为什么说 不是有理数 人教版七年级（下）数的发展与认识自然数整数分数有理数实数无理数如图， 把边长为1的两个正方形，分别沿它们的一条对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，他们的面积都是0.5，再把这四个直角三角形拼成一个正方形ABCD的面积为2.可设正方形边长为X，那么 则活动探究1： 证明 是一个无理数。毕达哥拉斯毕达哥拉斯（公元前500公元前490）出生在萨摩斯岛。古希腊数学家、哲学家、思想家、科学家。主要成就：影响西方乃至世界的人物第一个注重“数”的人毕达哥拉斯定理（勾股定理）证明了正多面体的个数建设了许多较有影响的社团毕达哥拉斯学派术业：数学、自然科学人物特点：在科学和理性中带有神秘第

2、一次数学危机的产生 第一次危机发生在公元前580568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。第一次数学危机的影响 第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了含有有理数和无理数的新的数类实数。并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。 第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证

3、明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系，欧式几何就是为了消除矛盾，接触危机，在这时促进了几何学的发展，使几何学在以后的两千年间几乎是全部严密数学的基础，成为数学史上一次巨大革命。证明： 是一个无理数方法：假设法 假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数p,q,即于是 平方得： 因为 是偶数，可得 是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，则可知 是偶数。可设 ，代入上式，得： ，即 所以q也是偶数，可得p和q都是偶数，不互质，与假设p ,q互质矛盾。即 不能写成分数的形式，是无理数 活动探究2： 如何在数轴上表示？拓展：第二次数学危机的出现17世纪数学史上出现了一个崭新的数

4、学分支数学分析，或称微积分。微积分作为解决问题的工具。微积分有时把无穷小量看作 无穷小量=0 无穷小量0 由于这些问题，引起了数学界的极大争论，这就产生了所谓的【第二次数学危机】第二次数学危机的产生 第二次数学危机发生在十七世纪。 微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻

5、辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 牛顿的“无穷小”应用第二次数学数学危机的影响本次危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量x，为了克服由此引起的数学乱，解决这一危机，从19世纪开始彻底解决微积分问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作，在解决无穷小数学的问题上，出现了洛必达法则。 它不仅在数学上，在理论上也有重大的意义，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特、巴门赫等人的努力产生了极限理论、实数论和集合论三大理论。进而开辟了下一个函数论的发展道路。第三次数学危机-悖论康托尔集合论理发师

6、悖论。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。罗素悖论的精确表述：如果存在一个集合（确定性，互异性，无序性）A=x | x A ，那么AA是否成立？如果它成立，那么xA，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。罗素一次又一次的问康托尔，他也解释不了。康托尔死于自己工作的哈勒大学精神病院里。第三次数学危机的解决第三次数学危机的影响 第三次数学危机表面上基本解决了，实质上更是深刻地以其他形式延续。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大的发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大的促进了数学基础研究及数理逻辑的现代化，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。三次数学危机的成果历史上的三次危机使人们认识到了现有的理论缺陷。第一次数学危机使人们发现了无理数，建立了完整的实数理论，欧式几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二